初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)軸對(duì)稱1課題學(xué)習(xí)最短路徑問題 優(yōu)秀

課題：最短路徑問題天門市外國(guó)語學(xué)校錢琴導(dǎo)學(xué)案【教學(xué)內(nèi)容】本節(jié)課是八年級(jí)上冊(cè)第十三章第四節(jié)的課題學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了兩點(diǎn)之間線段最短、三角形三邊關(guān)系、畫軸對(duì)稱圖形和平移等知識(shí)基礎(chǔ)，以此探究生活中的最短路徑問題，本課以軸對(duì)稱變換和平移變換的方式，把兩點(diǎn)一線或兩點(diǎn)兩線的題轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)”的題，用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.學(xué)生難以理解的是求最短路徑時(shí)如何把多條線段轉(zhuǎn)到一條直線上，所以采用多媒體教學(xué)讓學(xué)生看圖得到直觀感受，理解折線轉(zhuǎn)直的方法.【教學(xué)目標(biāo)】1.利用軸對(duì)稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到同一條直線上，解決最短路徑問題；2.通過獨(dú)立思考、合作探究等方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力；3.數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣及解決實(shí)際問題的能力.【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：用所學(xué)知識(shí)作出最短路徑.難點(diǎn)：靈活利用軸對(duì)稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到直線上，解決問題并證明.【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)具備了以下的知識(shí)基礎(chǔ)：兩點(diǎn)之間線段最短、三角形三邊關(guān)系、畫軸對(duì)稱圖形和平移等知識(shí)，再準(zhǔn)備好鉛筆、直尺，就可以進(jìn)行本節(jié)課關(guān)于最短距離的探究了.利用三邊關(guān)系驗(yàn)證最短距離是本節(jié)課的難點(diǎn).老師用多媒體演示不同類型的路徑題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)的題，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)解決問題，演示最短路徑與其它路徑的動(dòng)態(tài)比較過程，讓學(xué)生先感受，進(jìn)而理解其證明方法.【教學(xué)策略】啟發(fā)式教學(xué)，多媒體輔助教學(xué)學(xué)習(xí)過程【探究活動(dòng)一】復(fù)習(xí)鞏固引入新知1.探究問題：如圖1所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？2.已知：如圖2，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.【探究活動(dòng)二】探究歸納生成新知ABl（將軍飲馬問題）相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：

ABl1.抽象問題：你能把這個(gè)問題抽象成數(shù)學(xué)問題嗎？我們可以將筆直的河流抽象成一條__________，A地和B地抽象成__________.請(qǐng)畫出圖形.這個(gè)數(shù)學(xué)問題可以描述為：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的_______，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，_____與_____的和最小？2.轉(zhuǎn)化問題：能否把直線l同側(cè)的兩點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？(如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到符合條件的點(diǎn)B′嗎？)問題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，_____+_____的和最??？3.解決問題：如圖3，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。空?qǐng)畫出圖形.B4.證明結(jié)論：如圖4，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′，你能證明AC+CB<AC′+C′B嗎？B【探究活動(dòng)三】拓展探究深化新知（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）1.抽象問題：你能把這個(gè)問題抽象成數(shù)學(xué)問題嗎？我們可以將平行的河岸抽象成兩條__________，A地和B地抽象成__________.請(qǐng)畫出圖形.這個(gè)數(shù)學(xué)問題可以描述為：如圖，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN⊥直線b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，______+______+_______最?。?.轉(zhuǎn)化問題：能否把兩條直線異側(cè)的兩點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)化到一條直線異側(cè)的兩點(diǎn)呢？(將AM沿與河岸方向垂直的方向平移一個(gè)河寬，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)___，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)___，則AA′=____，AM+NB=____+____)問題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，____+____最小？3.解決問題：如圖5，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN⊥直線b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最?。?.證明結(jié)論：如圖6，在直線b上另外任取一點(diǎn)N′，過點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B，證明：AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.【課堂小結(jié)梳理新知】【當(dāng)堂檢測(cè)鞏固新知】如圖7所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1.利用軸對(duì)稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到同一條直線上，解決最短路徑問題；2.通過獨(dú)立思考、合作探究等方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力；3.數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣及解決實(shí)際問題的能力.【導(dǎo)學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：用所學(xué)知識(shí)解決及證明最短路徑問題.難點(diǎn)：靈活利用軸對(duì)稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到直線上，解決問題. 導(dǎo)學(xué)過程導(dǎo)入：最短路徑問題是生活中常見的實(shí)際問題.比如人們?cè)谶x擇最短路線、鋪設(shè)管道、修建道路等方面，如果能夠做出最好的選擇，就會(huì)起到節(jié)約人力、物力、財(cái)力的作用.這一節(jié)課讓我們從《將軍飲馬》問題入手，一起來探討“如何設(shè)計(jì)最短路徑”.【導(dǎo)學(xué)一】復(fù)習(xí)鞏固引入新知設(shè)置意圖：通過3道題的訓(xùn)練，讓學(xué)生回顧“兩點(diǎn)之間線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等最短路徑問題，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做鋪墊.操作流程：1.學(xué)生獨(dú)立思考，回答問題；2.老師補(bǔ)充點(diǎn)評(píng).【導(dǎo)學(xué)二】探究歸納生成新知設(shè)置意圖：帶領(lǐng)學(xué)生一起走進(jìn)故事情境，探索數(shù)學(xué)家海倫到底怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了將軍的問題.操作流程：同桌交流、小組合作等方式分別完成1-4題，用所學(xué)知識(shí)解決問題.問題1：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生抽象問題的能力（兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)的問題），增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí).操作流程：同桌交流，討論問題1；教師隨機(jī)抽取兩名同學(xué)回答；教師補(bǔ)充并畫出圖形.問題2：設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)想舊知，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，培養(yǎng)學(xué)生(軸對(duì)稱)轉(zhuǎn)化問題的能力，為解決新問題做準(zhǔn)備.操作流程：1.老師用多媒體展示轉(zhuǎn)化過程，引導(dǎo)學(xué)生用軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；2.學(xué)生思考、回答；3.老師點(diǎn)評(píng).問題3：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用舊知（兩點(diǎn)之間線段最短）解決新問題的能力，規(guī)范作圖過程.操作流程：1.同桌討論交流，選一名代表上臺(tái)演排，畫出最短路徑；2.其他小組成員點(diǎn)評(píng)；3.老師歸納、小結(jié)作法.問題4：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，會(huì)證明解法的正確性.操作流程：1.小組討論交流，選一名代表上臺(tái)演排，寫出證明過程；2.其他小組成員點(diǎn)評(píng)；3.老師歸納、小結(jié)標(biāo)準(zhǔn)過程；4.師生一起回顧總結(jié)本類題型解決方法.【導(dǎo)學(xué)三】拓展探究深化新知設(shè)置意圖：帶領(lǐng)學(xué)生一起走進(jìn)故事情境，探索怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決造橋選址的問題.操作流程：同桌交流、小組合作等方式分別完成1-4題，用所學(xué)知識(shí)解決問題.問題1：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生抽象問題的能力（兩點(diǎn)在兩條直線異側(cè)的問題），增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí).操作流程：同桌交流，討論問題1；2.教師隨機(jī)抽取兩名同學(xué)回答；3.教師補(bǔ)充并畫出圖形.問題2：設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)想舊知，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，培養(yǎng)學(xué)生（平移）轉(zhuǎn)化問題的能力，為解決新問題做準(zhǔn)備.操作流程：1.老師用多媒體展示轉(zhuǎn)化過程，引導(dǎo)學(xué)生用平移性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；2.學(xué)生思考、回答；3.老師點(diǎn)評(píng).問題3：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用舊知（兩點(diǎn)之間線段最短）解決新問題的能力，規(guī)范作圖過程.操作流程：1.同桌討論交流，選一名代表上臺(tái)演排，畫出最短路徑；2.其他小組成員點(diǎn)評(píng)；3.老師歸納、小結(jié)作法.問題4：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，會(huì)證明解法的正確性.操作流程：1.小組討論交流，選一名代表上臺(tái)演排，寫出證明過程；2.其他小組成員點(diǎn)評(píng)；3.老師歸納、小結(jié)標(biāo)準(zhǔn)過程；4.師生一起回顧總結(jié)本類題型解決方法.【課堂小結(jié)】請(qǐng)兩