2015～2016學(xué)年人教B版高中數(shù)學(xué)必修5全冊同步學(xué)案含答案

人教B版高中數(shù)學(xué)必修5

全冊學(xué)案

目錄

4-1.L1正弦定理（1）學(xué)案

上1.1.1正弦定理（2）學(xué)案

*1.1.2余弦定理（1）學(xué)案

41.1.2余弦定理（2）學(xué)案

11.2應(yīng)用舉例（1）學(xué)案

工1.2應(yīng)用舉例（2）學(xué)案

上第一章解三角形章末回顧學(xué)案

4-2.1.1數(shù)列（1）學(xué)案

+2.1.1數(shù)列（2）學(xué)案

4-2.1.2數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）學(xué)案

+2.2.1等差數(shù)列學(xué)案

工2.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）學(xué)案

42.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）學(xué)案

上2.3.1等比數(shù)列學(xué)案

上2.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）學(xué)案

上2.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）學(xué)案

土第二章數(shù)列章末回顧學(xué)案

上3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案

，3.2均值不等式（1）學(xué)案

13.2均值不等式（2）學(xué)案

上3.3一元二次不等式及其解法（1）學(xué)案

II

上3.3一元二次不等式及其解法（2）學(xué)案

工3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案

上3.5.1二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域?qū)W案

43.5.2簡單線性規(guī)劃（1）學(xué)案

工3.5.2簡單線性規(guī)劃（2）學(xué)案

上第三章不等式本章回顧學(xué)案

III

第一章解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

自主學(xué)習(xí)

□知識梳理

1.一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,6,c叫做三角形的.已

知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做.

2.在RtZXZBC中，C=90。，則有：

(1)/+8=,0°<T4<90°,0°<5<90°；

(2)/+*=(勾股定理)；

(3)sinA=,cosA=,tan4=,

sinB=zfcos,tan；

wsinJ-------------'sinB~-------------'sinC~-------------'

3.正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即

,這個比值是.

a自主探究

已知△N8C的三個內(nèi)角/、B、C及對應(yīng)的三邊a、b、c,試用向量法證明正弦定理.

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一已知兩角和一邊解三角形

【例1】在△48C中,。=5,8=45。，C=105。，解三角形.

總結(jié)已知一個三角形的三邊和三內(nèi)角這六個量中的三個量，其中至少有一個是邊，可

以求解其余的三個量.

變式訓(xùn)練1在△4BC中，已知〃=26，4=30。，8=45。，解三角形.

知識點(diǎn)二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

【例2】在△/8C中，a=2小,6=6,A=30°,解三角形.

總結(jié)已知三角形兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦

值，根據(jù)該正弦值求角時，需對甭的情況加以討論.

變式訓(xùn)練2在△Z8C中，角2、B、C所對的邊分別為人b、c,已知/=60。，a=小,

6=1,則c等于()

A.1B.2C.y[3~lD.小

知識點(diǎn)三已知兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形解的個數(shù)

【例3】不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù).

(l)o=5,6=4,4=120°：

(2)°=9,6=10,J=60°；

(3)c=50,6=72,C=135°.

總結(jié)已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，此類問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情

況，具體判斷方法是：可用三角形中大邊對大旃定理，也可作圖判斷.

變式訓(xùn)練3不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù).

(1)0=7,6=14,4=30°；

(2)。=30,6=25,4=150°；

(3)。=7,b=9,4=45°.

⑥課堂小結(jié)

1.利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：

（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角.

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角.

2.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復(fù)

雜，可能無解，可能一解或兩解.例如：已知°、b和應(yīng)用正弦定理求8時的各種情況.

a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba2b

力為銳角

無解一解（直角）兩解（一銳角，一鈍角）一解（銳角）

aWba>b

A為直角或鈍角

無解一解（銳角）

課時作業(yè)

一、選擇題

1.在△/8C中，下列等式中總能成立的是（）

A.osin4=6sin8B.bsinC=csinA

C.absinC=bcsinBD.asinC=csinA

2.在中，已知。=18,A=16,4=150。，則這個三角形解的情況是（）

A.有兩個解B.有一個解

C.無解D.不能確定

3.在△4BC中,已知a=8,8=60。，C=75。，則6等于（）

32

A.4啦B.4V5C.4^/6D.y

4.在△48C中，角Z、B、。所對的邊分別為。、b、c,如果8=30。，那么

角。等于（）

A.1200B.105°C.90°D.75°

5.在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.6=10,4=45。，C=70°

B.。=30,6=25,4=150。

C.a=7,6=8,4=98。

D.a=14,b=l6,A=45°

二、填空題

6.在中，AC=WBC=2,8=60。，則C=.

7.在△N2C中，已知八b、c分別為內(nèi)角/、B、C的對邊，若b=2a,8=4+60。，

貝UA=.

8.在△/8C中，a=x,6=2,8=45。，若三角形有兩解，則x的取值范圍是

三、解答題

9.在△ZBC中，若。=2小，/=30。，討論當(dāng)b為何值時（或在什么范圍內(nèi)），三角形有

一解，有兩解或無解？

10.在銳角三角形/8C中，A=2B,a.b、c所對的角分別為4B、C,求得的取值范

圍.

第一章解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

知識梳理

1.元素解三角形

2.(1)9。。(2)°?碇32W5(4)。。。

3樂*嬴三角形外接圓的直徑2R

自主探究

證明(1)若AABC為直角三角形，不妨設(shè)C為直角.

如圖所示，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，

a.b.?

-=smAA,~=sinB,

cc

所以UX=^=C=2R（2R為外接圓直徑）.

VC=90°,：.sinC=1,^T；=C=2R.

sinC

abc

??~sin~A7=si.nB0=si?n7C=2R.

(2)若aABC為銳角三角形，過A點(diǎn)作單位向量iJ_k,則有:

i-AB=i(CB-G4)=i-CB-iCA,

'：i±AC,：.i-CA=O,：.i-AB=iCB,

即ccos(90°-A)=acos(90°-Q,

??csinA=asmC,.~7=~~K

sinAsinC

同理可證.—^―=——=

回些sin4sinB9sin5sinC

.ab￡

??sin/sinBsinC

(3)若△/BC為鈍角三角形，可仿(2)證明.

對點(diǎn)講練

【例"解由三角形內(nèi)角和定理知4+8+。=180。,

所以4=180。一(8+C=180°-(45°+105°)=30°.

由正弦定理，=''=.(

卬」仁士sin4sin8sinC

,日，sinBsin45°r-

付"EL而赤=5隹

sin。<sin105。sin(60。+45。)

'"sin%sin30°sin30°

sin60°cos450+cos60°sin45°=1（玳+的.

,sin30°

變式訓(xùn)練解

isinAsinBsmC

3巧x也

,asinB2啦sin45072

,?八高7=sin300=—1—=4.

2

VC=180°-(^+5)=180°-(30°+45°)=105°,

asinC2msm105°也產(chǎn)=2+24

sinAsin30°

【例2】解a=2-^3,b=6,cKb,A=30°<90°.

又因?yàn)锳sinA=6sin30°=3,a>bsinA,

所以本題有兩解，由正弦定理得：

.cbsin46sin30°小”,△】一

smB=~~—=2小=2"故臺=60或120°.

當(dāng)8=60。時，C=90。，0=或2+7=4小;

當(dāng)8=120。時，C=30°,c=a=25.

所以8=60。,C=90°,<?=4小或8=120。,C=30°,c=2小.

變式訓(xùn)練2B[由正弦定理肅T福，

可得點(diǎn)常焉,?1-sinS=2>故NB=30?；?50。.

由a>b,得N4>NB,

：.ZB=30°,故NC=90。,由勾股定理得c=2]

【例3】解(l)sin8=《sin120。=^X坐0^,

所以三角形有一解.__

(2)sin5=^sin60°=取坐二零而坐明,

所以當(dāng)B為銳角時，滿足sinB=-^-的角有60。<8<90。,

故對應(yīng)的鈍角B有90°<B<120°,

也滿足N+B<180。，故三角形有兩解.

小.D加inC72..「應(yīng)

(3)sinB=―--=京sinOsinC=亍，

所以原>45。,所以8+0180。，故三角形無解.

變式訓(xùn)練3解(1〃=30。，a=bsinA,故三角形有一解.

(2)J=150°>90°,a=30>6=25,故三角形有一解.

(3)4=45。,bsin45°<a<b,故三角形有兩解.

課時作業(yè)

1.D2.B

3.C［方法一根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，/=180。-(8+0=45。.根據(jù)正弦定理，b=

osinB_8sin60°丘

sinA=sin45°=4^6,

方法二如圖，過點(diǎn)C作CZ)_L/8,由條件可知Z=45。，而由CO=4Sin6()o=bsin45。,

得b=4佝

4.Ac=y[ia,/.sinC=y[isinA

=V3sin(l80°-30°-Q=小sin(30°+Q=小(坐sinC+|cosC),即sinC=-在cosC.

，tanC=又CG(0,it),：.C=120°.]

5.D[對于A,由三角形的正弦定理知其只有一解；對于B,即/>8,且Z

=150°,只有一解；對于C,a<h,即/<￡且4=98。，二無解.]

6.75°

解析由正弦定理嘉痣，'sin/=當(dāng)

?；BC=2<AC=*,???/為銳角,A=45°.AZC=75°.

7.30°

角翠析h=2a=sinB=2sinA,

又,；B=A+60°,sin(/+60°)=2sinA,

即sinAcos600+cos4sin60°=2sinA,

化簡得：sinA=~^cosA,??.tan4=乎，.\A=30°.

8.2<x<2y[2

解析因三角形有兩解，所以osinBvXm

即^^x<2<x,，2<x<2yf2.

9.解當(dāng)QV加in30。，即6>2。，b>4小時,無解；

當(dāng)或a=bsind,即AW2s或b=4小時，有一解；

當(dāng)bsinlvavb,即2小<力<4小時，有兩解.

10.解在銳角三角形48c中，力、B、C<90°,

8<90。，

即r28<90。，.\30o<B<45°.

J800-35<90°,

由正弦定理知：￡=需［=1鬻=2cos8G（啦，?。?

故所求的范圍是（6，?。?

1.1.1正弦定理(二)

自主學(xué)習(xí)

c知識梳理

L正弦定理：媼1=磊=卷=2火的常見變形：

(l)sin力：sin8：sinC=；

a____b______c________4+6+c______

(2)sin4sinBsinCsin/+sin8+sinC------------'

(3)。=,b=,c=；

(4)sinA-________,sinB=________,sinC=________.

2.三角形面積公式:S=.==.

3.在中，ZC=90°,則△力BC的外接圓半徑H=,內(nèi)切圓半徑〃=

n自主探究

在△48C中,⑴若4>B,求證：sinJ>sinB；(2)若sin4>sin8,求證：A>B.

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一三角形面積公式的運(yùn)用

【例1】已知△/BC的面積為1,tan8=3，tanC=-2,求△4BC的各邊長以及△川7

外接圓的面積.

總結(jié)注意正弦定理的靈活運(yùn)用，例如本題中推出SZMBC=2*sin/sinBsinC.借助該

公式順利解出外接圓半徑R.

變式訓(xùn)練1已知三角形面積為京外接圓面積為K,則這個三角形的三邊之積為()

A.1B.2C.1D.4

知識點(diǎn)二利用正弦定理證明恒等式

a-ccosBsin8

【例2】在△Z8C中，求證:

b-ccosAsinA'

總結(jié)正弦定理的變形公式使三角形的邊與邊的關(guān)系和角與角的關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

的功能更加強(qiáng)大，更加靈活.

變式訓(xùn)練2在△NBC中，角/、B、C的對邊分別是a、b、c,求證：/sin28+/sin2/

=2absinC.

知識點(diǎn)三利用正弦定理判斷三角形形狀

【例3】已知△4BC的三個內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a、b、c,若a+c=26,且2cos

28—8cos8+5=0,求角B的大小并判斷△NBC的形狀.

變式訓(xùn)練3已知方程？一（氏。54^+。8$8=0的兩根之積等于兩根之和，且。、b為

△/BC的兩邊，4、8為兩內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀.

⑥課堂小結(jié)

1.借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三

角恒等式的證明.

2.在△N8C中，有以下結(jié)論：

(1M+S+C=7I；

(2)sin(J+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;

A+BCA+BCA+B1

(4)sin--=cosy,cos-—=sintan-、-

一一一tany

課時作業(yè)

一、選擇題

1.在中，角4、B、C的對邊分別是a、氏c,若4：8：C=1：2：3,則a：6：c

等于()

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.1：?。?

2.在△N8C中，若高=￡7=梟，則△/8。是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

3.在中,(b+c)：(a+c)：(a+b)=4：5：6,則sin/:sin8：sinC等于()

A.4：5：6B.6：5：4

C.7：5：3D.7：5：6

4.在△ZBC中，a=2bcosC,則這個三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

5.在△/8C中，8=60。，最大邊與最小邊之比為(小+1)：2,則最大角為()

A.45°B.60°C.75°D.90°

二、填空題

6.在△4BC中，已知。=3P，cosSMBC=44,貝Ub=.

7.在△/BC中，若tan4=3，C=150°,BC=\,則.

8.在人吹中“60。,片6小"=124.=師,貝%m；：：呆出。=

三、解答題

9.在a/BC中，角4、B、。所對的邊分別為a、b、c,且c=10,又知警=0=*

COSDClJ

求4、6及△48C的內(nèi)切圓半徑.

10.在中，a、氏c分別是三個內(nèi)角/、B、C的對邊，若。=2,C=:,cos1

邛^,求△4BC的面積S.

1.1.1正弦定理（二）

知識梳理

l.(l)a："c(2)27?(3)27?sinA2/?sinB2/?sinC

一abc

⑷而2R2R

2.gabsinC16csinAgczzsinB

ca-\-h-c

二32―--2---

自主探究

證明(1)在△43。中，由大角對大邊定理

OB=a>b=2Rsin4>2RsinB=>sin4>sinB.

(2)在△/8C中，由正弦定理

ab

sinJ>sin3=而>而=。>6=4>5.

Z.KZK

對點(diǎn)講練

【例1】解,.?tan8=；＞0,二8為銳角.

8s.手.

VtanC=-2,為鈍角.AsinC=cosC=-乎.

凈sinA<=s田in(j5++C)明=sin8￥cos.C+cos8sinC

1

2?

?/S^ABC=外加inC=27?sinAsinBsinC

=2*x|x坐X.=1.

AT?2=y|,火=3工，兀穴2=等，即外接圓面積為等.

/.a=2Rsin4=小,b=27?sinB=c=27?sinC=

變式訓(xùn)練1A[設(shè)三角形外接圓半徑為七

則由兀犬2=兀，

7?=1,由=$6sinC===J.abc=1.]

【例2】證明因?yàn)闂n步旨2R,所以

.._2Rsin>-2/?sinCeosB_sin(8+C)-sinGeosB

-27?sinB-27?sinCeosAsin(4+Q-sinCeosA

sinBcosCsinB,杯上工、

=-■—;----7；=十一；=右邊.所以等式成立.

sin4coscsmA7

變式訓(xùn)練2證明左邊=4/?2$次Jsin2B+47?2sin2Bsin2A=8/?2sin2/sinBcosB+

8/?2sin28sinJeosA

=87?2sinJsinB(sinAcosB+cos/sinB)

=87?2sin4sinBsin(J+8)=87?2sin4sinBsinC

=2-(27?sin4>(2火sin8>sinC=2absinC=右邊.

???等式成立.

【例31解??2cos2B-8cos8+5=0,

J2(2COS2B-1)-8cos5+5=0.

4cos七-8cos8+3=0,即(2cosB-l)(2cosB-3)=0.

i、3

解得cos8=1或cos8=](舍去).

71

*/0<5<TI,/.B：4+c=2b.

由正弦定理得sin4+sinC=2sin8=2sinj=^3.

/.sinA+sin(普一/)=正，

/.sinA+sin專cosA-cos與sinA=小.

化簡得,sin4+坐cos力=^/3,sin^+看)=1?

V0<A<n,.\A=

/?A甘，。=卜，/\48。是等邊三角形.

變式訓(xùn)練3解設(shè)方程的兩根為修、小，

[x\+#=bcosA

-

由韋達(dá)定理得n，

[X\X2=4cosB

Vxi+%2=bcosA-acosB.

由正弦定理得：2Ksin8cos4=2Rsin4cosB,

sin4cosB-cos/sin8=0,sin(J-B)=0.

??[、B為△4BC的內(nèi)角，

0<A<n,0<5<7t,-n<A-B<n.

：.A-B=O,即4=8.故△48c為等腰三角形.

課時作業(yè)

1.D

2.B［由正弦定理知：照=鬻=黑,

/.tan力=tan5=tanC,=B=C.]

3.C[設(shè)b+c=4左，a+c=5k,a+h=6k(k>0),三式聯(lián)立可求得a=*=c=1

：.a：6：c=7：5：3,

即sin4:sin8：sinC=7：5:3.]

4.A[由正弦定理:sinA=2sinBcosC,

/.sin(B+Q=2sinBcosC

sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

.,.sin(5-C)=0,：.B=C,]

5.C[設(shè)C為最大角，則4為最小角，則4+C=120。,

.￡_sinC_sin(120。-4)_sin120°cosA-cos120%出A

**asin4sinAsinA

cosA1J_

=2,sin1+2=2+T

cosA

.\^-r=l.AtanJ=1,4=45。，C=75°.]

smJ」

6.2小

解析VcosC=1?/.sinC=

fbsinC=4小,:.b=2y[3.

7.千

解析tan力￡(0,180°),sinA=

由正弦定理知熟:蔡，

cBCsinCIXsin150°VTb

?."8=F7—=-^—=2.

10

8.126

解析_____〃+〃+°_____=^!_=越7

sin4+sin8+sinCsinA事

2

?；SZ^BC=；absinC=^X6^3X12sinC=18s.

?.「1?Cain?r

..sinC=z,."7；=-_7=12,??c=6.

2sinCsmA

八zrn上〒混…e八sin8b.cosAsinB

9.解由正弦定理知「7=—，??---p=T—.

sinAacosBsinA

即sinAcosA=sinBcosB,:.sin2A=sin2B.

TT

又,：。手b、.\2A=7i-2B,即4+8=5.

是直角三角形,且090。,

a2+h2=102

由＜白_4，得。=6,Z?=8.

。3

”,1e八、】，?、，a+h-c6+8-10

故內(nèi)切圓的半徑為尸=2=5=2?

B34

10.解因?yàn)閏os8=2cos2萬一1=不故8為銳角，sinB=§.

si?_。=述

所以sin4=sin（兀-B-C）=

10,

tzsinC10

由正弦定理得

CsinA7

所以S=^acsinB=^X2X-yX^=,1.

1.1.2余弦定理(一)

自主學(xué)習(xí)

c知識梳理

i.余弦定理

三角形中任何一邊的等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的

的余弦的積的.即/=,f=,

2.余弦定理的推論

cosA=；cosB=；cosC=.

3.在ZUBC中：

(2)若c2^a2+b2-ab,則C=；

(3)若=J+/+由"，則C=.

c自主探究

試用向量的數(shù)量積證明余弦定理.

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一已知三角形兩邊及夾角解三角形

【例1】在△/BC中，已知a=2,b=2市,C=15。，求4

總結(jié)解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的條件是已知兩邊及其夾角，

而不是兩邊及一邊的對角，所以本例的解法應(yīng)先從余弦定理入手.

變式訓(xùn)練1在△Z8C中，邊56的長是方程，-5x+2=0的兩個根，C=60。，求邊

知識點(diǎn)二已知三角形三邊解三角形

【例2】已知三角形Z8C的三邊長為a=3,6=4,c=病，求△/8C的最大內(nèi)角.

總結(jié)已知三邊求三角時，余弦值是正值時，角是銳角，余弦值是負(fù)值時，的是鈍角.

變式訓(xùn)練2在△Z8C中，已知8c=7,/C=8,AB=9,試求/C邊上的中線長.

知識點(diǎn)三利用余弦定理判斷三角形形狀

［例3］在A4BC中，°、6、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(J+b2)sin(4

—8)=(/一/)sin(4+8),試判斷該三角形的形狀.

變式訓(xùn)練3在△Z8C中，sinZ:sin8：sinC=2：3：4,試判斷三角形的形狀.

⑥課堂小結(jié)

1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題

(1)已知兩邊和夾角，解三角形.

(2)已知三邊求三角形的任意一角.

2.余弦定理與勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

(1)如果一個三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.

(2)如果一個三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角.

(3)如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.在△N8C中，a=7,6=45，。=仃，則△42C的最小角為()

2.在中，已知a=2,則bcosC+ccos8等于（）

A.1B.V2C.2D.4

3.在△/8C中，已知*=ac且c=2o,則cos8等于（）

13

A-4B-4

4.在△力BC中，sin22=-^7(?'b、c分別為角/、B、C的對應(yīng)邊)，則△48C的形

狀為()

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

5.在△Z8C中，已知面積S=1(/+62-。2),則角C的度數(shù)為()

A.135°B.45°C.60°D.120°

二、填空題

6.三角形三邊長分別為a,b,yja2+ab+b2(a>0,b>0),則最大角為.

7.在△力BC中，AB=2,AC=y[6,BC=l+小,工。為邊BC上的高，則力。的長是

8.在△A8C中，BC=1,當(dāng)△A8C的面積等于小時，tanC=.

三、解答題

9.在△48C中，BC=a,AC=h,且a,b是方程?—2小x+2=0的兩根，2cos(J+S)

(1)求角C的度數(shù)；

(2)求48的長；

(3)求△/8C的面積.

10.在△/8C中，已知。-6=4,a+c=2b,且最大角為120。，求三邊的長.

1.1.2余弦定理(一)

知識梳理

1.平方平方夾角兩倍b2+c2-2bccosA

c2+a2~2cacosBah2—246cosC

川十3一JJ+J-.2J+y—，

2，2bc2calab

3.(1)90°(2)60°(3)135°

自主探究

證明

如圖所示，設(shè)CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b,

|c|2=cc=(a-b)(a-b)

=a-a+bb-2ab

=a2+ft2-2abeosC.

所以/=J+/-2abeosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2hccosA,h2=c2+d1-2cacosB.

對點(diǎn)講練

【例1】解由余弦定理得

c2=a2+b2-2abeusC=8-4小,所以c=y[6-y[2,

由正弦定理得sinJ="S?C=

因?yàn)?>a,所以又???()ovZvl80。，AJ=30°.

變式訓(xùn)練1解由題意：。+6=5,ab=2.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abeosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3X2=19.c

V19.

【例2】解???c>4,c>6,???角C最大.

由余弦定理，得c2=J+y—2"cosC,

即37=9+16-24cosC,cosC=一;，

V0°<C<180°,：.C=120°.

所以△48。的最大內(nèi)角為120°.

變式訓(xùn)練2解由條件知：

加+3一/92+82_722

cos/=-2-ABAC_2X9X8=?

設(shè)中線長為x,由余弦定理知：

x=（當(dāng)）2+4爐-2.當(dāng)dBcosA

).2

=42+9-2X4X9X-=49,即X=7.

所以，4C邊上的中線長為7.

【例31解?2[sin(J-B)-sin(J+B)]

=b2[-sin(J+B)-sin(4-8)],

:.2。2cos4sin8=262cosBsinA,

由正、余弦定理，即得a%"+±/=*

乙，U4L/C

?，?a2(h2+c2-a2)=ft2(a2+c2-h2),

即(J-b2)(c2-a-Z>2)=0,：.a=b或d=J+上

???該三角形為等腰三角形或直角三角形.

變式訓(xùn)練3解因?yàn)?。：b：c=sin4：sin8：sinC

=2：3：4,

所以可令〃=2hb=3k,c=4k(k>0).

Qk)2+(3廳-(的2

c最大,cosC=2X2kX3k°

所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形.

課時作業(yè)

1.B「..a>b>c,...C為最小角，由余弦定理cosC=；疝=黑;14/

里.\C=7.]

2o」

a2+b2-c2c2+a2-b22a

2.C[AcosC+ccosB=/)?----r--------+c----------=丁=a=2.]

Llablac2aJ

3.B[Vb2=ac,c=2a,b2=2a2,b=y12a,

J+C2一bd+qJ_2/3

/.cosB2ac2a-2a4」

..1-cosAc-bb\2+J_J

4.B[*.*sin^r=~cosA=~

L222cc-Ibc-

???/+/=/,符合勾股定理.]

5.B[\*5=^(a2+b2-c2)=^absinC

/.a2+b2-c2=2absinC,/.c2=a2+h2-2ahsinC.

由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,

sinC=cosC,.'.C=45°.]

6.120°

解析易知：7a2+ab+b'a,?a2+ab+心＞b,

設(shè)最大角為仇

a2+*d/+ab+/了1

則cos0=

labr

又ee(o。,180°),:.e=120°.

7,^/3

a…..8。2+/。2--爐啦

解析；cosC=2XBCXAC=2'

sinC=^..'.AD=AC-sinC=小.

8.一2小

解析限48。=/心抽8=小，二＜?=4.由余弦定理:

b2=a2+c2-2accos5=13,

a2+b2-c21

cosC==--7=,

2ab^/13

/.tanC=-y[l2=-2小.

1

9.解(1)VcosC=COS[TC-(A+B)]=-cos(4+3)=r

2兀

且CW(0,兀)，/.C=.

a+b=2小,

⑵?."，b是方程W-2小x+2=0的兩根，，

ab=2.

.\AB2=+a2-2。6cos120°=(a+b)2-ab=10,

：.AB=yl\0.

(3)S△力8c=；absinC=；義2Xsin2Ky[3

T=2.

a-b=4=b+4

io.解由，a—2b，得

c=6-4

/.a>b>c,???力=120°,Aa2=b2+c-2bccos120°,

即S+4)2=斤+(b-4)2-2b(b-4)x5

即b1-106=0,解得b=0(舍去)或b=10.

當(dāng)6=10時，a=14,c=6.

1.1.2余弦定理（二）

自主學(xué)習(xí)

c知識梳理

1.在△ZBC中，邊a、b、c所對的角分別為/、B、C,則有：

A~\~B

⑴力+6+C=,~Y~=.

(2)sin(Z+8)=,cos(力+8)=,tan(4+8)=.

A+BA+B

(3)sm-2-,cos_2--

2.正弦定理及其變形

“)sin力—sinsinC~--------*

(2)a=,b=,c=.

(3)sinA—,sinB—,sinC~~.

(4)sin4：sin8：sinC=____________.

3.余弦定理及其推論'

⑴/=.

(2)cosA=____________.

(3)在△N8C中，c2^a+b2<^C為；c2>a2+b2<^C為；c2<a2+b2^C為

「自主探究

在△ZBC中，已知兩邊及其中一邊的對角，解三角形.一般情況下，先利用正弦定理

求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論三角形解的個數(shù).對于這一類問

題能否利用余弦定理來解三角形，請結(jié)合下面的例子加以探究.

例：在△/8C中，若N8=30。，AB=2事,AC=2,則滿足條件的三角形有幾個？

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一利用正、余弦定理證明三角恒等式

【例1】在△NBC中，求證：霜=聲；―"：

tanbb-rc-a

總結(jié)證明三角恒等式關(guān)鍵是消除等號兩端三甭函數(shù)式的差異.形式上一般有：左=右;

右=左或左=中0右三種.

變式訓(xùn)練1在△力8c中，°、b、c分別是角/、B、C的對邊.

cos8c~~bcos4

求證：---

cosCk=7b----c--c-o--s--A7.

知識點(diǎn)二利用正、余弦定理判斷三角形形狀

【例2】在△/BC中，若5=60。，2b=a+c,試判斷△/8C的形狀.

總結(jié)題中邊的大小沒有明確給出，而是通過一個關(guān)系式來確定的，可以考慮利用正弦

定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以利用余弦定理將邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系來判斷.

變式訓(xùn)練2在△ZBC中，已知①+6+c)(6+c-〃)=36c,且sin/=2sinBcosC,試確

定△N8C的形狀.

知識點(diǎn)三利用正、余弦定理解關(guān)于三角形的綜合問題

【例3】在△Z8C中，a,b,c分別是角力,B,C的對邊，cos8=g,目善?就'=-21.

(1)求△4BC的面積；

(2)若。=7,求角C.

總結(jié)這是一道向量，正、余弦定理的綜合題，解題的關(guān)鍵是化去向量的“偽裝”，找

到三角形的邊角關(guān)系.

變式訓(xùn)練3ZUBC中，內(nèi)角/、B、C的對邊分別為。、b、c,已知后=改且cosB=

3

4,

⑴求春+康的值；

（2）設(shè)放=5，求a+c的值.

⑥課堂小結(jié)

1解斜二急形的常?用舉刑及解注

在三角麻6個元素中要已知三個（至少有一邊）才能求解，常見類型及其解法見下表:

已知條件應(yīng)用定理一般解法

由4+8+C=180。，求角力；由正弦定理求出6與c.在有解時

一邊和兩角（如a,B,

正弦定理只有一解.

O

兩邊和夾角（如a,b,余弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由

Q正弦定理Z+8+C=180。求出另一角.在有解時只有一解.

由余弦定理求出角力、B;再利用/+B+C=180。，求出角C

三邊(a,b,c)余弦定理在有解時只有一解.

兩邊和其中一邊的正弦定理由正弦定理求出角8;由/+8+C=180。，求出角C；再利用

對角如3，b,A）余弦定理正弦定理或余弦定理求C.可有兩解、一解或無解.

2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑

（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.在△/8C中，若2cos8sin/=sinC,則△ZBC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

2.在△Z8C中，若b2=q2+c2+qc,則8等于（）

A.60°B.45°或135°C.120°D.30°

3.△18c的三邊分別為a,b,c且滿足2b=“+c,則此三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.在△/BC中，若J=bc,則角力是（）

A.銳角B.鈍角C.直角D.60°

5.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

二、填空題

6.已知△NBC的面積為2巾，BC=5,A=6Q°,則△Z8C的周長是.

7.在AZBC中，若1g。一lgc=lgsin/=-1成，并且/為銳角，則△N8C為

三角形.

8.設(shè)2a+l,42。-1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是

三、解答題