2022-2023學(xué)年河北省邢臺市高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

邢臺市第二中學(xué)2022-2023上半學(xué)年期末試題高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，滿分40分，每小題5分）1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，即可求解.【詳解】由得解得或，，所以或，又由解得，所以，所以，故選：B.2.“”是“角是第一象限角”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限的正負(fù)結(jié)合充分不必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】由同角三角函數(shù)的關(guān)系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分條件.故選：C3.如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】由條件可得，然后根據(jù)扇形的面積公式可得答案.【詳解】設(shè)，則，所以，所以，故選：D4.已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，且角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)求得，利用三角函數(shù)的定義求出，，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.【詳解】解：由題意在中，且，當(dāng)時，，∴過定點(diǎn)，∵角的終邊過點(diǎn)∴由三角函數(shù)的定義可得，，，∴，故選：A5.若函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)是的反函數(shù)，則，∴，由，解得，所以的定義域?yàn)?，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，∴的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.6.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的形式構(gòu)建新函數(shù)，利用其單調(diào)性可判斷，的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，而為上的減函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而即為，故，故，故B正確，AC錯誤.因?yàn)椋赡転樨?fù)數(shù)，故D錯誤.故選：B.7.某科研小組研發(fā)一種水稻新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代15粒種子，則種子數(shù)量首次不少于10萬粒的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.第5代種子 B.第6代種子C.第7代種子 D.第8代種子【答案】B【解析】【分析】設(shè)第代種子的數(shù)量為，根據(jù)題意列出不等式，對不等式化簡代入數(shù)值即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)第代種子的數(shù)量為，由題意得，得.因?yàn)?，故種子數(shù)量首次不少于10萬粒的是第6代種子.故選：B.8.已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意作函數(shù)與的圖象，從而可得，，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意作函數(shù)與的圖象，∵方程有四個不同的解且，∴關(guān)于對稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，由題知，，故，所以，故，因?yàn)?，設(shè)，則由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，滿分20分，每小題5分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.若，且，在下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，，且，即，故C正確；對于D，令，滿足，但是，故D錯誤.故選:AC10.關(guān)于函數(shù)，描述正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.有2個零點(diǎn)C.在定義域上是奇函數(shù) D.在上是增函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】求出的定義域可判斷A，求出的零點(diǎn)可判斷B，判斷出的奇偶性可判斷C，當(dāng)時，然后可得其單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以的定義域?yàn)?，故A錯誤；由可得，故B正確；因?yàn)?，，所以在定義域上是奇函數(shù)，故C正確；當(dāng)時，其為增函數(shù)，故D正確；故選：BCD11.已知正數(shù)，滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值為4，由于不等式的恒成立關(guān)系可得，解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，故選:BCD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.是周期函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.在處取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】對于A，驗(yàn)證是否相等即可；對于B，驗(yàn)證對于任意，是否與相等即可；對于C，驗(yàn)證是否相等即可；對于D，驗(yàn)證是否等于1即可.【詳解】對于函數(shù)，其周期為，函數(shù)，其周期為，則若是周期函數(shù)，其周期為，但，則不是周期函數(shù)，故可選A；對于B，當(dāng)，，又，則是奇函數(shù)，故不選B；對于C，的圖像關(guān)于直線對稱，則，但，則的圖像不關(guān)于直線對稱，故可選C；對于D，由題可得，又，，故可選D.故選：ACD三、填空題（本題共4小題，滿分20分，每小題5分）13.若函數(shù)定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)定義域?yàn)椋诸愑懻撌欠駷?，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題意，在中，定義域?yàn)?，?dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，解得：，綜上，.故答案為：.14.函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則______.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，即可求出，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】解：由題意在中，且當(dāng)，即時，，∴函數(shù)的圖像過定點(diǎn).設(shè)冪函數(shù)，由于點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則，解得，∴，∴，.故答案為：.15.化簡：______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合兩角和的正切公式化簡即可【詳解】因?yàn)?，故，所以故答案為?16.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時6秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)時，恰有3個使函數(shù)最得大值，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出半徑，由求出，再結(jié)合時，函數(shù)值恰好在對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式，由，得到，結(jié)合最大值的個數(shù)列出不等式，求出的取值范圍.【詳解】根據(jù)點(diǎn)可得圓周的半徑，又旋轉(zhuǎn)一周用時6秒，所以周期，因?yàn)?，從而得，∴，又時，函數(shù)值恰好在對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，∴，且，∴，∴，，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，在內(nèi)恰有3個最大值時，，解得.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，滿分70分）17.已知，.求：①；②；③.【答案】①；②；③.【解析】【分析】①根據(jù)交集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；②根據(jù)并集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；③根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】①；②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)交集、并集與補(bǔ)集的概念運(yùn)算求解是解題關(guān)鍵.18.（1）計(jì)算：.（2）計(jì)算：已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.（2）根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的齊次式，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】由可得,即，.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）若對任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）奇函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，列出不等式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)條件，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)條件，結(jié)合換元法，以及函數(shù)的單調(diào)，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴，解得，∴的定義域?yàn)?【小問2詳解】∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，∴函數(shù)為奇函數(shù).【小問3詳解】設(shè)，，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，∴在上的最大值為.要使對任意，恒成立，只需，即，恒成立.令，則，解得或，故實(shí)數(shù)取值范圍是.20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）已知函數(shù)，則的圖像可由函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到?敘述變換的具體過程.（3）求在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1），，（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象得到，，求出，再代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，求出，從而求出函數(shù)解析式，并求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先利用三角恒等變換得到，從而根據(jù)伸縮變換和平移變換的特征，得到變換的具體過程；（3）整體法結(jié)合函數(shù)圖象，求解函數(shù)的值域.【小問1詳解】由圖可知，的最小正周期，所以，則.的圖像的一個最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，則，.因?yàn)椋灾挥袝r,滿足要求，所以.由，，可得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問2詳解】.先將的圖像上所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同時縮短為原來的，得到的圖像，再將的圖像向左平移個單位長度，得到的圖像，然后將的圖像向上平移個單位長度，得到的圖像.【小問3詳解】當(dāng)時，，所以，所以，故的取值范圍為.21.北京冬奧會舉世矚目，樹立了中國形象，同時也帶動了中國冰雪運(yùn)動器械的蓬勃發(fā)展，張家口某冰上運(yùn)動器械生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本萬元.當(dāng)年產(chǎn)量低于30千件時，；當(dāng)年產(chǎn)量不低于30千件時，.每千件產(chǎn)品的售價為30萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式.（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)所獲年利潤最大?最大年利潤多少?【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為30千件時，該企業(yè)所獲年利潤最大為300萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤與成本之間的關(guān)系，分類計(jì)論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)基本不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以【小問2詳解】當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，所以此時該函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因此有，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為30千件時，該企業(yè)所獲年利潤最大為300萬元.22.已知，，對，為其最值，且關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.（1）求函數(shù)的值域；（2）設(shè)函數(shù)，（且）且在上的值域?yàn)椋蟮闹?【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根