2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第38講：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第38講：等比數(shù)列

及其前n項(xiàng)和

i.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第1項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)

賞數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,

通常用字母q表示，定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為誓=4(〃GN*,q為非零常數(shù)).

Cln

(2)等比中項(xiàng)：如果a,G,8成等比數(shù)列，那么G叫做。與人的等比中項(xiàng).即

G是。與6的等比中項(xiàng)今a,G,b成等比數(shù)列今G2=".

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

］nm

(1)通項(xiàng)公式：an=aia"=amq~.

(2)前〃項(xiàng)和公式:

nai(1=1),

-—(1—q")ai—anq.

—1(qW1).

｛1-q1—q

［常用結(jié)論］

等比數(shù)列的常用性質(zhì)

1.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，若加+〃=p+q=2A(m，n,p,q,R￡N*),則甌

2.若數(shù)列｛或｝,｛瓦｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛癡"｝(220)，21，｛易｝，｛如為｝,

仍然是等比數(shù)列.

3.等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，則品陷Ej跖二版t仍成等比數(shù)列，

其公比為其中當(dāng)公比為一1時(shí)，”為偶數(shù)時(shí)除外.

匚學(xué)情自測(cè)驗(yàn)收n

一、思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)滿足a"+i=qa”(〃6N*,q為常數(shù))的數(shù)列｛a〃｝為等比數(shù)列.()

⑵G為a,人的等比中項(xiàng)0G2=而.()

第1頁(yè)共9頁(yè)

(3)若｛為｝為等比數(shù)列,6=成”-1+。2",則數(shù)列｛瓦｝也是等比數(shù)列.()

Cl(1—4〃)

(4)數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式是a,,=ari,則其前n項(xiàng)和為S?=———.()

(5)數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，則S4,58-54,-2—S8成等比數(shù)列.()

[答案](1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

二、教材改編

1.在等比數(shù)列｛。1｝中，曲=2,07=8,則。5等于()

A.5B.±5

C.4D.±4

C[=ci3cn=2X8=16,d?5=i4.

又=a3q2>0,<〃5=4.]

2.等比數(shù)列｛。〃｝的前〃項(xiàng)和為S”已知§3=42+10〃1,45=9,則。1=()

A-3B--3

4D.

C[V53=?2+lOtzi,+42+43=02+1()0,.??〃3=9ai,即公比/=9,

又a5=a\q4,???。1=3=4=/.故選C.]

3.在數(shù)列｛a〃｝中，ai=2,a〃+i=2a〃，S〃為｛a〃｝的前〃項(xiàng)和.若S?=126,則

n=________

6[.ai=2,。"+1=2。”,

,數(shù)列■〃｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

2(1—2")

又?.?*=126,=126,

1-2

解得n=6.]

4.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB,然后每3秒自身

復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍，那么開(kāi)機(jī)秒，該病毒占據(jù)內(nèi)

存8G3(1GB=2i"MB).

39[由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列｛z｝,

且ai=2,q=2,?**cin=2Z,,

則2〃=8X2i°=2%A/i=13.

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即病毒共復(fù)制了13次.

所需時(shí)間為13X3=39（秒）.]

總結(jié)常考考點(diǎn)課堂考點(diǎn)探究破解高考疑難

考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算

觸通法等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前"項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量G,an,q,n,Sn,已

知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)（簡(jiǎn)稱“知三求二”）.

（2）運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，注意分夕=1和4W1兩類分別討論.

牌典題1.設(shè)S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知3s3=的一2,3S2=B—2,

則公比夕=（）

A.3B.4C.5D.6

B[因?yàn)?s3=的一2,3s2=。3—2,所以兩式相減，得3（53—52）=（。4-2）一

（。3—2）,

即3〃3=〃4—。3,

Q4

得?4=4?3,所以q=7=4.]

2.（2019?全國(guó)卷I）記*為等比數(shù)列｛“八｝的前〃項(xiàng)和.若ai=；,晶="6,則

Ss—?

號(hào)'[設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知ai=g,晶=。6,所以（；靖）2=55,又

（.s\T（1—35）c

,,,,“a\（.1~a）3121

qWO,所以q=3,所以Ss=\=jz=2.]

1\—q1—33

39

3.等比數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前〃項(xiàng)和為已知〃3=+53=|,

則ai=.

一3或|[法一：（直接法）:?數(shù)列｛以｝是等比數(shù)列，

39

???當(dāng)q=l時(shí)，41=42=03=],顯然S3=3a3=,

當(dāng)時(shí)，由題意可知

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(1一寸)9

1—q2，

，3

=2,

解得q=—；或q=1(舍去).

Q33

/.t?2=~=5x(-2)=-3.

q/

、、、3

綜上可知O2=-3或/

法二：(優(yōu)解法)由〃3=|得M+。2=3.

即2夕2一夕一1=0,

??6)=-］或<7=1.

6Z2=-=-3或2］

q/

4.(2018?全國(guó)卷HI)等比數(shù)列■〃｝中,。1=1,45=443.

(1)求｛z｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S為｛z｝的前〃項(xiàng)和，若％=63,求利

［解］⑴設(shè)｛。?｝的公比為q,由題設(shè)得。〃=/廠】.

由已知得,4=4^2,

解得4=0(舍去)，q=—2或q=2.

故?！?(—2)〃一?或。〃=2〃一i(〃￡N+).

1—(—2)〃

(2)若z=(—2)〃r,則S〃=---------.

由Sm=63得(-2產(chǎn)=-188,

此方程沒(méi)有正整數(shù)解.

若cbi=2〃1,則=2"—1.

由Sm=63得2"'=64,解得"?=6.

綜上，777=6.

IE點(diǎn)評(píng)抓住基本量m.q,借用方程思想求解是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，求解

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中要注意方法的擇優(yōu)，如T3,方法二避免了討論.

考點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明

琢通法判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見(jiàn)方法

(1)定義法：若等i=g(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列｛詼｝是等比數(shù)列；

(2)等比中項(xiàng)法:若忌+】=a”a“+2(〃WN+,如WO),則數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列；

(3)通項(xiàng)公式法：若a〃=Ag"(A,q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列｛而｝是等比數(shù)列.

■M552

EG典例設(shè)數(shù)列｛〃〃｝中，0=1,。2=亨小+2=］小+1—於〃，令兒=?！?1—

z(〃￡N*)

(1)證明：數(shù)列｛瓦｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式.

52

［解］(1)V。?+2=］〃“+1—貴〃，

而bn=Qn+l-a〃，

/??+1=^bnf又61=42-

2?

???｛兒｝是首項(xiàng)為亨公比為］的等比數(shù)列.

⑵由⑴知瓦=|義邸-1=停)"

Cln-Cln-\=曠

。+-an-2）~\------1~（。2—+=1+1+停產(chǎn)+…+停）

［逆向問(wèn)題］已知數(shù)列｛小｝的前n項(xiàng)和為S〃,且S〃=2小一3〃(〃WN*).

(1)求QI,02,〃3的值；

⑵是否存在常數(shù)九使得｛血+2｝為等比數(shù)列？若存在，求出A的值和通項(xiàng)公

式。“若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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［解］(1)當(dāng)〃=1時(shí),Si=ai=2ai—3,解得m=3,

當(dāng)〃=2時(shí)，52=。1+。2=2〃2—6,解得42=9,

當(dāng)鹿=3時(shí)，53=。1+。2+。3=2。3—9,解得43=21.

⑵假設(shè)｛z+儲(chǔ)是等比數(shù)列，則32+4)2=3+2)3+4),

即(9+4)2=(3+a)(21+a，解得a=3.

下面證明｛〃“+3｝為等比數(shù)列：

*.*Sn=一3〃，/.5//+1=2an+1—3〃-3,

**.Cln+\=Sn+］—S〃=2a〃+i—2cin—3,即2。〃+3=。〃+1,

.?！?1+3-

:,2(?！?3)=1+3,二m+3=2,

存在4=3,使得數(shù)列｛z+3｝是首項(xiàng)為ai+3=6,公比為2的等比數(shù)列.

...a"+3=6X2"-i,即為=3(2"—1)(〃GN*).

12點(diǎn)評(píng)(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與通項(xiàng)公式法，其他方法只

用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)

三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

(2)已知等比數(shù)列求參數(shù)的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆

向問(wèn)題.

［教師備選例題］

設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前J2項(xiàng)和為5〃，已知0=1,S"十1=4外+2.

(1)設(shè)瓦=。用一2?！?證明：數(shù)列｛瓦｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式.

［解］(1)證明：由0=1及S〃+i=4a〃+2,

有0+。2=52=4。1+2.

?\。2=5,**?b\=ci2-2ai=3.

Sn+1=+2,①

又＜

Sn=4an-\+2(〃22),②

①一②，得an+1=4an—4an-\(n2),

「??！?1—2an=2(?！ā?an-1)(〃22).

?瓦=?！?12?！?，??力?=2?！ㄒ唬?〃力2),

故｛兒｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.

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(2)由(1)知瓦=o〃+i—2a〃=3,2”19

ZZ3

1

2,22,?

故徵是首項(xiàng)為g,公差為(的等差數(shù)列.

.也」_L/_1、33/1-1

故a〃=(3〃—1>2〃-2.

炳典題(2019?全國(guó)卷H)已知數(shù)列｛〃〃｝和｛d｝滿足0=1,歷=0,4a〃+i=3o?

一歷［+4,4/?〃+i=3為一小一4.

(1)證明：｛如+為｝是等比數(shù)列，｛。〃一瓦｝是等差數(shù)列;

(2)求｛5｝和｛仇｝的通項(xiàng)公式.

［解］⑴證明：由題設(shè)得4(。〃+1+?！?1)=2(。?+瓦)，即。?+1+?！?1=3(。?+?！??

又因?yàn)閰n+從=1,所以｛而+瓦｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4(a〃+i—瓦+i)=4(z—瓦)+8,即?！?1—bn+\=an—力?+2.

又因?yàn)榈囊?=1,所以｛小一從｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，a〃+b〃=2"-\，%?—bn=2n—1.

所以Z=；［(&〃+bn)+(an—bn)］=.+〃-］，

bn=；［(〃〃+bn)—(an-bn)］=吩一九+'

考點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

改法等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為3類

(1)通項(xiàng)公式的變形.

(2)等比中項(xiàng)的變形.

(3)前〃項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征

即可找出解決問(wèn)題的突破口.

物典例(1)［一題多解］已知數(shù)列｛雨｝為等比數(shù)列，。4+小=2,。5。6=-8,則

。1+。10等于()

A.7B.5C.-5D.-7

第7頁(yè)共9頁(yè)

(2)設(shè)S,是等比數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和，若浮3,則引=()

73

A.2BqC.行D.1或2

(3)已知等比數(shù)列｛而｝共有2〃項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和

大80,則公比q=.

(1)D(2)B(3)2［⑴法一：(基本量法)設(shè)數(shù)列僅“｝的公比為q,

44+。7=0爐+。?6=2,

則由題意得＜

asa6—a]q4'Xa\q5=a^q9=—S,

q3=z—2,

所以，或1

,a\=\

=-8,

所以ai+aio=ai(l+q9)=-7.

44+07=2,

法二：(性質(zhì)法)由，

6Z56Z6=UAC11=-8,

。4=-2,Q4=4,

解得或'

e=4W=-2.

q3=z—2,/=一；,

所以，或'

,a\=\

。1=-8,

所以ai+aio=ai(l+q9)=—7.

(2)設(shè)S2=Z,S&=3k,?.,數(shù)列｛&｝為等比數(shù)列,：.S2,S4-S2,S6-S4也為等

比數(shù)列,又S23,S4—S=2k,：.S6-S4=4k,；.S6=7k,：噂=舒,故選

B.

S.+S,s=-240,

(3)由題意，得J

奇-5偶=80,

S奇=一80,s偶一160

解得所以q=u==2.]

&=一160,"S奇-8o0n

E.*if在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，特別關(guān)注項(xiàng)

以或和S”的下角標(biāo)數(shù)字間的內(nèi)在關(guān)系，活用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，提高解題速度.

［教師備選例題］