2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十章概率課時(shí)作業(yè)64幾何概型（含解析）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)作業(yè)64幾何概型一、選擇題1．某市地鐵2號(hào)線到站的時(shí)間間隔為5分鐘,某人在地鐵2號(hào)線站臺(tái)等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率為p1,2路車(chē)到站的時(shí)間相隔為8分鐘,某人在2路車(chē)站牌處等待時(shí)間超過(guò)6分鐘的概率為p2，則p1與p2的大小關(guān)系為（）A．p1＝p2 B．p1〉p2C．p1〈p2 D．p1≤p2解析：由題意得，p1＝eq\f(5－4,5）＝eq\f(1，5)，p2＝eq\f(8－6,8)＝eq\f(1，4)，故p1<p2。答案：C2．如圖,已知曲線C1：y＝eq\r（2x－x2），曲線C2和C3是半徑相等且圓心在x軸上的半圓，在曲線C1與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)來(lái)自于陰影部分的概率為（)A。eq\f(3,7) B．eq\f(1,2）C.eq\f(4,7） D．eq\f（5,8)解析:由題意知，曲線C1與x軸所圍成的區(qū)域的面積為eq\f(π，2)，陰影部分的面積S陰影＝eq\f(π,2）－（eq\f(1，2））2π＝eq\f(π，4)，則所取的點(diǎn)來(lái)自于陰影部分的概率P＝eq\f（1,2).答案：B3．在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的半圓弧上，任取一點(diǎn)B，如圖所示,則△AOB的面積大于eq\f（1，4）的概率為（）A。eq\f(1,3) B．eq\f（1,2）C.eq\f(2,3) D．eq\f(3，4)解析：如圖甲所示，過(guò)點(diǎn)B作直線OA的垂線，垂足為D，則△AOB的面積大于eq\f（1,4)等價(jià)于eq\f(1，2）×1×｜BD｜〉eq\f(1,4)，即|BD|〉eq\f(1，2).如圖乙所示，作CO⊥OA，取P為CO的中點(diǎn),過(guò)P作MN⊥OC，連接OM，ON，則當(dāng)點(diǎn)B在eq\o\ac（MCN,\s\up15（︵））上運(yùn)動(dòng)（不包括點(diǎn)M,N）時(shí)，|BD|〉eq\f(1,2），故所求概率P＝eq\f(\f(2π,3)，π）＝eq\f(2,3）。故選C。答案:C4．公園里有一個(gè)邊長(zhǎng)為6米的正方形魚(yú)池ABCD，工人師傅在池子上方設(shè)計(jì)了一座造型獨(dú)特的走廊,走廊（不包括邊界）距A、B的距離都大于3米，且走廊上任意點(diǎn)O都滿(mǎn)足∠DOC為銳角(魚(yú)池中滿(mǎn)足以上條件的地方均為走廊區(qū)域）．小朋友李明在池子邊隨機(jī)拋擲了一枚硬幣，則這枚硬幣恰好落在走廊上的概率為（)A。eq\f(π,3） B．eq\f(π，3)－1C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π，4）解析：由題意知走廊應(yīng)滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：(1)在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓外；（2）在以點(diǎn)B為圓心，3為半徑的圓外；(3）在以CD為直徑的圓外．因此,結(jié)合圖形可知，硬幣落在走廊上的概率P＝1－eq\f（π×32，6×6）＝1－eq\f（π，4)。答案：D5．如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分）．現(xiàn)往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為()A。eq\f(4，π）－1 B．eq\f(1，π）C．1－eq\f（1，π) D．eq\f（\r（2），π）解析：由題意得圖中空白部分的面積為4×eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4)π－\f(1,2）×1×1）)）)＝2π－4，則陰影部分的面積為π×12－（2π－4)＝4－π,故由幾何概型的概率公式可得此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(4－π,π)＝eq\f(4，π)－1.答案:A6．已知矩形ABCD中,AB＝2BC＝2，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲質(zhì)點(diǎn)P，則滿(mǎn)足eq\o（PA,\s\up10(→））·eq\o(PB,\s\up10(→)）≥0的概率是(）A.eq\f（4－π，4) B．eq\f(π，4)C.eq\f(16－π，16) D．eq\f（π,16）解析：如圖所示，O為AB的中點(diǎn)．因?yàn)锳B＝2BC＝2，所以當(dāng)點(diǎn)P落在以O(shè)為圓心，以AB為直徑的圓上時(shí),eq\o（PA，\s\up10(→))·eq\o(PB，\s\up10(→））＝0；當(dāng)點(diǎn)P落在半圓外時(shí),eq\o(PA，\s\up10（→）)·eq\o(PB，\s\up10（→)）>0.故由幾何概型概率計(jì)算公式知滿(mǎn)足eq\o(PA，\s\up10(→）)·eq\o(PB，\s\up10（→）)≥0的概率是eq\f(S矩形－S半圓，S矩形)＝eq\f(4－π,4)。答案：A二、填空題7．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于eq\f(S,4）的概率是________．解析:要使S△PBC>eq\f（1，4)S△ABC,只需PB>eq\f（1,4)AB.故所求概率為P＝eq\f(\f（3，4）AB，AB）＝eq\f(3,4).答案：eq\f（3，4）8．(2016·山東卷)在[－1，1］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓（x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______．解析：圓（x－5）2＋y2＝9的圓心為C(5,0)，半徑r＝3，故由直線與圓相交可得eq\f（｜5k－0｜,\r(k2＋1))〈r，即eq\f（|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2〈eq\f(9，16），得－eq\f（3,4)<k<eq\f(3,4).故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3，4）－－\f（3,4）,1－－1)＝eq\f(3，4)。答案：eq\f(3,4）9．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤\r(2)，x－y≥－\r(2），y≥0））所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，函數(shù)y＝eq\r（1－x2)的圖象與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镹，向M內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則該豆子落在N內(nèi)的概率為_(kāi)_______．解析:如圖，作出可行域，易求得區(qū)域M的面積SM＝2,y＝eq\r(1－x2）?x2＋y2＝1(y≥0)，故區(qū)域N是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的一半，其面積SN＝eq\f(π，2），由幾何概型的知識(shí)可得，所求概率P＝eq\f(SN,SM）＝eq\f（π,4）.答案：eq\f（π，4）10．一個(gè)邊長(zhǎng)為3eq\r（π)cm的正方形薄木板的正中央有一個(gè)直徑為2cm的圓孔,一只小蟲(chóng)在木板的一個(gè)面內(nèi)隨機(jī)地爬行，則小蟲(chóng)恰在離四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于2cm的區(qū)域內(nèi)的概率等于________．解析:如圖所示,分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心,2cm為半徑作圓,與正方形相交截得的四個(gè)圓心角為直角的扇形,當(dāng)小蟲(chóng)落在圖中的黑色區(qū)域時(shí)，它離四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于2cm，其中黑色區(qū)域面積為S1＝S正方形－4S扇形－S小圓＝（3eq\r(π))2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π,所以小蟲(chóng)離四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于2cm的概率為P＝eq\f(S1,9π－π）＝eq\f（4π，8π）＝eq\f（1,2)。答案:eq\f（1,2）三、解答題11．如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q，求過(guò)點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過(guò)1的概率．解:弦長(zhǎng)不超過(guò)1,即|OQ|≥eq\f(\r（3），2),而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)1}．由幾何概型的概率公式得P(A）＝eq\f（\f（\r（3）,2）×2,2）＝eq\f（\r（3），2）.故弦長(zhǎng)不超過(guò)1的概率為1－P（A)＝1－eq\f(\r(3），2)。所求弦長(zhǎng)不超過(guò)1的概率為1－eq\f（\r（3）,2)。12．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0。若a是從區(qū)間［0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間［0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率．解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)｜0≤a≤3，0≤b≤2},構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)條件畫(huà)出構(gòu)成的區(qū)域（略），可得所求的概率為P（A)＝eq\f(3×2－\f（1,2)×22,3×2）＝eq\f（2，3).1．(2017·肇慶模擬）已知m∈[1,7］，則函數(shù)f（x）＝eq\f（x3,3）－（4m－1）x2＋(15m2－2m－7）x＋2在實(shí)數(shù)集RA.eq\f（1,4) B．eq\f（1，3）C.eq\f（1,2) D．eq\f（3，4)解析：f′(x）＝x2－2（4m－1)x＋15m2－2m－7，依題意，知f′(x）在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4（m2－6m＋8）≤0，得2≤m≤4。又m∈［1，7］，所以所求的概率為eq\f(4－2，7－1）＝eq\f（1，3)。答案:B2．某數(shù)學(xué)愛(ài)好者設(shè)計(jì)了一個(gè)商標(biāo)，如果在該商標(biāo)所在平面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則商標(biāo)的邊緣輪廓AOC恰是函數(shù)y＝taneq\f(πx,4)的圖象的一部分，邊緣輪廓線AEC恰是一段所對(duì)圓心角為eq\f（π，2）的圓?。粼趫D中正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在商標(biāo)區(qū)域內(nèi)的概率為（）A。eq\f（π－2，8) B．eq\f(1，4）C。eq\f（π－2，4） D．eq\f(π－2,2)解析:連接AC。設(shè)AB＝t，因?yàn)檫吘壿喞€AOC恰是函數(shù)y＝taneq\f(πx，4）的圖象的一部分，所以點(diǎn)A，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),所以直線AC必過(guò)點(diǎn)O，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知商標(biāo)區(qū)域的面積S商標(biāo)＝eq\f(1，4）S圓－S△ABC＝eq\f（1，4）πAB2－eq\f(1，2)AB2，故點(diǎn)P落在商標(biāo)區(qū)域內(nèi)的概率P＝eq\f(S商標(biāo),S正方形ABCD)＝eq\f（\f（1,4)πAB2－\f(1，2）AB2，AB2)＝eq\f(π－2，4）。答案：C3．（2017·長(zhǎng)沙模擬）如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E,H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B1不重合)，且EH∥A1D1,過(guò)EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)F，G.若AB＝2AA1＝2a,EF＝a，B1E＝B1F,在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE解析：在等腰直角三角形B1EF中，因?yàn)樾边匛F＝a，所以B1E＝B1F＝eq\f（\r(2），2)a，根據(jù)幾何概型概率公式，得P＝eq\f（Veq\s\do8(A1ABFE－D1DCGH),Veq\s\do8(ABB1A1－DCC1D1））＝eq\f（Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1）－Veq\s\do8(EFB1－HGC1），Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1)）＝1－eq\f(Veq\s\do8（EFB1－HGC1),Veq\s\do8（ABB1A1－DCC1D1)）＝1－eq\f（Seq\s\do8（△EFB1)，Seq\s\do8(矩形ABB1A1）)＝1－eq\f(\f(1，2)B1E·B1F,2a2）＝1－eq\f(1,4a2）·eq\f（\r（2），2）a·eq\f(\r（2),2）a＝1－eq\f（1,8）＝eq\f（7,8)。答案：eq\f(7,8）4．已知向量a＝(－2,1），b＝（x，y)．（1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4，5，6）先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿(mǎn)足a·b＝－1的概率；(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6］上取值，求滿(mǎn)足a·b〈0的概率．解：(1）將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36（個(gè)）；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以滿(mǎn)足a·b＝－1的基本事件為（1，1），（2,3)，（3，5），共3個(gè);故滿(mǎn)足a·b＝－1的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1，12）.（2