三棱錐的幾個(gè)重要性質(zhì)

直角三棱錐的幾個(gè)性質(zhì)有一類特殊的三棱錐，它的經(jīng)過同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，我們不妨把這種三棱錐稱作直角三棱錐，從結(jié)構(gòu)上看，它是平面的直角三角形在空間的擴(kuò)展。循著直角三角形的一些重要性質(zhì)對(duì)直角三棱錐進(jìn)行探究，我們能得到直角三棱錐的有趣的相應(yīng)性質(zhì)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直角三角形的性質(zhì)有：性質(zhì)1：Rt的垂心就是直角頂點(diǎn)。性質(zhì)2：Rt的兩個(gè)銳角互余。性質(zhì)3：Rt兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。性質(zhì)4：Rt中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影比例中項(xiàng)；每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；由此，Rt兩條直角邊的平方比等于它們?cè)谛边吷系纳溆氨?。性質(zhì)5：Rt兩直角邊的乘積，等于斜邊與斜邊上高的乘積。性質(zhì)6：Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半。(所以Rt的外接圓半徑R＝1c＝1a2b2)。22性質(zhì)7：Rt的內(nèi)切圓半徑r＝abb2＝1(a＋b－c)。aba22現(xiàn)在我們來探究一下直角三棱錐的性質(zhì)。如圖所示，在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，設(shè)PA＝a，PB＝b，PC＝c?！逷A、PB、PC兩兩垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA兩兩垂直。作PH⊥面ABC于H，連CH并延長(zhǎng)并交AB于D，連PD，則PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PABPC⊥AB，所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH⊥CA。由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝90°，∴∠ABC、∠CAB為銳角。同理，∠BCA也是銳角，從而有：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA易知，H是ABC的垂心，由此可得：性質(zhì)2：①直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。在RtPAB中，PD·AB＝PA·PBPD＝ab；在RtPCD中，CD2＝PD2＋PC2＝(ab)2＋a2b2a2b2c2a2b2b2c2c2a2PCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PHPH2＝PD2PC2＝＝a2b2；在RtCD2ab()c2a2b2c2a2b2b2c2c2a2a2b2＝a2b21111a2b2b2c2c2a2b2c2c2a2，∴PH2＝a2b2c2＝a2＋b2＋c2。因此有：a2b21＝1＋1＋1性質(zhì)2：②直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式。h2a2b2c22因PH⊥面ABC，∴側(cè)棱PC與底面ABC所成角為∠PCH＝α，則有sin2∠PCH＝sin2α＝PD＝CD2ab()2a2b2a2b2＝a2b2。同理,側(cè)棱PB與底面ABC所成角為∠PBH＝β,sin2∠PBH＝a2b2b2c2c2a2b2c2c2a2a2b2sin2β＝a2b2c2a2c2a2，側(cè)棱PA與底面ABC所成角為∠PAH＝γ，sin2∠PBH＝sin2γ＝b2c2a2b2c2a2c2a2，所以sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1。因此，b2c2性質(zhì)3：①直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側(cè)棱與底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。由AB⊥PD,AB⊥CD，∴側(cè)面PAB與底面ABC所成角為∠PDC＝θ,由PC⊥PD知θ＋α＝90°,∴sin2sin2(90°－θ)＝cos2θ。類似推理，由 sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1。易得：sin2θ＋sin2δ＋sin2

α＝＝1。另外，tan(P-AB-C)＝tan∠PDC＝PC＝c＝c11，同理，tan(P-BC-A)＝a11，PDaba2b2b2c2a2b2tan(P-CA-B)11＝ba2。所以，c2性質(zhì)3：②直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c11，tan(P-BC-A)＝a11，tan(P-CA-B)＝b11。a2b2b2c2c2a2如圖，Q為底面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，作點(diǎn)Q到面PAB的距離為RQ＝d1，到面PBC的距離為RT＝d2，到面PCA2222222＋d222的距離為RS＝d3，容易得到：PQ＝RQ＋RP＝RQ＋RT＋RS＝d1＋d3性質(zhì)4：①底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。QP與棱PA所成角的余弦值2cosα＝SP2＝RT2，QP與棱PB所PQ2PQ2成角的余弦值cos2β＝TP2＝PQ2RS2，QP與棱PA所成角的余弦值PQ2cos2γ＝RQ2，PQ222222222β＝1；在PQ＝RQ＋RT＋RS兩邊同時(shí)除以PQ，得cosγ＋cosα＋cos性質(zhì)4：②直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。2RS2RT222RQ2QP與面PAB所成角的余弦值cos，QP與面PBC所成角的余弦值，θ＝cosδ＝RSPQ2PQ222RQ222222222QP與面PCA所成角的余弦值cos＝RT，由PQ＝RQ＋RT＋RS得2×PQ＝RS＋RT＋RS＋PQ22222222＝2，∴22δ＋1－RQ＋RT＋RQ,兩邊同時(shí)除以PQ，得cosθ＋cosδ＋cos1－sinθ＋1－sinsin2222＝1。＝2，得sinθ＋sinδ＋sin性質(zhì)4：③直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值的平方和為1。底面三角形的面積 SABC＝1AB·CD＝2這也可以當(dāng)成直角三棱錐的一個(gè)性質(zhì)：

1a2b2·a2b2b2c2c2a2＝1a2b2b2c2c2a2，2a2b22性質(zhì)5：①直角三棱錐底面三角形的面積 S＝1 a2b2 b2c2 c2a2。2在RtPCD中，PD2＝HD·CD，兩邊同乘以1AB2得1AB2·PD2＝1AB2·HD·CD，即SPAB2＝SHAB·SABC；444同理，SPBC2＝SHBC·SABC；SPCA2＝SHCA·SABC。性質(zhì)5：②直角三棱錐側(cè)面面積是其在底面的射影面積與底面面積的比例中項(xiàng)。把SPAB2＝SHAB·SABC；SPBC2＝SHBC·SABC；SPCA2＝SHCA·SABC；這三個(gè)式子相加，得SABC2SPAB2＋SPBC2＋SPCA2。性質(zhì)5：③直角三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，等于底面面積的平方。直角三棱錐P-ABC中，在點(diǎn)A處，cos∠PAB·cos∠PAC＝PAPAPA2·＝，ABACABACcos∠BAC＝AC2AB2BC2＝AC2AB2(PB2PC2)2ABAC2ABACAC2PC2AB2PB2PA2PA2PA2＝cos∠PAB·cos∠PAC；＝AC＝2AB＝ABAC2ABAC即cos∠BAC＝cos∠PAB·cos∠PAC；同理，點(diǎn) B處，cos∠ABC＝cos∠PBA·cos∠PBC；點(diǎn)C處，cos∠ACBcos∠PCB·cos∠PCA。所以性質(zhì)6：直角三棱錐底面端點(diǎn)處，側(cè)棱與底面兩邊所成角的余弦積，等于底面角的余弦值。將直角三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則直角三棱錐的外接球也是長(zhǎng)方體的外接球，其球心是長(zhǎng)方體的中心，半徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線的一半。因此有性質(zhì)7：①直角三棱錐外接球的半徑R＝1a2b2c2。2設(shè)直角三棱錐內(nèi)切球半徑為r，球心為Ｏ，連OA,OB,OC，則把直角三棱錐分成四個(gè)小三棱錐，∴VPABC＝VOPAB＋VOPBC＋VOPCA＋VOABC，∵SABC＝1a2b2b2c2c2a2，∴1×1ab×c＝1×1ab×r＋1×1bc×r＋1×1ca×r＋1×1×2323232323a2b2b2c2c2a2×r，2abc∴r＝。所以，a2b2b2c2c2a2abbcac性質(zhì)7：②直角三棱錐內(nèi)切球的半徑r＝abc。a2b2b2c2abbcacc2a2現(xiàn)在將以上所探究到的直角三棱錐性質(zhì)小結(jié)如下：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。性質(zhì)2：①直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。②直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式1＝1＋1＋1。h2a2b2c2性質(zhì)3：①直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側(cè)棱與底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。②直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c11，tan(P-BC-A)＝a11，tan(P-CA-B)＝b11a2b2b2c2c2a2。性質(zhì)4：①底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。②直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。③直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值的平方和為1。性質(zhì)