廣西壯族自治區(qū)柳州市中山(實驗)中學2023年高一數學文下學期期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市中山(實驗)中學2023年高一數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m參考答案：B【考點】解三角形的實際應用．【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過求解兩個直角三角形得到DC和DB的長度，作差后可得答案．【解答】解：如圖，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的寬度BC等于120（﹣1）m．故選：B．【點評】本題給出實際應用問題，求河流在B、C兩地的寬度，著重考查了三角函數的定義、正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．2.已知點A(1,2)在x軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135°，則點P的坐標為（

）A.（0，3） B.（0，-1） C.（3,0） D.（-1,0）參考答案：C【分析】首先設出點P的坐標，然后結合三角函數的定義解方程即可確定點的坐標.【詳解】設點P的坐標為，由斜率的定義可知：，即，解得：.故點P的坐標為（3,0）.故選：C.【點睛】本題主要考查斜率的定義，特殊角的三角函數值的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3.在△ABC中，，則最小角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】HR：余弦定理．【分析】比較三條邊的大小，可得c邊最小，得C為最小角．利用余弦定理算出cosC=，結合C為三角形的內角，可得C=，可得本題答案．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c為最小邊，可得C為最小角由余弦定理，得cosC===∵C為三角形的內角，可得C∈（0，π），∴C=，即為△ABC的最小角為．故選：B4.三個數的大小關系為A

B

C

D參考答案：D5.已知集合，,則實數值為（

）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B略6.一個三角形的最短邊長度是1，三個角的正切值都是整數，則該三角形的最長邊的長度為

（

）

A．

B．

C．

D．2參考答案：B解析：該三角形不是直角三角形．不妨設．則，又，所以．非直角三角形中，有恒等式，即、是方程的一組正整數解．所以=2，=3．易解得最長邊為（另外一條邊長為）．7.的值等于（

）A．

B．

C．8

D．參考答案：B8.、在三角形所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是

(

)

A．

B．

C.

D．參考答案：A略9.空間四點最多可確定平面的個數是A． B． C． D．參考答案：D略10.函數f（x）=x5+x﹣3的零點所在的區(qū)間是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【分析】利用函數的單調性和函數零點的判定定理即可得出．【解答】解：由函數f（x）=x5+x﹣3可知函數f（x）在R上單調遞增，又f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（2）=25+2﹣3＞0，∴f（1）f（2）＜0，因此函數f（x）在（1，2）上存在唯一零點．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f(x)的定義域為R，對任意實數x，y滿足：，且，當時，.給出以下結論:①;②;③f(x)為R上的減函數;④為奇函數;⑤為偶函數.其中正確結論的序號是________.參考答案：①②④【分析】由題意采用賦值法，可解決①②，在此基礎上，根據函數奇偶性與單調性，繼續(xù)對各個選項逐一驗證可得答案．【詳解】由題意和的任意性，取代入，可得，即，故①正確；取，代入可得，即，解得；再令代入可得，故②正確；令代入可得，即，故為奇函數，④正確；取代入可得，即，即，故為上減函數，③錯誤；⑤錯誤，因為，由④可知為奇函數，故不恒為0，故函數不是偶函數.故答案為：①②④【點睛】本題考查函數的概念及性質，熟記函數的基本性質，靈活運用賦值法進行處理即可，屬于常考題型.12.若冪函數的圖象經過點，那么這個函數的解析式是

．參考答案：

13.已知，，且，則___________參考答案：、

14.（5分）已知sin（+α）=，那么cosα=

．參考答案：考點： 運用誘導公式化簡求值．專題： 三角函數的求值．分析： 已知等式左邊利用誘導公式化簡，即可求出cosα的值．解答： sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=，故答案為：點評： 此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．15.直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，則實數的取值范圍是

▲

．參考答案：或略16.甲船在點A處測得乙船在北偏東60°的B處，并以每小時10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏東30°角方向直線航行，并1小時后與乙船在C處相遇，則甲船的航速為海里/小時．參考答案：10【考點】HU：解三角形的實際應用．【分析】設甲船的航速為v海里/小時，則AC=v，BC=10，∠CAB=30°，∠ABC=120°，由正弦定理可得甲船的航速．【解答】解：設甲船的航速為v海里/小時，則AC=v，BC=10，∠CAB=30°，∠ABC=120°，由正弦定理可得，∴v=10海里/小時．故答案為10．17.已知各頂點都在一個球面上的正方體的棱長為2，則這個球的體積為．參考答案：4π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】求出正方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，利用球的體積公式求解即可．【解答】解：因為一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度：2．所以球的半徑為：．所求球的體積為：=4π．故答案為：4π．【點評】本題考查球的內接體，球的體積的求法，求出球的半徑是解題的關鍵，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設數列的前n項和為Tn，求證：（）．參考答案：（Ⅰ），，（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據和項與通項關系得，利用等比數列定義求得結果（Ⅱ）利用放縮法以及等比數列求和公式證得結果【詳解】（Ⅰ），由得，兩式相減得故，又所以數列是以2為首項，公比為2的等比數列，因此，即.（Ⅱ）當時，，所以.當時，故又當時，，因此對一切成立.【點睛】本題主要考查了利用和的關系以及構造法求數列的通項公式，同時考查利用放縮法證明數列不等式，解題難點是如何放縮，意在考查學生的數學建模能力和數學運算能力。19.已知不等式的解集為A.(Ⅰ)若，求集合A；(Ⅱ)若集合A是集合的子集，求實數a的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】（I）結合二次函數圖象直接得出一元二次不等式的解集；（II）結合已知集合的包含關系得出，從而可寫出集合，再由包含關系得出的最終取值范圍．【詳解】(Ⅰ)當時，由，得解得所以(Ⅱ)因為可得，又因為集合是集合的子集，所以可得，(當時不符合題意，舍去)所以綜上所述.20.（12分）（1）設x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，求|+|和+與的夾角；（2）設0為△ABC的外心，已知AB=3，AC=4，非零實數x，y滿足且x+2y=1，則cos∠BAC的值．參考答案：考點： 平面向量的基本定理及其意義．專題： 平面向量及應用．分析： （1）根據向量的平行和垂直線求出x，y值，然后求解即可；（2取去AC的中點，證明0、B、D共線，在Rt△ADB中求cos∠BAC的值．解答： （1）∵；∴2x﹣4=0；x=2，又；∴﹣4﹣2y=0；y=﹣2∴，…（4分）設與的夾角為θ，則；∵0≤θ≤π；∴即與的夾角為…（7分）（2）設AC的中點為D∵；又x+2y=1；O、B、D三點共線…（12分）由O為△ABC外心知OD⊥AC，BD⊥AC在Rt△ADB中，AB=3，∴…（14分）點評： 本題主要考查向量的平行、垂直，夾角、模等知識點．21.設函數f(x)＝x2－2－1(－3≤x≤3)．（1）證明：f(x)是偶函數；（2）指出函數f(x)的單調區(qū)間，并說明在各個單調區(qū)間上f(x)是增函數還是減函數；（3）求函數的值域．參考答案：解析：（1）定義域為{x│－3≤x≤3}，關于原點對稱．(1分)因為f(－x)＝(－x)2－2－1＝x2－2－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，(2分)所以f(x)是偶函數．(3分)（2）當x≥0時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，當x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2．(4分)所以f(x)＝(5分)函數f(x)的單調區(qū)間為[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分)f(x)在區(qū)間[－3，－1]，[0，1]上為減函數，在[－1，0，[1，3]上為增函數．(7分)（3）當0≤x≤3時，函數f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2；(9分)當－3≤x＜0時，函數f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2．(11分)故函數的值域為[－2，2]．(12分)22.（12分）已知直線l1：（a﹣1）x+y+b=0，l2：ax+by﹣4=0，求滿足下列條件的a，b的值（1）l1⊥l2，且l1過（1，1）點；（2）l1∥l2，且l2在第一象限內與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2．參考答案：考點： 直線的一般式方程與直線的垂直關系；直線的一般式方程與直線的平行關系．專題： 直線與圓．分析： （1）由題意可得a（a﹣1）+b=0，a+b=0，聯立方程組，解方程組驗證可得；（2）由平