心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)課件(張厚粲版)ch9方差分析

章方差分析

方差分析又稱做變異數(shù)分析（縮寫ANOVA），它是一種應(yīng)用非常廣泛的變量分析方法。其作用就是對(duì)引起方差變化的各種因素進(jìn)行分析和比較，從而確定各個(gè)因素對(duì)因變量是否有顯著的影響。方差分析可以像Z檢驗(yàn)一樣用來(lái)比較兩個(gè)或兩個(gè)以上平均數(shù)的差異。但是，它與Z檢驗(yàn)相比具有以下優(yōu)點(diǎn)：①功效高。Z檢驗(yàn)一次只能比較兩個(gè)平均數(shù)，而方差分析一次可以比較多個(gè)平均數(shù)的差異。②功能強(qiáng)。Z檢驗(yàn)只能分析、比較單因素實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于多因素實(shí)驗(yàn)的交互作用以及同時(shí)比較各個(gè)因素作用的大小則無(wú)能為力。2020/12/191第一節(jié)方差分析的基本原理一、幾個(gè)基本術(shù)語(yǔ)（概念）㈠因素：所謂因素是指實(shí)驗(yàn)因素，即在實(shí)驗(yàn)中準(zhǔn)備考察的刺激變量——自變量。㈡水平：所謂水平是指實(shí)驗(yàn)因素的水平，即每一個(gè)因素所處的狀態(tài)或等級(jí)。也就是實(shí)驗(yàn)因素這個(gè)變量所取的“值”。㈢實(shí)驗(yàn)處理：所謂實(shí)驗(yàn)處理是指各種實(shí)驗(yàn)因素的不同水平的組合。2020/12/192第一節(jié)方差分析的基本原理二、方差分析的基本原理方差分析就是對(duì)引起方差變化的各種因素進(jìn)行分析和比較，從而找出形成各樣本之間差異的主要因素。它所依據(jù)的基本原理是變異的可加性，即把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的總的差異分解為若干個(gè)不同來(lái)源的分量，具體地說(shuō)，它是將總的離差平方和分解為n個(gè)不同來(lái)源的離差平方和，然后根據(jù)每個(gè)離差平方和的大小來(lái)確定它們對(duì)總的離差平方和的貢獻(xiàn)大小，從而確定實(shí)驗(yàn)中的自變量是否對(duì)因變量有重要影響。2020/12/193例1從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取條件相仿的4組學(xué)生，每組5人，由4位教師采用不同的教學(xué)方法（甲、乙、丙、?。┻M(jìn)行某種技能的訓(xùn)練經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，其測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)绫?-1所示。2020/12/194二、方差分析的基本原理一般情況下：2020/12/195二、方差分析的基本原理

在方差分析中，比較組間變異與組內(nèi)變異，要用各自的均方（即方差）來(lái)比較，而不能用平方和直接比較。則需用各平方和除以各自的自由度，從而得到均方，以均方來(lái)比較。它們各自的自由度為：2020/12/196三、方差分析的步驟

⑷作出方差分析概要表2020/12/197四、方差分析的基本條件㈠總體服從正態(tài)分布㈡變異的可加性（變異的相互獨(dú)立性）㈢變異的同質(zhì)性：即各組的變異是相等的，或者說(shuō)各組的方差彼此無(wú)顯著差異。

2020/12/198三、方差分析的步驟⑴建立假設(shè):⑵求F值:①求平方和:即求組間平方和,組內(nèi)平方和及總平方和②求自由度:③求方差(均方):④求F值:⑶判斷結(jié)果:2020/12/199方差分析的基本假設(shè)虛無(wú)假設(shè)與備擇假設(shè)虛無(wú)假設(shè)有綜合虛無(wú)假設(shè)與部分虛無(wú)假設(shè)綜合虛無(wú)假設(shè)一般是指樣本所屬的所有總體的平均數(shù)都相等，如某實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中有三個(gè)實(shí)驗(yàn)組,綜合虛無(wú)假設(shè)可表述為：H0：

μ1=μ2=μ3，組間虛無(wú)假設(shè)相應(yīng)地稱為部分虛無(wú)假設(shè)。檢驗(yàn)綜合虛無(wú)假設(shè)是方差分析的主要任務(wù)。如果綜合虛無(wú)假設(shè)被拒絕，緊接著要確定要確定哪兩個(gè)組之間存在著差異，要運(yùn)用事后比較的方法來(lái)確定。備擇假設(shè)也稱為研究假設(shè)，是對(duì)虛無(wú)假設(shè)的否定H1：

μ1≠μ2

≠μ32020/12/1910第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析一、各實(shí)驗(yàn)處理組樣本容量相等

2020/12/1911表10-4四種教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表2020/12/1912例1的計(jì)算(各實(shí)驗(yàn)水平的被試相等)解：⑴建立假設(shè)：⑵計(jì)算F值：①求平方和：2020/12/1913例1的計(jì)算②求自由度：③求均方：④計(jì)算F值：2020/12/1914⑶判斷結(jié)果：

2020/12/1915五、方差齊性檢驗(yàn)（哈特萊法）例1的數(shù)據(jù)為例解：經(jīng)計(jì)算得：2020/12/1916方差分析的基本條件1、總體正態(tài)性

方差分析要求樣本必須來(lái)自正態(tài)分布的總體。在心理與教育研究領(lǐng)域中，大多數(shù)變量是可以假定其總體是服從于正態(tài)分布的，因此，一般進(jìn)行方差分析時(shí)并不需要去檢驗(yàn)總體分布的正態(tài)性。

當(dāng)有證據(jù)表明總體分布不是正態(tài)時(shí)，可以將數(shù)據(jù)作某種轉(zhuǎn)換；或者應(yīng)用非參數(shù)檢驗(yàn)。2、變異可加性(獨(dú)立性)

方差分析的基本原理是變異的可加性，它要求各部分變異的來(lái)源在意義上必須明確，而且彼此要相互獨(dú)立。一般情況下都可以滿足。3、方差齊性求組內(nèi)均方時(shí)，各實(shí)驗(yàn)處理內(nèi)的方差彼此也應(yīng)無(wú)顯著差異。

2020/12/1917第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析二、各實(shí)驗(yàn)處理組樣本容量不同2020/12/1918例2：研究人員采用四種不同的心理治療方案，對(duì)每個(gè)志愿參加治療的患者心理治療，他們用錄音機(jī)記錄了每個(gè)被試在一段時(shí)間中所講的詞數(shù)。由于錄音的困難，每種方案記錄的人數(shù)各不相同。原始數(shù)據(jù)見下表，問這幾種方案是否有差異？解：原始數(shù)據(jù)與計(jì)算的中間數(shù)據(jù)見下表：2020/12/19192020/12/1920例2的計(jì)算解:⑴建立假設(shè):⑵求F值2020/12/1921例2的計(jì)算(續(xù))⑶判斷結(jié)果:⑷作方差分析表:2020/12/1922第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析三、利用樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行方差分析2020/12/1923例3為了考察三種教學(xué)方法的教學(xué)效果的優(yōu)劣,從某校五年級(jí)中隨機(jī)抽取三個(gè)班作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,經(jīng)過(guò)一學(xué)年的實(shí)驗(yàn),然后進(jìn)行測(cè)驗(yàn),其結(jié)果如下表,試對(duì)三班測(cè)驗(yàn)成績(jī)單的平均數(shù)是否有顯著差異進(jìn)行方差分析.2020/12/1924例3的計(jì)算解:2020/12/1925

例3的計(jì)算

6、編制方分析表：2020/12/1926第三節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析

在完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析中，我們把總變異分解為因素的變異（組間變異）和誤差的變異（組內(nèi)變異），而在誤差變異中既含有偶然因素帶來(lái)的變異，同時(shí)又有抽樣誤差（個(gè)體差異）造成的。從而使誤差變異增大，影響了F檢驗(yàn)的精確度和靈敏度，為了彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，常采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)是指在實(shí)驗(yàn)中將實(shí)驗(yàn)對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成不同的區(qū)組，然后用隨機(jī)的方式?jīng)Q定每個(gè)區(qū)組內(nèi)的被試接受何種處理的設(shè)計(jì)方法。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)在教育和心理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用。（舉例）2020/12/1927二、隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析

隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種情況：①一個(gè)被試作為一個(gè)區(qū)組，所有被試都要分別接受各種實(shí)驗(yàn)處理。②每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整數(shù)倍。③區(qū)組內(nèi)的基本單元不是個(gè)別被試，而是以一個(gè)團(tuán)體為單元。2020/12/1928二、隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，由于加入了“各區(qū)組內(nèi)的被試水平盡量同質(zhì)”這一控制條件，這相當(dāng)于在原來(lái)的實(shí)驗(yàn)中又增加了一個(gè)新的因素“區(qū)組”，從而成為不考慮交互作用的雙因素實(shí)驗(yàn)。2020/12/1929二、隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析自由度：?jiǎn)我蛩仉S機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，一般只對(duì)實(shí)驗(yàn)因素進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)區(qū)組不加檢驗(yàn)。2020/12/1930例4把12名學(xué)生以優(yōu)、良、中、差的學(xué)習(xí)程度分成4個(gè)區(qū)組，然后按照隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行三種不同教學(xué)方法的實(shí)驗(yàn)。A1、A2、A3表示不同的教學(xué)方法，B1、B2、B3、B4表示4個(gè)不同的區(qū)組。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表所示。試分析三種教學(xué)方法的效果差異是否顯著。2020/12/1931解：⑴建立假設(shè):⑵計(jì)算F值:2020/12/1932自由度:

求方差:列方差分析概要表(略)

2020/12/1933三、兩種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的比較2020/12/1934第三節(jié)事后比較

方差分析中的F檢驗(yàn)是一種綜合檢驗(yàn)，它的結(jié)果只是總的說(shuō)明各樣本的平均數(shù)之間的差異是否顯著。但并未說(shuō)明哪一對(duì)樣本或哪幾對(duì)樣本之間的差異是否顯著。若F檢驗(yàn)差異顯著，則需要進(jìn)一步分析哪些樣本平均數(shù)之間的差異是顯著的，哪些樣本之間的差異是不顯著的。2020/12/1935第三節(jié)事后比較一、N—k法的檢驗(yàn)步驟⒈特點(diǎn)：①功效大;②易于理解;③對(duì)于α的解釋并不是以個(gè)別的檢驗(yàn)而是用全部的保護(hù)水平為依據(jù);④提供了一個(gè)(1-α)的保護(hù)水平。⒉N—k法的步驟⑴把各組樣本平均數(shù)自小到大作等級(jí)排序，得到比較等級(jí)⑵計(jì)算N—k的統(tǒng)計(jì)量，即公式：⑶判斷結(jié)果：2020/12/1936二、N—k法的應(yīng)用

例4中，通過(guò)方差分析知道三種教學(xué)方法的教學(xué)效果之間有顯著差異。則需進(jìn)一步作平均數(shù)之間的比較。解：⑴三種教學(xué)方法的等級(jí)排列:等級(jí):123平均數(shù):比較等級(jí):r分別為：2、3⑵計(jì)算q值：2020/12/1937二、N—k法的應(yīng)用⑵計(jì)算q值:⑶判斷結(jié)果:2020/12/1938二、N—k法的應(yīng)用(當(dāng)水平數(shù)較多時(shí))N—k法的步驟⑴把各組樣本平均數(shù)自小到大作等級(jí)排序，得到比較等級(jí)r⑵根據(jù)r和dfw(或dfe)，查附表6，得出q的臨界值。⑶計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤SE：⑷計(jì)算，即得對(duì)應(yīng)于某一個(gè)r值的兩個(gè)平均數(shù)相比較的臨界值。從而與兩個(gè)平均數(shù)之間的差異量進(jìn)行比較，以判斷兩個(gè)平均數(shù)差異的顯著性。2020/12/1939二、N—k法的應(yīng)用(當(dāng)水平數(shù)較多時(shí)，例1)解：⑴排序，計(jì)算等級(jí)：等級(jí)：1234平均數(shù)：比較等級(jí)r分別為：2、3、4⑵查q的臨界值：2020/12/1940二、N—k法的應(yīng)用(當(dāng)水平數(shù)較多時(shí)，例1)⑶求SE:(樣本