初中數(shù)學(xué)青島版八年級上冊第1章　全等三角形

第1章全等三角形一、選擇題（共4小題）1．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，則CF的長為（）A．2 B．3 C． D．2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE二、填空題（共5小題）5．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形CDE，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為．6．如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=．7．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，△OEF是正三角形，且AE=BF，則∠AOE=．8．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是．9．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是．（請寫出正確結(jié)論的序號）．三、解答題（共21小題）10．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求證：AC=DF．11．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：DE=AB．（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長．12．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD．13．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D．14．如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求證：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度數(shù)．15．已知：如圖，AB∥CD，E是AB的中點(diǎn)，CE=DE．求證：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD．16．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四邊形AEDF的周長．17．已知，如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AD上，且AE=DF，求證：BF=CE．18．如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，連接AG、CE．（1）求證：AG=CE；（2）求證：AG⊥CE．19．如圖，在?ABCD中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求證：AE=AF；（2）求∠EAF的度數(shù)．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長AD到E點(diǎn)，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．21．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點(diǎn)E是∠BAC角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC=2，求AB，BD的長；（2）如圖1，求證：HF=EF；（3）如圖2，連接CF，CE．猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，說明理由．22．如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，BC=EF，AC⊥BC于點(diǎn)C，DF⊥EF于點(diǎn)F，AC=DF．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．23．已知，如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，EF=FD．求證：AD=CE．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．25．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，交邊BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為邊CD上一點(diǎn)，且DF=BE．過點(diǎn)F作FG⊥CD，交邊AD于點(diǎn)G．求證：DG=DC．26．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且∠ABE=∠CDF，求證：BE=DF．27．我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD，請你寫出與箏形ABCD的角或者對角線有關(guān)的一個(gè)結(jié)論，并證明你的結(jié)論．28．如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求證：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由．29．如圖，過∠AOB平分線上一點(diǎn)C作CD∥OB交OA于點(diǎn)D，E是線段OC的中點(diǎn)，請過點(diǎn)E畫直線分別交射線CD、OB于點(diǎn)M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．30．如圖，點(diǎn)B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，以BC為直徑作⊙O，點(diǎn)P是圓上異于B，C的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD．（1）當(dāng)PB=PC時(shí)，求tan∠APB的值；（2）當(dāng)P是上異于B，C的任意一點(diǎn)時(shí)，求tan∠APB?tan∠DPC的值．

第1章全等三角形參考答案與試題解析一、選擇題（共4小題）1．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，則CF的長為（）A．2 B．3 C． D．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】首先延長FD到G，使DG=BE，利用正方形的性質(zhì)得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性質(zhì)易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，設(shè)AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．【解答】解：如圖，延長FD到G，使DG=BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=3，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，設(shè)AF=x，則DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴（9﹣x）2=9+x2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等，構(gòu)建全等三角形，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正確；通過△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正確．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正確；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正確．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)三線合一是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DMA=60°；由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對應(yīng)邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；證明P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．【解答】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正確；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正確；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ為等邊三角形，∴③正確；∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，∴P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出當(dāng)∠D=∠B時(shí)，△ADF≌△CBE．【解答】解：當(dāng)∠D=∠B時(shí)，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．二、填空題（共5小題）5．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形CDE，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為30°．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠BCE=150°，AD=DE=BC=CE，得出∠DEA=∠CEB=15°，即可得出∠AEB的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，∵△CDE是等邊三角形，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；故答案為：30°．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由已知條件易證△ABE≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案為3．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟記定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，△OEF是正三角形，且AE=BF，則∠AOE=15°．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得AO=BO，OE=OF，根據(jù)SSS可得△AOE≌△BOF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)角的和差，可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°，故答案為15°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三點(diǎn)共線，解直角三角形求出即可；過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D=∠CBE，證△CBE≌△CDF，推出BE=DF，證△AEC≌△AFC，推出AE=AF，設(shè)BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB=30°，如圖1，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，則∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，∴A、B、E三點(diǎn)共線，過C作CM⊥AE于M，∵AC=CE，∴AM=EM=×（5+3）=4，在Rt△AMC中，AC===；解法二、過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，則∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，設(shè)BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．9．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是①②．（請寫出正確結(jié)論的序號）．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定．【專題】壓軸題．【分析】由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項(xiàng)．【解答】解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC為等邊三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，選項(xiàng)②正確；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），選項(xiàng)①正確；若AB=AC，∠BAC=120°，則有AE=AD，∠EAD=120°，此時(shí)AEFD為菱形，選項(xiàng)③錯(cuò)誤，故答案為：①②．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共21小題）10．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求證：AC=DF．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)BE=CF，求出BC=EF，根據(jù)AAS推出△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【解答】證明：∵BE=CF（已知），∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC=DF（全等三角形對應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．11．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：DE=AB．（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長公式即可求出的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：連接DF，如圖所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等邊三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的長==．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及弧長公式；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先證出∠ABC=∠ABD，再由ASA證明△ABC≌△ABD，得出對應(yīng)邊相等即可．【解答】證明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先證出∠ACB=∠DCE，再由SAS證明△ABC≌△DEC，得出對應(yīng)角相等即可．【解答】證明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求證：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；（2）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可證得△ABE是等腰三角形，解答即可．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB=CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=．【點(diǎn)評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答．15．已知：如圖，AB∥CD，E是AB的中點(diǎn)，CE=DE．求證：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)SAS證明△AEC與△BED全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；（2）∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明全等．16．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四邊形AEDF的周長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】先由SSS證明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AB，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE=AB，DF=AC，證出AE=AF=DE=DF，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，∵AB=AC，∴AE=AF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB===，∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=AB，DF=AC，∴AE=AF=DE=DF，∴四邊形AEDF的周長=4AE=2AB=2．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．17．已知，如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AD上，且AE=DF，求證：BF=CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再證出AF=DE，由SAS證明△ABF≌△DCE，得出對應(yīng)邊相等即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵AE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴BF=CE．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，連接AG、CE．（1）求證：AG=CE；（2）求證：AG⊥CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS證明△ABG≌△CBE，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）由△ABG≌△CBE，得出對應(yīng)角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，對頂角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，證出∠CNM=90°即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD、BEFG均為正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）證明：如圖所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的證法；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．19．如圖，在?ABCD中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求證：AE=AF；（2）求∠EAF的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，證出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據(jù)SAS證明△ABE≌△FDA，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長AD到E點(diǎn)，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE；（2）根據(jù)“邊角邊”證明即可．【解答】（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，利用同角的補(bǔ)角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．21．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點(diǎn)E是∠BAC角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC=2，求AB，BD的長；（2）如圖1，求證：HF=EF；（3）如圖2，連接CF，CE．猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，說明理由．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得到結(jié)果；（2）如圖1，連接AF，證出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到結(jié)果；（3）如圖2，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，在Rt△ADE中，AD=2AE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，證得△ACE≌△MCF，問題即可得證．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×2=4，∵AD⊥AB，∠CAB=60°，∴∠DAC=30°，∵AH=AC=，∴AD==2，∴BD==2；（2）如圖1，連接AF，∵AE是∠BAC角平分線，∴∠HAE=30°，∴∠ADE=∠DAH=30°，在△DAE與△ADH中，，∴△DAE≌△ADH，∴DH=AE，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴DF=AF，∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，∴∠EAF=∠FDH，在△DHF與△AEF中，，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF；（3）如圖2，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，F(xiàn)M，∵F、M分別是BD、AB的中點(diǎn)，∴FM∥AD，即FM⊥AB．在Rt△ADE中，AD=2AE，∵DF=BF，AM=BM，∴AD=2FM，∴FM=AE，∵∠ABC=30°，∴AC=CM=AB=AM，∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，在△ACE與△MCF中，，∴△ACE≌△MCF，∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，∵∠ACM=60°，∴∠ECF=60°，∴△CEF是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．22．如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，BC=EF，AC⊥BC于點(diǎn)C，DF⊥EF于點(diǎn)F，AC=DF．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定．【專題】證明題．【分析】（1）由SAS容易證明△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF，得出對應(yīng)角相等∠B=∠DEF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC⊥BC于點(diǎn)C，DF⊥EF于點(diǎn)F，∴∠ACB=∠DFE=90°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．23．已知，如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，EF=FD．求證：AD=CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結(jié)論．【解答】證明：作DG∥BC交AC于G，如圖所示：則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA證出△ABD≌△CAE，從而得出AD=CE．【解答】證明：∵AE∥BD，∴∠EAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用ASA證出△ABD≌△CAE．25．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，交邊BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為邊CD上一點(diǎn)，且DF=BE．過點(diǎn)F作FG⊥CD，交邊AD于點(diǎn)G．求證：DG=DC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定義得∠AEB=∠GFD=90°，于是可根據(jù)“ASA”判定△AEB≌△GFD，根據(jù)全等的性質(zhì)得AB=DC，所以有DG=DC．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=CD，∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥CD，∴∠AEB=∠GFD=90°，在△AEB和△GFD中，，∴△AEB≌△GFD，∴AB=DG，∴DG=DC．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．26．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且∠ABE=∠CDF，求證：BE=DF．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證明AB=CD，AB∥CD，進(jìn)而證明∠BAC=∠DCF，根據(jù)ASA即可證明△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∴△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．【點(diǎn)評】本題考查的是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)線段相等的證明．27．我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD，請你寫出與箏形ABCD的角或者對角線有關(guān)的一個(gè)結(jié)論，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】AC與BD垂直，理由為：利用SSS得到三角形ABD與三角形CBD全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到BD為角平分線，利用三線合一性質(zhì)即可得證．【解答】解：AC⊥BD，理由為：在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABO=∠CBO，∵AB=CB，∴BD⊥AC．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．28．如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求證：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【專題】證明題．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DF；（2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是?，再利用AD是角平分線，結(jié)合AE∥DF，易證∠DAF=∠FDA，利用等角對等邊，可得AE=DF，從而可證?AEDF實(shí)菱形．【解答】證明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四邊形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四邊形AEDF為菱形．【點(diǎn)評】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況．29．如圖，過∠AOB平分線上一點(diǎn)C作CD∥OB交OA于點(diǎn)D，E是線段OC的中點(diǎn)，請過點(diǎn)E畫直線分別交射線CD、OB于點(diǎn)M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段C