抽樣和抽樣分布

抽樣和抽樣分布第一頁，共六十頁，2022年，8月28日【例】某公司采購(gòu)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不是合格品就是不合格品，該批產(chǎn)品總有一個(gè)不合格品率p，若從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,用X表示取到的不合格品數(shù)，顯然X~B(1,p)這里的p是未知的，但p卻是非常重要的，它決定了這批產(chǎn)品的質(zhì)量，直接影響采購(gòu)行為的經(jīng)濟(jì)效益。

在概率論的許多問題中，概率分布通常被假定為已知的，而一切計(jì)算及推理均基于這個(gè)已知的分布進(jìn)行，在實(shí)際問題中，情況往往并非如此。第二頁，共六十頁，2022年，8月28日問題1.p的大小如何？點(diǎn)估計(jì)2.p大概在什么范圍之內(nèi)？區(qū)間估計(jì)3.能否認(rèn)為p滿足設(shè)定要求

（如p≤0.05）？假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷為此應(yīng)對(duì)全部產(chǎn)品進(jìn)行觀測(cè)，實(shí)際上這樣做不太現(xiàn)實(shí),浪費(fèi)人力物力，通常是從全部產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行觀測(cè)——抽樣。用抽樣觀測(cè)數(shù)據(jù)（局部）去估計(jì)全部產(chǎn)品的次品率。第三頁，共六十頁，2022年，8月28日§1.1總體與樣本一、總體與個(gè)體1.

總體——

研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體）.2.個(gè)體組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體.所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X.

X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.第四頁，共六十頁，2022年，8月28日

在研究2000名學(xué)生的年齡分布情況時(shí),這些學(xué)生的年齡的全體就構(gòu)成一個(gè)總體,每個(gè)學(xué)生的年齡就是個(gè)體.

實(shí)例1研究總體的分布最準(zhǔn)確的方法：記錄所有學(xué)生的年齡，得到2000個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，用全部觀測(cè)數(shù)據(jù)去研究總體的分布。

第五頁，共六十頁，2022年，8月28日在2000名大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的年齡中,年齡指標(biāo)值為“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”的依次有9，21，132，1207，588，43名,它們?cè)诳傮w中所占比率依次為例如由此可得到總體的分布.第六頁，共六十頁，2022年，8月28日

某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中,個(gè)體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),這是一個(gè)有限總體;而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體是一個(gè)無限總體,它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命.3.

有限總體和無限總體實(shí)例2

當(dāng)有限總體包含的個(gè)體的總數(shù)很大時(shí),可近似地將它看成是無限總體.第七頁，共六十頁，2022年，8月28日研究無限總體的分布時(shí)，只能從總體中抽取一定數(shù)量的個(gè)體（抽樣），用得到的這些個(gè)體觀測(cè)數(shù)據(jù)（樣本數(shù)據(jù)）去估計(jì)總體的分布。當(dāng)試驗(yàn)的成本或代價(jià)比較大時(shí)，也只能從總體中抽取一定數(shù)量的個(gè)體，用得到的這些個(gè)體觀測(cè)數(shù)據(jù)（樣本數(shù)據(jù)）去估計(jì)總體的分布。

在研究武器（如核武器）的質(zhì)量時(shí)，只能抽取非常小的一部分作試驗(yàn).

實(shí)例3第八頁，共六十頁，2022年，8月28日二、隨機(jī)樣本的定義1.樣本從總體X中抽取的若干個(gè)體稱為總體的一個(gè)樣本。樣本中所包含的個(gè)體數(shù)n稱為樣本容量，所包含個(gè)體的觀測(cè)值稱為樣本觀測(cè)值。2.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本抽樣滿足隨機(jī)性獨(dú)立性簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本第九頁，共六十頁，2022年，8月28日3.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，為總體X的一個(gè)樣本（簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本），則的聯(lián)合分布函數(shù)為若X的概率函數(shù)為p(x)，則的聯(lián)合概率函數(shù)為第十頁，共六十頁，2022年，8月28日解例4第十一頁，共六十頁，2022年，8月28日解例5第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日1.樣本的頻數(shù)分布和頻率分布將樣本觀測(cè)值從小到大排列得，列出樣本頻率分布表如下觀測(cè)值x(1)x(2)…x(l)總計(jì)頻數(shù)n1n2…nln頻率…1三、樣本的分布第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(1)稱函數(shù)為樣本分布函數(shù)（或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)）。它滿足分布函數(shù)所具有的性質(zhì)。第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日(2)格里汶科定理設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，樣本此定理表明：當(dāng)樣本容量n相當(dāng)大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個(gè)良好的近似。格里汶科的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Fn(x)，則有第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日3.直方圖(1)找出樣本觀測(cè)值的最小值x(1)和最大值x(l)；◆

作頻率直方圖的步驟(2)取a≤x(1)和b≥x(l)，將區(qū)間[a,b]分成k個(gè)子區(qū)間；(3)計(jì)算樣本觀測(cè)值落入各子區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)ni和頻率；(4)在x軸上以各子區(qū)間為底邊，以為高作小矩形即可。直方圖實(shí)驗(yàn)第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日測(cè)量100個(gè)某種機(jī)械零件的質(zhì)量，得到樣本觀測(cè)值如下（單位：g）例6試作出樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖和頻數(shù)直方圖。246251259254246253237252250251249244249244243246256247252252250247255249247252252242245240260263254240255250256246249253246255244245257252250249255248258242252259249244251250241253250265247249253247248251251249246250252256245254258248255251249252254246250251247253252255254247252257258247252264248244第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日Matlab作經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻數(shù)直方圖的命令為x=[246251259254246253237252250251249244249244243246256247252252250247255249247252252242245240260263254240255250256246249253246255244245257252250249255248258242252259249244251250241253250265247249253247248251251249246250252256245254258248255251249252254246250251247253252255254247252257258247252264248244];x=x(:);figure(1)ecdf(x)gridonfigure(2)hist(x)解第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日4.莖葉圖例7

某公司對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測(cè)試，測(cè)試成績(jī)總分為150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測(cè)試成績(jī)（已排序）。試作莖葉圖。64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133解：把上表中每一個(gè)數(shù)字分為兩部分，前面部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個(gè)位）稱為葉。如第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日畫一條豎線，豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。64770246698012235689112333566779100024667881122468991223568133第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日四、樣本數(shù)字特征1.樣本均值2.樣本方差1其觀測(cè)值Matlab命令mean(x)第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日其觀測(cè)值樣本方差2其觀測(cè)值Matlab命令var(x)第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀測(cè)值其觀測(cè)值(1)(2)Matlab命令std(x)第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日4.

樣本k階(原點(diǎn))矩其觀測(cè)值5.樣本k階中心矩其觀測(cè)值Matlab命令moment(x,k)第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日6.

樣本偏度其觀測(cè)值7.樣本峰度其觀測(cè)值樣本數(shù)字特征演示Matlab命令skewness(x)Matlab命令kurtosis(x)第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日五、樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量1.

樣本函數(shù)2.

統(tǒng)計(jì)量：不含有任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。如前面所定義的樣本數(shù)字特征。其觀測(cè)值統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日是不是例8第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日六、次序統(tǒng)計(jì)量1.最大次序統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體X~F(x)(密度:f(x))

的一個(gè)樣本。2.最小次序統(tǒng)計(jì)量3.第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量密度函數(shù)為：第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日七、樣本p分位數(shù)設(shè)為總體X的一個(gè)樣本，次序統(tǒng)計(jì)量設(shè)0<p<1，定義樣本p分位數(shù)如下。記為Matlab命令prctile(x,100p)第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日八、盒子圖（箱線圖）設(shè)為總體X的一個(gè)樣本，樣本觀測(cè)值則可得出如下盒子圖為Matlab命令boxplot(x)第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日一、分布函數(shù)與密度函數(shù)演示§1.2一些常用的抽樣分布第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日性質(zhì)1(此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.)第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日性質(zhì)2證明第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日附表2-1附表2只詳列到n=45為止.附表2-2附表2-3例9在Matlab中求解：chi2inv(1-a,n)第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.學(xué)生氏資料二、分布函數(shù)與密度函數(shù)演示第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日當(dāng)n充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日由分布的對(duì)稱性知第四十二頁，共六十頁，2022年，8月28日附表3-1附表3-2例10在Matlab中求解：tinv(1-a,n)第四十三頁，共六十頁，2022年，8月28日三、分布函數(shù)與密度函數(shù)演示第四十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第四十五頁，共六十頁，2022年，8月28日根據(jù)定義可知,第四十六頁，共六十頁，2022年，8月28日附表4-1附表4-2例11在Matlab中求解：finv(1-a,n1,n2)第四十七頁，共六十頁，2022年，8月28日證明第四十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第四十九頁，共六十頁，2022年，8月28日格里汶科資料BorisVladimirovichGnedenkoBorn:1Jan.1912inSimbirsk(nowUlyanovskaya),Russia

Died:27Dec.1995inMoscow,Russia第五十頁，共六十頁，2022年，8月28日學(xué)生氏資料Born:13Jun.1876inCanterbury,England

Died:16Oct.1937inBeaconsfield,EnglandWilliamSealeyGosset第五十一頁，共六十頁，2022年，8月28日附表1-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645第五十二頁，共六十頁，2022年，8月28日附表1-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96第五十三頁，共六十頁，2022年，8月28日附表2-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表17.535第五十四頁，共六十頁，2022年，8月28日=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.9123.247附表2-2分布表第五十五頁，共六十頁，2022年，8月28日=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.32834.382附表2-3分布表第五十六頁，共六十頁，2022年，8月28日附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表1.8125第五十七頁，共六十頁，2022年，8月28日附表3-2=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.1315分布表第五十八頁，共六十頁，2022年，8月28日附表4-1分布表

1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.018.818.077.577.216.946.726.556.416.306.206.126.045.955.92799.539.0016.0410.658.437.266.546.065.715.465.265.104.974.864.774.694.624.564.51864.239.1715.449.987.766.605.895.425.084.834.634.474.354.244.154.084.013.953.90899.639.2515.109.607.396.235.525.504.724.474.284.124.003.893.803.733.663.613.56921.839.3014.889.367.155.995.294.824.484.244.043.893.773.663.583.503.443.383.33937.139.3314.739.206.985.825.124.654.234.073.883.733.603.503.413.343.283.223.17948.239.3614.629.076.855.704.994.534.203.953.763.613.483.383.293.223.163.103.05956.739.3714.548.986.765.604.904.434.103.853.663.513.393.293.203.123.063.012.96963.339.3914.478.906.685.524.824.364.033.783.593.443.313.213.123.052.982.932.88968.639.4014.428.846.625.464.764.303.963.723.533.373.253.153.062.992.922.872.82976.739.4114.348.756.525.374.674.203.873.623.433.283.153.052.962.892.822.772.72984.939.4314.258.666.435.274.574.103.773.523.333.183.052.952.862.792.722.672.62993.139.4514.178.566.335.174.474.003.673.423.233.072.952.842.762.682.622.562.51997.239.4614.128.516.285.124.423.593.613.373.173.022.892.792.702.632.562.502.45100139.4614.088.466.235.074.363.893.563.313.122.962.842.732.642.572.502.442.39100639.4714.048.416.185.014.313.843.513.263.062.912.782.672.592.512.442.382.33101439.4913.958.316.074.904.203.733.393.142.942.792.662.552.462.382.322.262.20101839.5013.908.266.024.854.143.673.333.082.882.722.602.492.402.322.252.192.134.90第五十九頁，共六十頁，2022年，8月28日

1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.137.716.615.995.595.323.124.964.844.754.674.604.544.494.454.414.38199.519.009.556.945.795.144.744.464.264.103.983.893.813.743.683.633.595.553.52215.719.169.286.595.414.764.354.073.813.713.593.493.413.343.293.243.203.163.13224.619.259.126.395.194.534.123.843.633.483.363.263.183.113.063.012.962.932.90230.219.309.016.265.054.393.973.693.48

3.333.203.113.032.962.902.852.812.772.74234.019.33