彈性力學(xué)第6章-用有限單元法求平面問題課件

第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣第四節(jié)單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣第三節(jié)單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)有限單元法的概念第一節(jié)基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié)荷載向結(jié)點(diǎn)移置單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)計(jì)算實(shí)例第九節(jié)計(jì)算成果的整理第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組1、有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2、FEM的特點(diǎn)

概述(1)具有通用性和靈活性。

首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡(jiǎn)稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。(2)對(duì)同一類問題,可以編制出通用程序,應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。(3)只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。3、FEM簡(jiǎn)史

1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法?！?-1基本量和基本方程的矩陣表示

本章無特別指明,均表示為平面應(yīng)力問題的公式。采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔,且便于編制程序。1、基本物理量的矩陣表示體力:位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列陣:結(jié)點(diǎn)力列陣:面力:基本物理量

(2)物理方程:2、FEM中應(yīng)用的方程(1)幾何方程:應(yīng)用的方程其中,D為彈性矩陣,對(duì)于平面應(yīng)力問題是:(3)虛功方程:為結(jié)點(diǎn)虛位移及對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。其中，在FEM中用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。(3)整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡(jiǎn)述為：FEM的概念(1)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)的離散化)；

(2)單元分析；FEM的分析過程：該方法的理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。圖(c)與圖(a)相比,兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖(c)的單元是三角形塊體（注意:三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化比如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)(圖(c))：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)”。1.

結(jié)構(gòu)離散化FEM的分析過程(1)2.單元分析求解方法每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。取各結(jié)點(diǎn)位移

為基本未知量，然后對(duì)每個(gè)單元,分別求出各物理量,并均用來表示。FEM的分析過程(2)(1)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點(diǎn)位移,

求單元的位移函數(shù)該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內(nèi)容：(2)應(yīng)用幾何方程,由單元的位移函數(shù)d,求出單元的應(yīng)變求解方法(4)應(yīng)用虛功方程,由單元的應(yīng)力,求出單元的結(jié)點(diǎn)力表示為(3)應(yīng)用物理方程,由單元的應(yīng)變,求出單元的應(yīng)力其中，

為結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?.單元分析FEM的分析過程(2)(1)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點(diǎn)位移,

求單元的位移函數(shù)該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內(nèi)容：(2)應(yīng)用幾何方程,由單元的位移函數(shù)d,求出單元的應(yīng)變(5)將每一單元中的各種外荷載,按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上,化為結(jié)點(diǎn)荷載

求解方法

3.整體分析

2.對(duì)單元進(jìn)行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣思考題1.有限單元法求解問題的基本步驟是什么？2.試說明單元分析的主要內(nèi)容。復(fù)習(xí)1、基本物理量與基本方程的矩陣表示

(2)物理方程:(1)幾何方程:(3)虛功方程:

3.整體分析

2.對(duì)單元進(jìn)行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)2.FEM分析的主要步驟：位移模式應(yīng)變列陣結(jié)點(diǎn)力列陣等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣應(yīng)力列陣將式(a)按未知數(shù)歸納為:三角形單元或用矩陣表示為:N

稱為形函數(shù)矩陣,其非零元素為其中，A為△ijm的面積(圖示坐標(biāo)系中,i,j,m按逆時(shí)針編號(hào)),有：三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項(xiàng)，因而其誤差量級(jí)是且其中只包含了x,y的1次項(xiàng)，所以在單元中Ni的分布如圖(a)所示,u,v的分布如圖(b)、(c)所示。三角形單元所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。

收斂性條件所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

因?yàn)楫?dāng)單元尺寸趨于0時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。(1)位移模式必須能反映單元的剛體位移。

(2)位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。可見剛體位移項(xiàng)在式(a)中均已反映。而剛體位移形式(P17(2-9)式)為，將式(a)寫成對(duì)式(a)求應(yīng)變,得：可見常量應(yīng)變也已反映。思考題1.應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項(xiàng)開始選??？2.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時(shí)，位移模式的建立是一個(gè)關(guān)鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進(jìn)行了。§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為應(yīng)變,應(yīng)力應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：其中,B

稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：思考題如果在位移模式中取到泰勒級(jí)數(shù)中的二次冪項(xiàng)，略去高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)?！?-5單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣現(xiàn)在來考慮其中一個(gè)單元：模型,結(jié)點(diǎn)力在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。(2)單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系,只在結(jié)點(diǎn)i,j,m互相聯(lián)系。

(1)將作用于單元上的各種外荷載,按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去,化為等效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。假想將單元與結(jié)點(diǎn)i切開，則：其數(shù)值與相同，而方向相反。以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎?duì)單元而言,這是作用在其上的“外力”。(1)結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱為結(jié)點(diǎn)力，(2)單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，為：對(duì)于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有代入B，D，即得平面應(yīng)力問題中三結(jié)點(diǎn)三角形單元的剛(勁)度矩陣，可寫成如下分塊矩陣的形式：其中，(1)k是6×6的方陣,

k中元素表示僅在單元結(jié)點(diǎn)s沿n方向產(chǎn)生單位位移時(shí)引起結(jié)點(diǎn)r沿l方向的結(jié)點(diǎn)力。(2)由反力互等定理，所以k是對(duì)稱矩陣，以對(duì)角線為對(duì)稱軸。單元?jiǎng)哦染仃噆的性質(zhì)：(3)當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0。(4)由(3)可導(dǎo)出行列式(即k為奇異矩陣

)。(5)k的元素與單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作度轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)。即,k中每一行（或列）元素之和為0（其中第1、3、5元素之和(對(duì)應(yīng)x向)或2、4、6元素之和(對(duì)應(yīng)y向)也為0）。例題

某等腰直角三角形單元ijm如圖所示,已知在所選取的坐標(biāo)系中,單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

應(yīng)用

可得

應(yīng)用公式可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為應(yīng)用教材式(6-37)及式(6-38)可得該單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍楝F(xiàn)考察結(jié)點(diǎn)力與單元中的應(yīng)力之間的關(guān)系。為了簡(jiǎn)單起見，假定只有結(jié)點(diǎn)i發(fā)生位移ui，如右圖(a)所示。由上面的單元?jiǎng)偠染仃嚨孟鄳?yīng)的結(jié)點(diǎn)力為：其中，。相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移及結(jié)點(diǎn)力如圖所示另一方面，由于發(fā)生了位移ui,則根據(jù)上面得到的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，可得應(yīng)力分量為如上圖(b)中單元的兩直角面所示。根據(jù)單元的平衡條件,還可得出斜面上的應(yīng)力,如圖所示。若將這三個(gè)面上的應(yīng)力分別按靜力等效原則積銖累寸到結(jié)點(diǎn)上去，可以得到圖(a)中相同的結(jié)點(diǎn)力?！鏊伎碱}試求出書中例題(P117)的位移模式。§6-6荷載向結(jié)點(diǎn)移置,單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣在FEM中,須將作用于單元上的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載，(2)變形體靜力等效原則:

即在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來考慮,得出移置荷載不是唯一的解;變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng),在一定的位移模式下,其結(jié)果是唯一的,且滿足了前者條件。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。(1)剛體靜力等效原則:使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。移置原則假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移,則點(diǎn)的虛位移為使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：原荷載作用于單元中任一點(diǎn)(x,y),為單位厚度上的作用力;移置荷載作用于結(jié)點(diǎn)ijm。集中力,面力,體力2、集中力的移置公式對(duì)于任意的虛位移,虛功方程都必須滿足,得：3、單元邊界上面力的移置公式

應(yīng)用式(a),將代之為并在邊界上積分,得:應(yīng)用式(a)，將代之為并對(duì)單元域A積分,得4、單元內(nèi)體力f的移置公式

說明：當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時(shí)，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。思考題1.試導(dǎo)出書中例題(P119)的荷載移置公式。

在單元分析中，從單元的結(jié)點(diǎn)位移→求位移分布→求應(yīng)變→求應(yīng)力→求結(jié)點(diǎn)力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點(diǎn)荷載，為單元的外力分析?！?-7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組假設(shè)將結(jié)點(diǎn)i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點(diǎn)的每個(gè)單元對(duì)i結(jié)點(diǎn)有結(jié)點(diǎn)力()的作用,也有外荷載移置的結(jié)點(diǎn)荷載()的作用。下面考慮整體分析。對(duì)某一個(gè)單元ijm，其中是對(duì)圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和。結(jié)點(diǎn)i的平衡條件為

結(jié)點(diǎn)平衡條件其中,ijm是單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào);i=1,2,…,n是其整體編號(hào)。

代入式(a)，可表示為將式(b)按整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)排列,得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。對(duì)某一個(gè)單元ijm，其中是對(duì)圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和。結(jié)點(diǎn)i的平衡條件為

其中，分別為整體結(jié)點(diǎn)位移列陣，整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣和整體勁度矩陣。

考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后,從式(c)求出,就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。結(jié)點(diǎn)平衡方程組例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)點(diǎn)的平衡條件。（見書中P.121）■1、有限單元法的具體計(jì)算步驟§6-8解題的具體步驟單元的劃分1、劃分單元網(wǎng)格，對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)。2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號(hào)應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號(hào)。否則會(huì)使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號(hào)等問題。3、使用已編好的程序進(jìn)行上機(jī)計(jì)算。事先須將有限單元法的公式，計(jì)算方法和步驟都編入程序。4、對(duì)成果進(jìn)行整理、分析。

對(duì)第1步和第4步的工作，也盡可能由計(jì)算機(jī)完成，以減少人工的工作量。如自動(dòng)劃分網(wǎng)格，整理成果等。2、單元?jiǎng)澐肿⒁馐马?xiàng)（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個(gè)內(nèi)角最好較接近；（4）利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；在FEM中，位移的精度較高，其誤差量級(jí)是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級(jí)是，即與單元的大小成正比。

§6-9計(jì)算成果的整理三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動(dòng)性。對(duì)于結(jié)點(diǎn)位移的成果，不需整理就可以直接采用。應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著。這是由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結(jié)點(diǎn)都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。為提高應(yīng)力精度，解決其波動(dòng)性問題，可采取以下應(yīng)力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結(jié)點(diǎn)平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因?yàn)樗婕暗膮^(qū)域范圍較小。在面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。為了提高應(yīng)力精度，可采用兩種方法：一是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。二是可以采用較多結(jié)點(diǎn)的單元，并使位移模式中包含一些高冪次的項(xiàng)，從而提高位移和應(yīng)力的精度。應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著。這是由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結(jié)點(diǎn)都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。為提高應(yīng)力精度，解決其波動(dòng)性問題，可采取以下應(yīng)力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結(jié)點(diǎn)平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因?yàn)樗婕暗膮^(qū)域范圍較小。書中應(yīng)用三結(jié)點(diǎn)三角形單元，計(jì)算了下列例題：§6-10計(jì)算實(shí)例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。2.簡(jiǎn)支梁受均布荷載。3.圓孔附近的應(yīng)力集中。在整理應(yīng)力成果時(shí),讀者應(yīng)注意,應(yīng)用三角形單元時(shí)，(1)采用兩單元平均法和繞結(jié)點(diǎn)平均法的應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。(2)邊界面的應(yīng)力,宜采用向外插值的方法求出。在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法，即靜力法與變分原理法。§6-11應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法基本方程(