2018版高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.2瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)（一）學(xué)案版1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線的切線的概念，會(huì)用逼近的思想求切線斜率。2。會(huì)求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度．知識(shí)點(diǎn)一曲線上一點(diǎn)處的切線思考如圖，當(dāng)點(diǎn)Pn（xn，f（xn)）(n＝1,2,3,4）沿著曲線f（x）趨近于點(diǎn)P（x0,f(x0)）時(shí)，割線PPn的變化趨勢(shì)是什么？梳理可以用逼近的方法來計(jì)算切線的斜率，設(shè)P(x，f（x）），Q(x＋Δx,f(x＋Δx）)，則割線PQ的斜率為kPQ＝eq\f（fx＋Δx－fx,Δx）。當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，____________無限趨近于點(diǎn)P（x，f（x）)處的切線的________．知識(shí)點(diǎn)二瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度思考瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度和函數(shù)的變化率有什么關(guān)系？

梳理(1)如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移s(t）的平均變化率eq\f（st0＋Δt－st0,Δt）無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的________________，即位移對(duì)于時(shí)間的________________．（2）如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v（t)的平均變化率eq\f(vt0＋Δt－vt0,Δt)無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的________________，即速度對(duì)于時(shí)間的________________．知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的平均變化率有什么關(guān)系?思考2導(dǎo)數(shù)f′(x0）有什么幾何意義？梳理設(shè)函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間(a，b）上有定義，x0∈(a，b)，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí),比值eq\f(Δy,Δx）＝________________無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f（x）在點(diǎn)x＝x0處________，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作________．類型一求曲線在某點(diǎn)處的切線斜率例1如圖，已知曲線y＝eq\f(1,3）x3上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2,\f(8,3））），求：(1)點(diǎn)P處的切線的斜率；(2)點(diǎn)P處的切線方程．反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是理解割線逼近切線的思想．即求曲線上一點(diǎn)處切線的斜率時(shí)，先表示出曲線在該點(diǎn)處的割線的斜率,則當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，可得到割線的斜率逼近切線的斜率．跟蹤訓(xùn)練1若曲線f(x）＝x2－1在點(diǎn)P處的切線的斜率為k，且k＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．類型二求瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度例2已知質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系為v＝3t2＋2(速度單位：cm/s,時(shí)間單位：s）,（1)當(dāng)t＝2，Δt＝0。01時(shí)，求eq\f（Δv，Δt)；(2)求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)加速度．反思與感悟（1）求瞬時(shí)速度的關(guān)鍵在于正確表示“位移的增量與時(shí)間增量的比值",求瞬時(shí)加速度的關(guān)鍵在于正確表示“速度的增量與時(shí)間增量的比值”，注意二者的區(qū)別．（2)求瞬時(shí)加速度：①求平均加速度eq\f(Δv，Δt）;②令Δt→0,求出瞬時(shí)加速度．跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s（t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值．類型三求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例3求函數(shù)y＝eq\r（x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．反思與感悟根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝f(x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1）求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f（x0）；（2）求平均變化率eq\f(Δy，Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）；（3)得導(dǎo)數(shù)，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy，Δx)→f′（x0)．關(guān)鍵是在求eq\f(Δy，Δx)時(shí)，要注意分式的通分、無理式的分子有理化等常用技巧的使用．跟蹤訓(xùn)練3利用定義求函數(shù)y＝x＋eq\f(1，x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．1．已知曲線y＝f（x）＝2x2上一點(diǎn)A（2，8），則點(diǎn)A處的切線斜率為________．2．任一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是________．3．已知物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間之間的關(guān)系：v(t）＝t2＋2t＋2，則在時(shí)間段[1，1＋Δt]內(nèi)的平均加速度是________,在t＝1時(shí)的瞬時(shí)加速度是________．4．已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16。則點(diǎn)P坐標(biāo)為____________．5．已知函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則當(dāng)Δx趨近于零時(shí)，eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)無限趨近于常數(shù)________．1．曲線的切線斜率是割線斜率的極限值，是函數(shù)在一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率．2．瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體的位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率,可以精確刻畫物體在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度．提醒:完成作業(yè)第3章§3.13.1.2（一）

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置．這個(gè)確定的位置的直線PT稱為過點(diǎn)P的切線．梳理eq\f（fx＋Δx－fx,Δx)斜率知識(shí)點(diǎn)二思考瞬時(shí)速度是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，瞬時(shí)加速度是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．梳理（1）瞬時(shí)速度瞬時(shí)變化率(2）瞬時(shí)加速度瞬時(shí)變化率知識(shí)點(diǎn)三思考1函數(shù)f(x）在點(diǎn)x0附近的平均變化率為eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx)，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx)→A,A就是f（x）在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）．思考2f′(x0）的幾何意義是曲線y＝f(x）在點(diǎn)(x0，f（x0））處的切線的斜率．梳理eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）可導(dǎo)f′（x0）題型探究例1解(1)由y＝eq\f(1,3）x3，得eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(\f(1,3)x＋Δx3－\f(1,3)x3,Δx)＝eq\f（1,3)×eq\f（3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx）＝eq\f(1,3)×［3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí),eq\f(Δy,Δx)趨近于x2，即y′＝x2.y′｜x＝2＝22＝4.即點(diǎn)P處的切線的斜率為4。(2)在點(diǎn)P處的切線方程為y－eq\f（8,3)＝4（x－2)，即12x－3y－16＝0.跟蹤訓(xùn)練1（1,0)例2解eq\f（Δv，Δt）＝eq\f（vt＋Δt－vt，Δt)＝eq\f（3t＋Δt2＋2－3t2＋2，Δt）＝6t＋3Δt。（1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，eq\f（Δv，Δt）＝6×2＋3×0。01＝12。03(cm/s2)．(2）當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，6t＋3Δt無限趨近于6t，則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)加速度為12cm/s2。跟蹤訓(xùn)練2解∵Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt）2∴eq\f（Δs，Δt)＝4a＋aΔt。當(dāng)Δt→0時(shí),eq\f(Δs，Δt）→4a?！咴趖＝2s時(shí)，瞬時(shí)速度為8m/s，∴4a＝8，∴a例3解Δy＝eq\r(1＋Δx）－1，eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx）－1,Δx）＝eq\f（\r（1＋Δx)－1\r(1＋Δx)＋1，Δx\r(1＋Δx）＋1)＝eq\f(1,\r（1＋Δx)＋1)。當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(1,\r（1＋Δx)＋1）無限趨近于eq\f(1,2），∴y＝eq\r（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為eq\f（1,2).跟蹤訓(xùn)練3解∵Δy＝（x＋Δx）＋eq\f（1，x＋Δx）－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)））＝Δx－eq\f（Δx,xx＋Δx)，∴eq\f（Δy,Δx）＝1－eq\f(1，xx＋Δx)，從而,當(dāng)