2022-2023學(xué)年河南省南陽市宛城區(qū)校高二年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省南陽市宛城區(qū)第五中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖，在平行六面體中，是與的交點，若，，，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為一組基底可表示出，從而求得的值，進而得到結(jié)果.【詳解】，，，，.故選：D.2．已知向量共面，則實數(shù)的值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)空間共面向量定理，結(jié)合已知向量的坐標(biāo)，待定系數(shù)，求解即可.【詳解】因為共面，所以存在，使得，整理得，解得.故選：C.3．已知的三個頂點分別為，，，則邊上的中線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得的中點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意，，，可得的中點坐標(biāo)為，所以邊上的中線長為，故選：B.4．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓C于A，B兩點，若的內(nèi)切圓的周長為，則直線的方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由內(nèi)切圓的周長可以求出內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合橢圓定義，可以求出的面積，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可以將的面積以表示，以面積建立方程，即可解出，求出直線的方程.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則周長，∴，由橢圓的定義知，，∴，∵由已知，，，易知直線的斜率不為，∴設(shè)直線的方程為：，，消去，化簡，得，，，設(shè)，，則，，，解得，∴，∴直線的方程為：，即或.故選：D.【點睛】本題解題關(guān)鍵在的面積，以兩種形式將三角形表示出來，即可求出直線方程.5．已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題知點A為的中點，結(jié)合已知得，過點B作，由拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)l與x軸的交點為H，由O為中點，知點A為的中點，因為，所以．過點B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選：C6．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，為的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線方程確定焦點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半徑公式和重心的坐標(biāo)表示可直接求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：；設(shè)，，，則；為的重心，，則，.故選：C.7．已知直線上動點，過點向圓引切線，則切線長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線長，半徑以及圓心到點的距離的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，再求切線長距離的最小值即可.【詳解】圓，其圓心為，半徑，則到直線的距離；設(shè)切線長為，則，若最小，則取得最小值，顯然最小值為，故的最小值為，即切線長的最小值為.故選：A.8．在正三角形中，為中點，為三角形內(nèi)一動點，且滿足，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長為，由向量坐標(biāo)運算可表示出點軌跡，利用兩點間距離公式可得；當(dāng)時，可求得；當(dāng)時，令，根據(jù)的幾何意義，利用直線與圓的位置關(guān)系可求得的范圍，進而得到最小值；綜合兩種情況可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正三角形的邊長為，則，，，設(shè)，則，，，，，即；點軌跡為：，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，令，則表示與連線的斜率，設(shè)直線與圓相切，則圓心到直線距離，解得：或，，則當(dāng)時，取得最小值，；綜上所述：最小值為.故選：D.二、多選題9．已知圓：，直線：，點在直線上運動，直線，分別與圓相切于點.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積的最小值為B．最小時，弦長為C．最小時，弦所在直線方程為D．直線過定點【答案】AD【分析】利用和等面積法判斷AB；設(shè)，，，利用兩條切線方程聯(lián)立得到直線關(guān)于的方程，求出最小時點坐標(biāo)代入即可判斷C；由含參直線方程過定點的求法計算D即可.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，對于AB，四邊形的面積，則當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，點到直線的距離，所以，此時，A正確；又，所以此時，B錯誤；對于C，設(shè)，，，則過作圓的切線，切線方程為：，過作圓的切線，切線方程為：，又為兩切線交點，所以，則兩點坐標(biāo)滿足方程：，即方程為：；當(dāng)最小時，，所以直線方程為：，由得，即，所以方程為：，即，C錯誤對于D，由C知：方程為：；又，即，所以方程可整理為：，由得，所以過定點，D正確.故選：AD10．已知正方體，棱長為1，分別為棱的中點，則（

）A．直線與直線共面 B．C．直線與直線的所成角為 D．三棱錐的體積為【答案】BD【分析】如圖，以為原點，以所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于B，通過計算進行判斷，對于C，利用向量的夾角公式求解，對于D，利用求解.【詳解】如圖，以為原點，以所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，對于A，假設(shè)直線與直線共面，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，因為∥，所以∥，矛盾，所以直線與直線不共面，所以A錯誤；對于B，因為，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，設(shè)直線與直線的所成角為，因為，所以，所以，所以C錯誤，對于D，因為平面，所以，所以D正確，故選：BD.11．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）A．B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點到平面的距離為【答案】AC【分析】以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.12．已知點F為橢圓C：，的左焦點，過原點O的直線l交橢圓于P，Q兩點，點M是橢圓上異于P，Q的一點，直線MP，MQ的斜率分別為，，橢圓的離心率為e，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】設(shè)出右焦點，根據(jù)橢圓定義結(jié)合對稱性以及余弦定理得到關(guān)系，則離心率可求，設(shè)出坐標(biāo)，利用點差法可求得的表示，結(jié)合關(guān)系可求解出的值.【詳解】連接，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得,所以,則.由余弦定理可得，化簡得，故，所以（負舍）設(shè)，則，所以，又，相減可得因為，所以，，所以.故選：BD.【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于合理運用焦點三角形的知識以及點差法設(shè)而不求的思想去計算；橢圓是一個對稱圖形，任何過原點的直線(不與焦點所在軸重合)與橢圓相交于兩點，這兩點與橢圓的焦點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.三、填空題13．已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，與圓：交于，兩點（，在第一象限），則的最小值為_______．【答案】##【分析】分別在，時，結(jié)合拋物線的性質(zhì)證明，結(jié)合圖象可得，再利用基本不等式求其最小值.【詳解】因為拋物線M的方程為，所以拋物線M的焦點為，準(zhǔn)線，則直線過拋物線的焦點F，當(dāng)時，聯(lián)立與可得，所以，則；當(dāng)時，如圖，過作軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，則，得，則，同理可得，所以，化圓N：為，則圓N的圓心為F，半徑為1，，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，即，時等號成立；所以的最小值為．故答案為：．14．已知曲線C的方程為，則下列說法中：①曲線C關(guān)于原點中心對稱；②曲線C關(guān)于直線對稱；③若動點P、Q都在曲線C上，則線段的最大值為；④曲線C的面積小于3．所有正確的序號是__________________．【答案】①②③【分析】對于①②：根據(jù)對稱理解運算即可判斷；對于③④：根據(jù)橢圓定義可知曲線C為橢圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析即可求解.【詳解】對①：∵曲線C的上任一點關(guān)于原點的對稱點為，則，即在曲線C上，∴曲線C關(guān)于原點中心對稱，①正確；對②：∵曲線C的上任一點關(guān)于直線的對稱點為，則，即在曲線C上，∴曲線C關(guān)于直線對稱，②正確；∵，則，∴，即，又∵，即，則，同理可得：，則曲線C的上任一點到的距離之和為：，∴曲線C表示以為焦點且的橢圓，則，對③：則線段的最大值為，③正確；對④：則曲線C的面積，④錯誤；故答案為：①②③.15．已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為___________.【答案】##【分析】利用線段的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，找到最小值即為所求.【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點，有，連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為=故答案為：【點睛】思路點睛：（1）合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.（2）轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.（3）數(shù)形結(jié)合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.16．在正三棱柱中，，，D，E分別為棱，的中點，F(xiàn)是線段上的一點，且，則點到平面的距離為______．【答案】##【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運算求出平面的法向量與，再利用空間向量法即可求得點到平面的距離.【詳解】記的中點為，連結(jié)，過作，如圖，根據(jù)題意，易知兩兩垂直，以為原點，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則故，，，因為，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，又，所以點到平面的距離為.故答案為：..四、解答題17．如圖，在三棱柱中，，，點為的中點，點是上一點，且.(1)求點A到平面的距離；(2)求平面與平面所成平面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中點，連接，以為原點，分別為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.（2）利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖所示：因為，所以，，所以，.以為原點，分別為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，，解得，，即.，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即.，設(shè)點A到平面的距離為，則（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即.設(shè)，則，，因為，解得.設(shè)，則，，因為，解得.因為點為的中點，所以，..設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即.，因為平面與平面所成平面角為銳角，所以平面與平面所成平面角的余弦值.18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點

為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點，所以，根據(jù)題意有，，因為棱柱為直棱柱，所以有平面，所以，所以，設(shè)點C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點C到平面的距離為.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.19．如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內(nèi)；（2）方法一：以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實的推論在棱上取點，使得，連接、、、，如圖1所示.在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點在平面內(nèi).［方法二］：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．設(shè)，則．所以．故．所以，點在平面內(nèi)．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以點在平面內(nèi)．［方法四］：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．在平面內(nèi)，因為，所以．延長交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延長交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．連接，根據(jù)相似三角形知識可得．在中，．同理，在中，．如圖4，在中，．所以，即G，，H三點共線．因為平面，所以平面，得證．［方法五］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點O，則O為的中點．聯(lián)結(jié)，由長方體知識知，體對角線交于一點，且為它們的中點，即，則經(jīng)過點O，故點在平面內(nèi)．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、、、，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.［方法二］：定義法在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．

在中，．所以，則．［方法三］：向量法由題意得，由于，所以．如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大小．由，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由題易得，．所以．．．設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個面角公式，得，所以．【整體點評】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實三通過證明三點共線說明點在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實以及平行四邊形的對角線和長方體的體對角線互相平分即可證出．（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．20．已知雙曲線C：與x軸的正半軸交于點M，動直線l與雙曲線C交于A，B兩點，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點且垂直于x軸時，，O為坐標(biāo)原點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求點M到直線l距離的最大值．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）由雙曲線方程求得右焦點，則可求出l過雙曲線C的右焦點且垂直于x軸時的A，B兩點坐標(biāo)，由及數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可解出m，得到雙曲線方程；（2）由得，分別討論直線斜率存在、不存在的情況，當(dāng)斜率不存在時，設(shè)，直接求出交點，結(jié)合數(shù)量積運算可解出，即可得點M到直線l距離；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理及數(shù)量積運算可得與b的關(guān)系，即可結(jié)合點線距離公式進一步討論距離范圍.【詳解】（1）由曲線為雙曲線得，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)形式為，故，右焦點，，當(dāng)時，代入雙曲線方程得，故，由得，故雙曲線C的方程為；（2）由得，i.當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)為，聯(lián)立得，故當(dāng)才有兩個交點，此時，，解得或（舍）.故點M到直線l距離為2；ii.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)為，聯(lián)立得，故當(dāng)（*）才有兩個交點，設(shè)，則，故，即，即，整理得，得或.①當(dāng)時，直線l為過與M重合，不合題意；②當(dāng)時，代入（*）可得時有兩個交點，∴點M到直線l距離為.綜上，點M到直線l距離的最大值為2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點個數(shù)，注意討論個數(shù)成立的條件；（2）結(jié)合韋達定理可以表示，即可進一步求出直線系數(shù)間的關(guān)系.21．已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，注意運算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1），；（2）①；②．【分析】（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）方法一：①先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組