彈性力學(xué)第6章-用有限單元法求平面問題課件

第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣第四節(jié)單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣第三節(jié)單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)有限單元法的概念第一節(jié)基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié)荷載向結(jié)點移置單元的結(jié)點荷載列陣第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)計算實例第九節(jié)計算成果的整理第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組1、有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2、FEM的特點

概述(1)具有通用性和靈活性。

首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。(2)對同一類問題,可以編制出通用程序,應(yīng)用計算機進行計算。(3)只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。3、FEM簡史

1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法?！?-1基本量和基本方程的矩陣表示

本章無特別指明,均表示為平面應(yīng)力問題的公式。采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔,且便于編制程序。1、基本物理量的矩陣表示體力:位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點位移列陣:結(jié)點力列陣:面力:基本物理量

(2)物理方程:2、FEM中應(yīng)用的方程(1)幾何方程:應(yīng)用的方程其中,D為彈性矩陣,對于平面應(yīng)力問題是:(3)虛功方程:為結(jié)點虛位移及對應(yīng)的虛應(yīng)變。其中，在FEM中用結(jié)點的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。(3)整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：FEM的概念(1)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)的離散化)；

(2)單元分析；FEM的分析過程：該方法的理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進行近似的數(shù)值計算方法。圖(c)與圖(a)相比,兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖(c)的單元是三角形塊體（注意:三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化比如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)(圖(c))：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)”。1.

結(jié)構(gòu)離散化FEM的分析過程(1)2.單元分析求解方法每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進行分析。取各結(jié)點位移

為基本未知量，然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用來表示。FEM的分析過程(2)(1)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點位移,

求單元的位移函數(shù)該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內(nèi)容：(2)應(yīng)用幾何方程,由單元的位移函數(shù)d,求出單元的應(yīng)變求解方法(4)應(yīng)用虛功方程,由單元的應(yīng)力,求出單元的結(jié)點力表示為(3)應(yīng)用物理方程,由單元的應(yīng)變,求出單元的應(yīng)力其中，

為結(jié)點對單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點力，以正標(biāo)向為正。2.單元分析FEM的分析過程(2)(1)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點位移,

求單元的位移函數(shù)該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內(nèi)容：(2)應(yīng)用幾何方程,由單元的位移函數(shù)d,求出單元的應(yīng)變(5)將每一單元中的各種外荷載,按虛功等效原則移置到結(jié)點上,化為結(jié)點荷載

求解方法

3.整體分析

2.對單元進行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點力列陣（5）單元的等效結(jié)點荷載列陣建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣思考題1.有限單元法求解問題的基本步驟是什么？2.試說明單元分析的主要內(nèi)容。復(fù)習(xí)1、基本物理量與基本方程的矩陣表示

(2)物理方程:(1)幾何方程:(3)虛功方程:

3.整體分析

2.對單元進行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)2.FEM分析的主要步驟：位移模式應(yīng)變列陣結(jié)點力列陣等效結(jié)點荷載列陣應(yīng)力列陣將式(a)按未知數(shù)歸納為:三角形單元或用矩陣表示為:N

稱為形函數(shù)矩陣,其非零元素為其中，A為△ijm的面積(圖示坐標(biāo)系中,i,j,m按逆時針編號),有：三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項，因而其誤差量級是且其中只包含了x,y的1次項，所以在單元中Ni的分布如圖(a)所示,u,v的分布如圖(b)、(c)所示。三角形單元所以當(dāng)單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。

收斂性條件所以當(dāng)單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

因為當(dāng)單元尺寸趨于0時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。(1)位移模式必須能反映單元的剛體位移。

(2)位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。可見剛體位移項在式(a)中均已反映。而剛體位移形式(P17(2-9)式)為，將式(a)寫成對式(a)求應(yīng)變,得：可見常量應(yīng)變也已反映。思考題1.應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選?。?.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關(guān)鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進行了?！?-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為應(yīng)變,應(yīng)力應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：其中,B

稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：思考題如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。§6-5單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型,結(jié)點力在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。(2)單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系,只在結(jié)點i,j,m互相聯(lián)系。

(1)將作用于單元上的各種外荷載,按靜力等效原則移置到結(jié)點上去,化為等效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。假想將單元與結(jié)點i切開，則：其數(shù)值與相同，而方向相反。以沿正坐標(biāo)向為正。對單元而言,這是作用在其上的“外力”。(1)結(jié)點作用于單元上的力，稱為結(jié)點力，(2)單元作用于結(jié)點的力，為：對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有代入B，D，即得平面應(yīng)力問題中三結(jié)點三角形單元的剛(勁)度矩陣，可寫成如下分塊矩陣的形式：其中，(1)k是6×6的方陣,

k中元素表示僅在單元結(jié)點s沿n方向產(chǎn)生單位位移時引起結(jié)點r沿l方向的結(jié)點力。(2)由反力互等定理，所以k是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質(zhì)：(3)當(dāng)單元作剛體平移時，如三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點力也為0。(4)由(3)可導(dǎo)出行列式(即k為奇異矩陣

)。(5)k的元素與單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動以及作度轉(zhuǎn)動無關(guān)。即,k中每一行（或列）元素之和為0（其中第1、3、5元素之和(對應(yīng)x向)或2、4、6元素之和(對應(yīng)y向)也為0）。例題

某等腰直角三角形單元ijm如圖所示,已知在所選取的坐標(biāo)系中,單元結(jié)點坐標(biāo)分別為:

應(yīng)用

可得

應(yīng)用公式可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為應(yīng)用教材式(6-37)及式(6-38)可得該單元的單元剛度矩陣為現(xiàn)考察結(jié)點力與單元中的應(yīng)力之間的關(guān)系。為了簡單起見，假定只有結(jié)點i發(fā)生位移ui，如右圖(a)所示。由上面的單元剛度矩陣得相應(yīng)的結(jié)點力為：其中，。相應(yīng)的結(jié)點位移及結(jié)點力如圖所示另一方面，由于發(fā)生了位移ui,則根據(jù)上面得到的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，可得應(yīng)力分量為如上圖(b)中單元的兩直角面所示。根據(jù)單元的平衡條件,還可得出斜面上的應(yīng)力,如圖所示。若將這三個面上的應(yīng)力分別按靜力等效原則積銖累寸到結(jié)點上去，可以得到圖(a)中相同的結(jié)點力?！鏊伎碱}試求出書中例題(P117)的位移模式?！?-6荷載向結(jié)點移置,單元的結(jié)點荷載列陣在FEM中,須將作用于單元上的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載，(2)變形體靜力等效原則:

即在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)來考慮,得出移置荷載不是唯一的解;變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng),在一定的位移模式下,其結(jié)果是唯一的,且滿足了前者條件。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。(1)剛體靜力等效原則:使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移,則點的虛位移為使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：原荷載作用于單元中任一點(x,y),為單位厚度上的作用力;移置荷載作用于結(jié)點ijm。集中力,面力,體力2、集中力的移置公式對于任意的虛位移,虛功方程都必須滿足,得：3、單元邊界上面力的移置公式

應(yīng)用式(a),將代之為并在邊界上積分,得:應(yīng)用式(a)，將代之為并對單元域A積分,得4、單元內(nèi)體力f的移置公式

說明：當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點荷載相同。思考題1.試導(dǎo)出書中例題(P119)的荷載移置公式。

在單元分析中，從單元的結(jié)點位移→求位移分布→求應(yīng)變→求應(yīng)力→求結(jié)點力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點荷載，為單元的外力分析?！?-7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組假設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點的每個單元對i結(jié)點有結(jié)點力()的作用,也有外荷載移置的結(jié)點荷載()的作用。下面考慮整體分析。對某一個單元ijm，其中是對圍繞i結(jié)點的單元求和。結(jié)點i的平衡條件為

結(jié)點平衡條件其中,ijm是單元結(jié)點的局部編號;i=1,2,…,n是其整體編號。

代入式(a)，可表示為將式(b)按整體結(jié)點編號排列,得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。對某一個單元ijm，其中是對圍繞i結(jié)點的單元求和。結(jié)點i的平衡條件為

其中，分別為整體結(jié)點位移列陣，整體結(jié)點荷載列陣和整體勁度矩陣。

考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后,從式(c)求出,就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。結(jié)點平衡方程組例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)點的平衡條件。（見書中P.121）■1、有限單元法的具體計算步驟§6-8解題的具體步驟單元的劃分1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點編號。2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負號等問題。3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。

對第1步和第4步的工作，也盡可能由計算機完成，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。2、單元劃分注意事項（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內(nèi)角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；在FEM中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6-9計算成果的整理三結(jié)點三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動性。對于結(jié)點位移的成果，不需整理就可以直接采用。應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯著。這是由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結(jié)點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。為提高應(yīng)力精度，解決其波動性問題，可采取以下應(yīng)力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結(jié)點平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。在面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。為了提高應(yīng)力精度，可采用兩種方法：一是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。二是可以采用較多結(jié)點的單元，并使位移模式中包含一些高冪次的項，從而提高位移和應(yīng)力的精度。應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯著。這是由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結(jié)點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。為提高應(yīng)力精度，解決其波動性問題，可采取以下應(yīng)力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結(jié)點平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。書中應(yīng)用三結(jié)點三角形單元，計算了下列例題：§6-10計算實例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。2.簡支梁受均布荷載。3.圓孔附近的應(yīng)力集中。在整理應(yīng)力成果時,讀者應(yīng)注意,應(yīng)用三角形單元時，(1)采用兩單元平均法和繞結(jié)點平均法的應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。(2)邊界面的應(yīng)力,宜采用向外插值的方法求出。在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法，即靜力法與變分原理法?！?-11應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法基本方程(