高中數(shù)學北師大版1第一章常用邏輯用語命題 第1章

§1命題1.了解命題的概念.(重點)2.掌握四種命題的結構形式.會寫出命題的逆命題、否命題、逆否命題.(難點)3.熟練判斷命題的真假性.(易混點)[基礎·初探]教材整理1命題及相關概念閱讀教材P3“問題提出”以上的部分，完成下列問題.(1)定義：可以判斷真假，用文字或符號表述的語句叫命題.(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：判斷為真的語句.,假命題：判斷為假的語句.))(3)形式：通常把命題表示為“若p則q”的形式，其中p是條件，q是結論.1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“x＞16”(2)“一個實數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)”是真命題.()(3)若兩個命題為互否命題，則它們的真假性肯定不相同.()【解析】(1)×，因為沒有給定變量x的值，無法確定其真假，故不是命題.(2)×，因為0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，所以是假命題.(3)√，互否命題的真假性相反.【答案】(1)×(2)×(3)√2.下列語句是命題的是()不是無限不循環(huán)小數(shù)＞5C.請同學們用好《非常學案》！D.三角形是平面圖形嗎？【解析】B不能判斷其真假，C、D分別是祈使句、疑問句不是命題.【答案】A教材整理2四種命題及關系閱讀教材P3“問題提出”～P4“例1”以上的部分，完成下列問題.1.四種命題互逆命題一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件互否命題一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定互為逆否命題一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定2.四種命題之間的關系互為逆命題、互為否命題、互為逆否命題都是說的兩個命題之間的關系.圖1-1-11.命題：“兩對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的()A.逆命題 B.否命題C.逆否命題 D.等價命題【解析】根據(jù)逆命題的定義知，選項A正確.【答案】A2.將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并判斷相應命題的真假.(1)正數(shù)a的平方根不等于0；(2)兩條對角線不相等的平行四邊形不是矩形.【解】(1)“若a是正數(shù)，則a的平方根不等于0”逆命題是：“若a的平方根不等于0，則a是正數(shù)”，假命題；否命題是“若a不是正數(shù)，則它的平方根等于0”，假命題；逆否命題是：“若a的平方根等于0，則a不是正數(shù)”，真命題.(2)“若平行四邊形的兩條對角線不相等，則它不是矩形”，逆命題是：“若平行四邊形不是矩形，則它的兩條對角線不相等”，真命題；否命題是“若平行四邊形的兩條對角線相等，則它是矩形，真命題；逆否命題是：“若平行四邊形是矩形，則它的兩條對角線相等”，真命題.[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]命題及其真假判斷(1)命題“若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)”的條件為________，結論為________.【自主解答】命題“若p則q”其中p為條件，q為結論.【答案】x，y都是奇數(shù)，x＋y是偶數(shù).(2)①x2－5x＋6＝0.②函數(shù)f(x)＝x2是偶數(shù).③若ac＞bc則b＞c.④證明x∈R，方程x2＋x＋1＝0無實數(shù)根.以上語句是命題的為________.【自主解答】①因為x的值不確定，無法判斷其真假，故不是命題，②，③是命題，④是祈使句，故不是命題.【答案】②③(3)“常數(shù)列是等差數(shù)列”是____命題，“常數(shù)列是等比數(shù)列”是____命題.(填“真”或“假”)【自主解答】常數(shù)列是等差數(shù)列是真命題，如果常數(shù)為0,0,0，……則不是等比數(shù)列，故“常數(shù)列是等比數(shù)列”是假命題.【答案】真假1.能否判斷真假是命題的本質條件，形式上陳述句是命題的主要表現(xiàn)形式，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題.2.判斷一個命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴格的推理論證；判斷一個命題是假命題，只需要舉出一個反例即可.命題的結構分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題：【導學號：32550000】(1)若a2＋b2＝0，則a，b都為0；(2)兩個奇數(shù)的和是偶數(shù).【精彩點撥】將命題寫成“若p，則q”的形式，然后再依照四種命題的關系寫出相應的逆命題、否命題、逆否命題.【自主解答】(1)原命題：若a2＋b2＝0，則a，b都為0.逆命題：若a，b都為0，則a2＋b2＝0.否命題：若a2＋b2≠0，則a，b不都為0.逆否命題：若a，b不都為0，則a2＋b2≠0.(2)原命題：若兩個整數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個整數(shù)的和是偶數(shù).逆命題：若兩個整數(shù)的和是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)都是奇數(shù).否命題：若兩個整數(shù)不都是奇數(shù)，則這兩個整數(shù)的和不是偶數(shù).逆否命題：若兩個整數(shù)的和不是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)不都是奇數(shù).1.當一個命題不是“若p，則q”的形式時，要先將命題改寫成“若p，則q”的形式，明確條件是什么，結論是什么，然后結合四種命題的關系寫出該命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”.[再練一題]1.設原命題為“若ab＝0則a＝0”.【解】逆命題：若a＝0，則ab＝0，否命題：若ab≠0，則a≠0，逆否命題：若a≠0，則ab≠0.四種命題的真假判斷設命題為“若m＞0，則關于x的方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”試寫出它的否命題、逆命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假.【精彩點撥】利用四種命題的關系給出其他三種形式，對每一個命題判斷真假即可.【自主解答】否命題為：“若m≤0，則關于x的方程x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”；逆命題為：“若關于x的方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根，則m＞0”；逆否命題：“若關于x的方程x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根，則m≤0”.由方程的判別式Δ＝1＋4m≥0得m≥－eq\f(1,4)，即m≥－eq\f(1,4)時，方程有實根.∴m＞0使1＋4m＞0，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根，∴原命題為真，從而逆否命題為真.但方程x2＋x－m＝0有實根，必須m≥－eq\f(1,4)，不能推出m＞0，故逆命題為假，所以否命題也為假命題.對一個原命題來說，其逆命題和否命題、原命題和逆否命題同真同假.在進行真假判斷時，應抓住四個命題之間的關系，在二者之間選擇較簡單的命題進行判斷.[再練一題]2.設命題為：“若q＜1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根”.試寫出它的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假.【導學號：32550001】【解】逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q＜1，假命題.否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，假命題.逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，假命題.[探究共研型]命題及其真假探究含有變量的語句是否是命題？【提示】對于含有變量的語句，要根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題.例如，x2＋4x＋5＞0是命題；x2＋4x＋3＞0不是命題.因為x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0，對于x∈R，可以判斷真假，是命題，并且是真命題；而x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，對于x∈R，x2＋4x＋3可以表示正數(shù)，也可以表示負數(shù)和零，不能判斷真假，所以x2＋4x＋3＞0不是命題.四種命題及其關系探究1是否只有“若p，則q”形式的命題才有逆命題、否命題和逆否命題？【提示】根據(jù)四種命題的概念，可知只有能改寫為“若p，則q”形式的命題才有逆命題、否命題、逆否命題.注意：將非“若p，則q”的命題改寫為“若p，則q”形式的命題不是唯一的.如“兩條平行線的同位角相等”，可以寫成“若兩直線平行，則同位角相等”，或“若兩個角是兩條平行線的同位角，則這兩個角相等”.探究2四種命題中真命題有幾個？【提示】因為原命題與逆否命題有相同的真假性，逆命題與否命題有相同的真假性，因此四種命題中真命題的個數(shù)一定為偶數(shù)，即真命題的個數(shù)只可能為0,2,4.并且，根據(jù)四種命題中真命題的個數(shù)只可能為0,2,4，可以檢驗寫出的逆命題、否命題、逆否命題是否正確.探究3如何運用互為逆否命題的兩個命題之間的關系？【提示】互為逆否命題的兩個命題同真同假，也稱為等價命題，在本節(jié)的主要應用有兩點：(1)通過判斷逆否命題的真假判斷原命題的真假.(2)用于證明命題：當原命題的真假性不易證明時，可以先證明它的逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.探究4若一個命題有大前提，在寫其他三種命題時，應注意什么？【提示】(1)有大前提的命題，改寫成“若p，則q”的形式時，要注意其書寫格式為“大前提，若p，則q”.(2)對于含有大前提的命題，在寫其他三種命題時，應保持大前提不變.(3)對于由多個并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時，應把其中一個(或幾個)作為大前提.將命題“當a＞0時，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大，”寫成“若p，則q”的形式，并寫出其否命題.【精彩點撥】原命題有兩個條件：“a＞0”和“x增大”，其中“a＞0”是大前提，改寫為“若p，則q”的形式時，要把“a＞0”置于“若”字的前面，把“x增大”作為條件.寫否命題時，易把“a＞0”和“x增大”都否定了，從而改變了一次函數(shù)的性質，特別是當a＝0時，便失去了研究“增”與“不增”的意義.【自主解答】“若p，則q”的形式：當a＞0時，若x增大，則函數(shù)y＝ax＋b的值也隨著增大.否命題：當a＞0時，若x不增大，則函數(shù)y＝ax＋b的值也不增大.[再練一題]3.寫出命題“已知x，y為正整數(shù)，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2”【解】逆命題：已知x，y為正整數(shù)，若y＝3，x＝2則y＝x＋1.[構建·體系]1.下列語句不是命題的是()是3的倍數(shù) 難道不能被3整除嗎？是15的約數(shù) 和5都是15的約數(shù)【解析】根據(jù)命題的定義選B.【答案】B2.命題“若a2＞b2，則a＞b”的否命題是()A.若a2＞b2，則a≤b B.若a2≤b2，則a≤bC.若a≤b，則a2＞b2 D.若a≤b，則a2≤b2【解析】根據(jù)命題的四種形式可知，命題“若p，則q”的否命題是“若﹁p，則﹁q.”該題中，p為a2＞b2，q為a＞b，故﹁p為a2≤b2，﹁q為a≤b.所以原命題的否命題為：若a2≤b2，則a≤b.【答案】B3.下列命題是真命題的是()A.若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B.若x2＝1，則x＝1C.若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D.若x＜y，則x2＜y2【解析】x2＝1?x＝±1，故B錯誤；當x＝y(tǒng)＜0時，eq\r(x)＝eq\r(y)無意義；當x＝－2，y＝1時，顯然x2＞y2.【答案】A4.命題“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)”中，條件是________________，結論是____________________.【解析】該命題可改寫為“如果一個數(shù)是無理數(shù)，那么它是無限不循環(huán)小數(shù)”.條件是：一個數(shù)是無理數(shù)；結論是：它是無限不循環(huán)小數(shù).【答案】一個數(shù)是無理數(shù)它是無限不循環(huán)小數(shù)5.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題，否命題與逆否命題.(1)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的??；(2)已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.【解】(1)原命題：若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧.逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線.否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線.(2)原命題：已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.逆命題：已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b且c＝d.否命題：已知a，b，c，d是實數(shù)，若a與b，c