第五章 -第二次課自動控制理論

5.1

頻率特性5.2

對數(shù)坐標(biāo)圖5.3

極坐標(biāo)圖5.4用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.6相對穩(wěn)定性分析5.7頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)之間的關(guān)系第五章頻率響應(yīng)法5.2

對數(shù)坐標(biāo)圖一、對數(shù)坐標(biāo)圖及其特點1.博德圖（Bode圖）的構(gòu)成對數(shù)相頻特性圖

—j(w)，單位是°橫坐標(biāo)是對

取以10為底的對數(shù)（lg）進(jìn)行分度的。Bode圖由

2

幅圖構(gòu)成：

對數(shù)幅頻特性圖

—L()=20lg|G(j)|，單位是分貝，用dB表示縱坐標(biāo)都是按照線性進(jìn)行分度的。橫坐標(biāo)是角頻率。

標(biāo)注角頻率的真值，以方便讀數(shù)。每變化十倍，橫坐標(biāo)1gw就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec，稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。

在繪制函數(shù)關(guān)系時，相當(dāng)于lgw為自變量。

若橫軸上有兩點w1與w2，則該兩點的距離不是w2-w1，而是lgw2-lgw1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。

橫坐標(biāo)對于w是不均勻的，但對1gw卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。更詳細(xì)的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.0000.1110100/(rad·s-1)23

縱坐標(biāo)是對幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L()=20lgM()表示。

對數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o），仍用

()表示。2.博德圖（Bode圖）的優(yōu)點（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20lg|G|］后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計和分析變得容易。（1）橫坐標(biāo)按頻率取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。二、典型因子的博德圖為了便于對頻率特性作圖，開環(huán)傳遞函數(shù)均以時間常數(shù)形式表示。開環(huán)頻率特性G(jw)H(jw)一般由下列5種典型因子組成。1）比例因子K2）一階因子4）二階因子3）積分和微分因子5）滯后因子1.比例因子K

比例環(huán)節(jié)：

；幅頻特性：；相頻特性：幅值上有放大或衰減作用；

比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號()=0o，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。1）當(dāng)

w

<<w1時，則有其中，w1=1/T。這表示L(w)的低頻漸近線為0dB的一條水平線。2.一階因子一階因子的對數(shù)幅頻和相頻表達(dá)式分別是2）當(dāng)

w

>>w1時，則有因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為1=1/T，1(也記為T)稱為轉(zhuǎn)折頻率（轉(zhuǎn)角頻率），是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當(dāng)時，誤差為：當(dāng)時，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)對幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。對數(shù)幅頻和相頻曲線如下圖所示。一階因子的對數(shù)幅頻和相頻表達(dá)式分別是3.積分、微分因子402000.010.111020100.010.11積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線。在=1這一點穿過0dB線。（1）積分因子1對數(shù)幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線在=1這一點穿過0dB線。（2）微分因子

的對數(shù)幅頻特性曲線（3）因子4.二階因子對數(shù)幅頻特性

T<<1(或<<1/T)時，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。（1）二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性圖--低頻段T>>1(或>>1/T)時，并考慮到（0≤≤1），有

L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lg-40lgTdBT=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。求=1/T時的實際值L()?對數(shù)幅頻特性圖--高頻段說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。

0.4<<0.7，誤差<3dB，可以允許不對漸近線進(jìn)行修正；當(dāng)<0.4，>0.7，誤差很大，必須對漸近線進(jìn)行修正。

震蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的誤差曲線諧振峰值與諧振頻率

0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小，諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr--

阻尼比

--單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量--系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。當(dāng)=0時，r≈n，

Mr

≈，振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

當(dāng)

=0時，()=0°當(dāng)

=1/T時，()=-90°當(dāng)

→∞時，()→-180°

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；阻尼比的取值對曲線形狀的影響較大。對數(shù)相頻特性

對數(shù)相頻特性

對數(shù)幅頻特性（2）二階微分因子5.滯后因子e-tjw滯后因子的幅頻和相頻表達(dá)式為()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨增加而滯后無限增加。三、開環(huán)系統(tǒng)的博德圖

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)

則其對應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性分別為畫開環(huán)系統(tǒng)的博德圖的方法（1）間接法：做出G(jw)所含各因子的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線，然后對它們分別進(jìn)行代數(shù)相加即可。（2）順序斜率疊加法：用工程上的方法，直接畫出開環(huán)系統(tǒng)的博德圖。將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式順序斜率疊加法不必將各個典型環(huán)節(jié)的L(w)繪出，而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(w)曲線,j(w)曲線描點或疊加求取。由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成（1）L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。

系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加。1:基本規(guī)律（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定。G(jω)的低頻段表達(dá)式為()=-v90°低頻漸近線表達(dá)式為

低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v及開環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。低頻漸近線（及其延長線）上在=1時，有

L(1)=20lgK。（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定。在慣性環(huán)節(jié)斜率－20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)

G(s)=(1+s)

的轉(zhuǎn)折頻率

1/

處，

斜率＋20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)斜率－40dB/dec。

其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。的轉(zhuǎn)折頻率

1/T

處，的轉(zhuǎn)折頻率

1/T

處，（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系。當(dāng)→時，由于n＞m，高頻段的近似表達(dá)式為高頻段為一條斜率為

-20(n-m)dB/dec

的斜線。高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與

(n-m)

有關(guān)。()=-(n-m)·90°

1.分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時間常數(shù)表達(dá)式，寫出開環(huán)頻率特性的表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。2:繪制步驟3.確定低頻漸近線(由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與K決定)，找到橫坐標(biāo)為w=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點，過該點作斜率為

-20vdB/dec的斜線。2.選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的

10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變：

5.如有必要，對漸近線進(jìn)行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性。其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處斜率-20dB/dec；在比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處斜率+20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率處斜率-40dB/dec；最終斜率為-20(n-m)dB/dec。

6．對數(shù)相頻特性圖：

7.若系統(tǒng)串聯(lián)有滯后環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線?？汕蟪?)的表達(dá)式，在低頻、中頻、高頻分別取點計算，逐點描繪。低頻時有()=-v90，最終相位為()=-(n-m)90。

分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的博德圖。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為它的對數(shù)幅頻特性為轉(zhuǎn)折頻率：210（2）相頻特性100.2210.1L(w)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制對數(shù)幅頻特性曲線低頻段：時為38db時為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]0.5

例：30轉(zhuǎn)折頻率：0.5230四、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點與極點的位置，一般分為以下兩種系統(tǒng)：（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成）。（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統(tǒng)。

顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。用一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。2()=-arctan-arctanT

(0°，-180°)對數(shù)幅頻特性相同相頻特性1()=arctan-arctanT

(0°，0°),

-90°(n-m)

(1)具有相同幅頻特性的一些系統(tǒng)，其中最小相位系統(tǒng)的相位角變化是最小的。(2)

最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性存在唯一的對應(yīng)關(guān)系。對于最小相位系統(tǒng)可以通過實驗的方法測量并繪制出開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的()，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)。而對于非最小相位系統(tǒng)，只有同時知道了幅頻特性和相頻特性才能寫出它的傳遞函數(shù)。特點“最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。

它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。五、系統(tǒng)的類型與對數(shù)幅頻特性曲線低頻漸近線斜率的對應(yīng)關(guān)系對數(shù)幅頻聽的低頻段由因式按照v的數(shù)值將實際控制系統(tǒng)分為三種類型。來表征。1：0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條20lgKdB的水平線。

低頻漸近線斜率為-20dB/dec。

開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值。

低頻漸近線（或延長線）在w=1處的相交坐標(biāo)值為20lgK。2：I型系統(tǒng)

低頻漸近線斜率為-40dB/dec。

開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值的二次方。

低頻漸近線（或延長線）在w=1處的相交坐標(biāo)值為20lgK。3：II型系統(tǒng)5.1

頻率特性5.2

對數(shù)坐標(biāo)圖5.3

極坐標(biāo)圖5.4用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.6相對穩(wěn)定性分析5.7頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)之間的關(guān)系第五章頻率響應(yīng)法5.4

用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、由實驗作出被測系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號。對于大時間常數(shù)的系統(tǒng)，頻率范圍為0.01～10Hz；對于小時間常數(shù)的系統(tǒng)，應(yīng)選擇頻率較高的正弦信號。在足夠多的頻率點上，測得被測系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號與輸入信號的幅值比和相位差。據(jù)此作出該系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。用斜率為0dB/dec、±20dB/dec、±40dB/dec等直線段對所測的對數(shù)幅頻特性曲線作近似處理，求出漸近線。

注意:

由于測量的是被測系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位，因而該系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。●●二、由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則

(1)由低頻段的斜