2023年中考數(shù)學(xué)黃金知識(shí)點(diǎn)系列專題28與圓有關(guān)的角

專題28與圓有關(guān)的角聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解一、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。3、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。4、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。名師點(diǎn)睛☆典例分類考點(diǎn)典例一、圓心角、圓周角之間的換算.【例1】〔2023山東濟(jì)寧第5題〕如圖，在⊙O中，=，∠AOB=40°，那么∠ADC的度數(shù)是〔〕A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】C.【解析】考點(diǎn)：圓周角定理.【點(diǎn)睛】此題運(yùn)用了圓周角定理．一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．【舉一反三】〔2023湖南婁底第6題〕如圖，AB是⊙O的直徑，∠D=40°，那么∠CAB的度數(shù)為〔〕A．20°B．40°C．50°D．70°【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)圓周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案選C．考點(diǎn)：圓周角定理.考點(diǎn)典例二、圓周角與垂徑定理的關(guān)系【例2】〔2023內(nèi)蒙古巴彥淖爾第3題〕如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，那么∠ABD與∠AOD分別等于〔〕A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理．【舉一反三】如圖，在⊙O中，CD⊥AB于E，假設(shè)∠BAD=30°，且BE=2，那么CD=．【答案】．【解析】試題分析：如答圖，連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°.∵CD⊥AB，∴DE=CE.在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-2，OD=r，∵，∴，解得r=4，∴OE=4-2=2，∴.∴CD=2DE=．考點(diǎn)典例三圓周角與切線之間的關(guān)系【例3】〔2023海南省第12題〕如圖，AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．假設(shè)∠P=40°，那么∠ABC的度數(shù)為〔〕A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】B.【解析】【舉一反三】〔2023黑龍江哈爾濱第18題〕如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接OC、BE．假設(shè)AE=6，OA=5，那么線段DC的長(zhǎng)為．【答案】4.【解析】試題分析：令OC交BE于F，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵AD⊥CD，∴BE∥CD，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四邊形CDEF為矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．考點(diǎn)：1切線；2矩形的性質(zhì)；3勾股定理.考點(diǎn)典例四與圓周角有關(guān)的證明【例4】〔2023湖北黃石第19題〕〔本小題總分值7分〕如圖，⊙O的直徑為，點(diǎn)在圓周上〔異于〕，.〔1〕假設(shè)=3，，求的值；〔2〕假設(shè)是的平分線，求證：直線是⊙O的切線.第19第19題圖【答案】(1)4;(2)詳見解析.【解析】〔2〕證明：是的角平分線，又∽又，是⊙的切線.解法二〔2〕證明：是的角平分線，圓的性質(zhì)，即∥,又，是⊙的切線考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；切線的判定.【舉一反三】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD．〔1〕求證：∠A=∠BCD；〔2〕假設(shè)M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切？并說明理由．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕當(dāng)MC=MD〔或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)〕時(shí)，直線DM與⊙O相切，理由見解析.【解析】∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°.∴∠DCB=∠A.〔2〕當(dāng)MC=MD〔或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)〕時(shí)，直線DM與⊙O相切，理由如下：如答圖，連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2.∵DM=CM，∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°.∴直線DM與⊙O相切．課時(shí)作業(yè)☆能力提升一．選擇題1．〔2023江蘇常州第5題〕如圖，把直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，那么該圓玻璃鏡的半徑是〔〕A．cmB．5cmC．6cmD．10cm【答案】B．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理．2.〔2023四川達(dá)州第7題〕如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C〔0，2〕，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，那么tan∠OBC為〔〕 B．2 C． D．【答案】C.【解析】考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義．3.(2023湖北襄陽第8題)如圖，I是?ABC的內(nèi)心，AI向延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BI，BD，DC以下說法中錯(cuò)誤的一項(xiàng)為哪一項(xiàng)()A．線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合B．線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI熏合C．∠CAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合D．線段ID繞點(diǎn)I順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合【答案】D.【解析】考點(diǎn)：內(nèi)心的概念；圓周角定理.4.〔2023湖南婁底第6題〕如圖，AB是⊙O的直徑，∠D=40°，那么∠CAB的度數(shù)為〔〕A．20°B．40°C．50°D．70°【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)圓周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案選C．考點(diǎn)：圓周角定理.5.〔2023內(nèi)蒙古巴彥淖爾第3題〕如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，那么∠ABD與∠AOD分別等于〔〕A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理．6.如下圖，點(diǎn)A，B，C在圓O上，∠A=64°，那么∠BOC的度數(shù)是〔〕 A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°【答案】C．【解析】試題分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．應(yīng)選C．考點(diǎn)：圓周角定理．二．填空題1.〔2023內(nèi)蒙古包頭第18題〕如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AC，假設(shè)∠A=30°，PC=3，那么BP的長(zhǎng)為．【答案】．【解析】考點(diǎn)：切線的性質(zhì);銳角三角函數(shù)．2.〔2023湖南湘西州第7題〕如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB=70°，那么圓周角∠C=．【答案】35°．【解析】試題分析：根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．考點(diǎn)：圓周角定理.3.〔2023山東棗莊第15題〕如圖，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC，BD，假設(shè)AC=2，那么tanD=.第15題圖第15題圖【答案】.【解析】試題分析：如圖，連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得△ACB為直角三角形，在直角三角形△ACB中，AC=2，AB=6，由勾股定理可得BC=4，由圓周角定理可得∠A=∠D,所以tanD=tanA=.考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù).4.〔2023貴州銅仁第16題〕如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，那么∠A=．【答案】72°．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理．5.〔2023浙江臺(tái)州第13題〕如圖，△ABC的外接圓O的半徑為2，∠C=40°，那么的長(zhǎng)是．【答案】．【解析】試題分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴的長(zhǎng)是=．故答案為：．考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；弧長(zhǎng)的計(jì)算．6.〔2023廣西來賓第18題〕如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，那么∠α=．【答案】140°．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理．7.〔2023廣西河池第16題〕如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，那么∠BDC的大小是．【答案】40°．【解析】試題分析：∵∠ABC=50°，∴的度數(shù)為100°，∵AB為直徑，∴的度數(shù)為80°，∴∠BDC=×80°=40°，故答案為：40°．考點(diǎn)：圓周角定理．8.〔2023青海第10題〕如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD為弦，∠CAB=50°，那么∠ADC=．【答案】40°．【解析】考點(diǎn)：圓周角定理．9.〔2023重慶A卷第15題〕如圖，OA，OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，假設(shè)∠AOB=120°，那么∠ACB=度．【答案】60．【解析】試題分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，故答案為：60．考點(diǎn)：圓周角定理．10.〔2023遼寧葫蘆島第15題〕如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠C=110°，那么∠BOD=度．【答案】140．【解析】試題分析：A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠C=110°，可知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和可得∠C+∠A=180°，再由∠A=70°，∠BOD=2∠A，可得∠BOD=140°.考點(diǎn)：圓