2017-2018學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理命題剖析考點(diǎn)突破（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE勾股定理命題剖析·考點(diǎn)突破考點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用（★★★★★)命題角度【核心題型】求某條線段的具體長(zhǎng)度1利用勾股定理解決折疊問(wèn)題2利用勾股定理解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題3利用勾股定理探索規(guī)律4利用勾股定理求三角形面積5利用勾股定理求點(diǎn)的坐標(biāo)6利用勾股定理解決最短距離問(wèn)題7利用勾股定理解決最值問(wèn)題8【核心題型】1.（2017·陜西中考）如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合,點(diǎn)C′落在邊AB上,連接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3，則B′C的長(zhǎng)為導(dǎo)學(xué)號(hào)42684159（)A。3 B。6 C.3 D.【解析】選A.∵∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,∴AB==3,∠CAB=45°,∵△ABC和△A′B′C′大小、形狀完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°,AB′=AB=3，∴∠CAB′=90°,∴B′C==3.2.（2017·揚(yáng)州中考）如圖，把等邊△ABC沿著DE折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處,且DP⊥BC,若BP=4cm，則EC=______________cm?！窘馕觥扛鶕?jù)“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8，再由勾股定理求得DP=4cm.根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4cm，易得∠EPC=30°，∠PEC=90°,所以EC=PC=（8+4—4)=2+2(cm).答案：2+23.(2017·泰州中考）如圖,在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=PA,若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________。導(dǎo)學(xué)號(hào)42684160【解析】如圖，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡與C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡相同，C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是=6.答案：6【變式訓(xùn)練】（2015·黑龍江中考）在△ABC中,AB=AC=5，BC=8,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則PD+PE的長(zhǎng)是(）A。4.8 B。4。8或3。8 C。3。8 D。5【解析】選A.過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC于點(diǎn)F，連接AP,在△ABC中，∵AB=AC=5，BC=8，∴BF=4,∴AF==3,∴×8×3=×5×PD+×5×PE,∴12=×5×（PD+PE)，即PD+PE=4.8.4。(2017·徐州中考)如圖，已知OB=1,以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形A1BO。再以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，則線段OAn的長(zhǎng)度為_(kāi)_________。【解析】根據(jù)勾股定理，得OA1=,OA2=2，OA3=2,OA4=4,以此類推發(fā)現(xiàn)：OAn=(）n。答案:(）n【變式訓(xùn)練】（2016·青海中考)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為S1,以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,…,按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則S9的值為()A.B.C。D?！窘馕觥窟xA.在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△CDE為等腰直角三角形,∴DE2+CE2=CD2,DE=CE，∴S2+S2=S1.觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1,S4=S3=,…,∴Sn=.當(dāng)n=9時(shí)，S9==。5.(2016·阿壩州中考）直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3,則此直角三角形的面積為_(kāi)_______.【解析】∵直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，∴另一直角邊長(zhǎng)為=4。該直角三角形的面積S=×3×4=6。答案:66。（2015·濱州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10,8）.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_________.導(dǎo)學(xué)號(hào)42684161【解析】∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8),∴OA=8,AD=OC=10。根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AF=AD=10，DE=EF.在Rt△AOF中,OF==6,∴CF=OC-OF=4。設(shè)CE=x,則DE=EF=8—x，則在Rt△CEF中,x2+42=（8—x）2,解得x=3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,3)。答案:(10,3)【變式訓(xùn)練】（2015·臺(tái)州中考）如圖,這是臺(tái)州市地圖的一部分,分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km.甲、乙兩人對(duì)著地圖如下描述路橋區(qū)A處的位置。則淑江區(qū)B處的坐標(biāo)是__________?！窘馕觥窟^(guò)B點(diǎn)作正東方向的垂線，垂足為H,根據(jù)直角三角形中,30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求得AH=8,再根據(jù)勾股定理求得BH=8，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，8)。答案：（10，8)7。(2017·十堰中考）如圖，已知圓柱的底面直徑BC=,高AB=3，小蟲(chóng)在圓柱表面爬行，從C點(diǎn)爬到A點(diǎn),然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為(）A.3 B。3 C.6 D.6【解析】選D。將已知圓柱展開(kāi)得到如圖所示矩形，小蟲(chóng)從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為2AC,因?yàn)閳A柱的底面直徑BC=，所以此圓柱的底面周長(zhǎng)為6,則展開(kāi)圖中AB的長(zhǎng)為3,所以AC=3,所以小蟲(chóng)爬行的最短路程為6.8。(2015·三明中考）如圖，在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),將△BCP沿CP所在的直線翻折,得到△B′CP,連接B′A，則B′A長(zhǎng)度的最小值是__________.導(dǎo)學(xué)號(hào)42684162【解題指南】首先由勾股定理求得AC的長(zhǎng)度,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知BC=CB′=3,當(dāng)B′A有最小值時(shí)，即AB′+CB′有最小值,由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)A,B′，C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值.【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理可知：AC===4,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=CB′=3,∵CB′長(zhǎng)度固定不變，∴當(dāng)AB′+CB′有最小值時(shí),AB′的長(zhǎng)度有最小值。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知:A，B′，C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值,∴AB′=AC-B′C=4—3=1.答案：1【答題指導(dǎo)】1.在求某條線段的具體長(zhǎng)度時(shí),常用的方法是把所要求線段放在直角三角形中，使其成為某條邊，利用勾股定理求解。2.在直角三角形中，若已知兩邊的長(zhǎng)度,可直接利用勾股定理求另一邊的長(zhǎng)度；若已知一邊的長(zhǎng)度，又知三邊之間的數(shù)量關(guān)系或角的數(shù)量關(guān)系，從而能得出另外兩邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解.3。解決最短路徑問(wèn)題的一般步驟是：畫(huà)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖→構(gòu)建最短路徑問(wèn)題模型→利用軸對(duì)稱性質(zhì)與勾股定理(或相似知識(shí))計(jì)算求值。4。提醒:勾股定理是解直角三角形中體現(xiàn)邊之間關(guān)系的重要部分，所以,當(dāng)由邊求邊時(shí),勾股定理是首選.考點(diǎn)勾股定理的驗(yàn)證及圖形面積(★★★☆☆）命題角度【核心題型】圖形面積與勾股定理1應(yīng)用勾股定理求圖形面積2應(yīng)用勾股定理及圖形面積求代數(shù)式的值3【核心題型】1。（2016·株洲中考)如圖，以直角三角形a，b,c為邊，向外作等邊三角形，半圓,等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有（)A.1 B。2 C.3 D.4【解析】選D.(1）S1=a2，S2=b2，S3=c2,∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.(2）S1=a2，S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3。(3）S1=a2,S2=b2，S3=c2。∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3。(4)S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3。綜上,可得面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形有4個(gè)。2.（2017·襄陽(yáng)中考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b,若（a+b)2=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為(）A.3 B。4 C.5 D。6【解析】選C.∵（a+b）2=21,∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13,2ab=21—13=8,∴小正方形的面積為13—8=5。3.（2016·黔東南州中考)2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形,如圖所示,如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么（a+b)2的值為（)導(dǎo)學(xué)號(hào)42684163A.13 B。19 C。25 D。169【解題指南】根據(jù)題意,結(jié)合圖形求出2ab與a2+b2的值,原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出?！窘馕觥窟xC.根據(jù)題意得:c2=a2+b2=13，4×ab=13—1=12,即2ab=12，則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25.【答題指導(dǎo)】1.解答勾股弦圖及面積的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)圖形中的三個(gè)正方形與八個(gè)全等三角形面積之間的聯(lián)系,建立等量關(guān)系.2.趙爽的“弦圖”是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo).它隱含了勾股定理的兩種面積證法.趙爽的“弦圖”是證明勾股定理的無(wú)字證明，充分體現(xiàn)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文明和數(shù)學(xué)文化。這類問(wèn)題通常是采用割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為特殊圖形列出等式求解。3。提醒：注意通過(guò)割補(bǔ)法解答圖形面積問(wèn)題.考點(diǎn)勾股定理的逆定理及應(yīng)用（★★★★★)命題角度【核心題型】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形1利用勾股定理的逆定理判斷鈍角三角形2利用勾股定理的逆定理求線段的長(zhǎng)3【核心題型】1。（2015·來(lái)賓中考）下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A.1，2,3 B.2，3，4C。4，5,6 D.1，,【解析】選D.1+2=3不能構(gòu)成三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，由22+32≠42，42+52≠62可判斷B,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,因?yàn)?2+()2=（）2,所以1，,能夠組成直角三角形。2。（2016·南京中考）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是()A。3,4,4 B.3，4,5 C。3,4,6 D.3，4,7【解析】選C.由兩邊之和大于第三邊,可排除D；由勾股定理得a2+b2=c2,當(dāng)最長(zhǎng)邊比斜邊c更長(zhǎng)時(shí),最大角為鈍角,即滿足a2+b2<c2，故選C.3.(2017·安順中考)三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4，5，那么最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)等于__________。導(dǎo)學(xué)號(hào)42684164【解析】∵32+42=25=52,∴該三角形是直角三角形，∴×5=2.5.答案:2.5【答題指導(dǎo)】1。給出三條線段的長(zhǎng)度，判定能否構(gòu)成直角三角形的步驟:（1)分別計(jì)算三條線段的平方.（2)看是否滿足較小兩線段的平方和等于最長(zhǎng)線段的平方.(3）得出結(jié)論.2。提醒:(1)判斷三條線段能否圍成一個(gè)直角三角形，判斷兩小邊的平方和與最大邊的平方是否相等即可.(2）此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不認(rèn)真審題,不進(jìn)行計(jì)算，看到，,或6,7,8或2，3，4就進(jìn)行選擇?？键c(diǎn)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（★★★☆☆)命題角度【核心題型】利用勾股定理解決兩點(diǎn)間距離問(wèn)題1利用勾股定理解決高度問(wèn)題2利用勾股定理解決噪音影響問(wèn)題3【核心題型】1.（2016·哈爾濱中考)如圖,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向,與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處,則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為()A。60海里 B.45海里C。20海里 D。30海里【解題指南】根據(jù)題意得出:∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的長(zhǎng)，求出答案。【解析】選D.由題意可得：∠B=30°，AP=30海里,∠APB=90°，故AB=2AP=60(海里）,則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP==30（海里）。2.（2017·荊州中考)《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問(wèn)折高者幾何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為(）A。x2—6=(10—x）2 B.x2-62=（10—x)2C.x2+6=（10-x）2 D.x2+62=（10—x）2【解析】選D。如圖,由題得AC=x,則AB=10-x，BC=6，在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10—x)2。3.（2015·上海中考）如圖，MN表示一段筆直的高速道路,線段AB表示高速道路旁的一排居民樓。已知點(diǎn)A到MN的距離為15米，BA的延長(zhǎng)線與MN相交于點(diǎn)D，且∠BDN=30°,假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí),周圍39米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響。過(guò)點(diǎn)A作MN的垂線，垂足為點(diǎn)H。如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí)，噪音開(kāi)始影響這一排的居民樓,那么此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為多少米？導(dǎo)學(xué)號(hào)42684165【解析】如圖，連接PA.由已知，可得AP=39m.在Rt△APH中,PH=