（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 5.1 空間幾何體

專題五

立體幾何整理ppt-2-整理ppt-3-整理ppt5.1

空間幾何體整理ppt-5-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(2019全國Ⅱ,理16)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長為1,則該半正多面體共有

個(gè)面,其棱長為

.

26整理ppt-6-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三分析推理首先要明確幾何體是由正方體切割而得,根據(jù)切割方式及其結(jié)構(gòu)特征,即可確定該幾何體的面數(shù)以及棱長與正方體棱長之間的關(guān)系,即可得到所求.整理ppt-7-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解析:由題圖2可知第一層與第三層各有9個(gè)面,共計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面,所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.如圖,設(shè)該半正多面體的棱長為x,則AB=BE=x,延長CB與FE的延長線交于點(diǎn)G,延長BC交正方體的另一條棱于點(diǎn)H.由半正多面體的對稱性可知,△BGE為等腰直角三角形,整理ppt-8-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念,要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析,明確幾何體之間的聯(lián)系以及差異性.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上,解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的,那么在解決棱(圓)臺問題時(shí),要注意“還臺為錐”的解題策略.整理ppt-9-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時(shí)鞏固1(1)已知正四棱錐V-ABCD中,底面面積為16,一條側(cè)棱的長為2,則該棱錐的高為

.

(2)如圖所示,在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器中灌進(jìn)一些水,將容器底面一邊BC固定于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜程度的不同,以下命題:①水的形狀成棱柱狀;②水面EFGH的面積不變;③A1D1始終與水面EFGH平行.其中正確命題的序號是

.

6

①③

整理ppt-10-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解析:(1)如圖,取正方形ABCD的中心O,連接VO,AO,則VO就是正四棱錐V-ABCD的高.所以正四棱錐V-ABCD的高為6.

整理ppt-11-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)題圖所示為水面的三種不同形狀,①中形狀顯然為棱柱,②為以四邊形ABFE和四邊形DCGH為兩個(gè)底面,其他為側(cè)面的棱柱,③為以△BEF和△CHG為底面,其他面為側(cè)面的棱柱,故①正確;水面的形狀會(huì)隨傾斜程度的不同而不同.如①②中水面形狀均為矩形,但邊長不同,其面積也不同,故②不正確;因?yàn)樗嬖谶\(yùn)動(dòng)過程中保持與邊BC平行,而BC與A1D1平行,故A1D1始終與水面EFGH平行,則③正確,故正確命題的序號是①③.整理ppt-12-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三幾何體的表面積與體積【例2】(1)(2018天津,理11)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為

.

(2)(2019天津,理11)已知四棱錐的底面是邊長為

的正方形,側(cè)棱長均為

.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為

.

整理ppt-13-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三分析推理(1)根據(jù)四棱錐的由來和正方體的結(jié)構(gòu)特征,首先確定四棱錐底面EFGH的性質(zhì),求出其面積,四棱錐的高等于正方體棱長的一半,然后代入錐體體積公式求解即可;(2)首先根據(jù)圓柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及相互關(guān)系,利用相似關(guān)系確定圓柱的底面半徑和高,然后代入體積公式求解即可.整理ppt-14-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-15-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法1.求幾何體體積問題,可以多角度、多方位地考慮問題.在求三棱錐體積的過程中,等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法,轉(zhuǎn)換底面的原則是使其高易求,常把底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體變?yōu)橐?guī)則幾何體,易于求解.整理ppt-16-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時(shí)鞏固2(1)(2019湖南長沙一中一模)一個(gè)封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時(shí),如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為(

)B整理ppt-17-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(

)C整理ppt-18-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解析:(1)正方體的面對角線長為2,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,即最大水面高度為,故選B.(2)由題意可得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)圓錐.整理ppt-19-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三球與多面體的切接問題【例3】(1)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(

)(2)(2019全國Ⅰ,理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(

)分析推理(1)當(dāng)球的體積最大時(shí),它與直三棱柱的若干個(gè)面相切,根據(jù)底面直角三角形及三棱柱的高,進(jìn)而確定球的體積的最大值;(2)根據(jù)已知條件,確定三棱錐中各棱之間的關(guān)系,在三角形中利用余弦定理求出邊長,從而求得球的直徑,代入體積公式求解.BD整理ppt-20-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解析:(1)由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個(gè)面相切.整理ppt-21-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)設(shè)PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),整理ppt-22-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三故選D.整理ppt-23-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法多面體與球接、切問題的求解方法:(1)涉及球與棱柱、棱錐的相切、接問題時(shí),一般先過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(如接、切點(diǎn)或線)作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系或畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程組求解.(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,則一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體,根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.整理ppt-24-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時(shí)鞏固3(1)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為(

)(2)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為9

,則三棱錐D-ABC體積的最大值為(

)BB整理ppt-25-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解析:(1)由題意可知球心即為圓柱體的中心,畫出圓柱的軸截面如圖所示,整理ppt-26-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-27-核心歸納預(yù)測演練整理ppt-28-核心歸納預(yù)測演練1.已知圓錐的高為3,底面半徑長為4,若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等,則該球的半徑長為(

)A.5 B.C.9 D.3B解析:∵圓錐的底面半徑r=4,高h(yuǎn)=3,∴圓錐的母線l=5,∴圓錐側(cè)面積S=πrl=20π.整理ppt-29-核心歸納預(yù)測演練2.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(

)A.π B.C.2π D.3πC解析:依題意,作出圓錐與球的軸截面,如圖所示,設(shè)球的半徑為r,易

整理ppt-30-核心歸納預(yù)測演練3.(2019遼寧沈陽質(zhì)監(jiān)三)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長都相等,其外接球的表面積是4π,則其側(cè)棱長為(

)B解析:三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球.因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e是4π,所以球的半徑為1,所以正方體的對角線的長為2,整理ppt-31-核心歸納預(yù)測演練4.(2019湖南邵陽聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC底面的3個(gè)頂點(diǎn)A,B,C在球O的同一個(gè)大圓上,且△ABC為正三角形,P為該球面上的點(diǎn),若三棱錐P-ABC體積的最大值為2,則球O的表面積為(

)A.12π B.16π C.32π D.64πB整理ppt-32-核心歸納預(yù)測演練解析:正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上.因?yàn)轭}目中涉及體積最大值,所以△ABC的中心就是球心O,當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí),PO是球的半徑,也是正三棱錐的高,設(shè)為R,整理ppt-33-核心歸納預(yù)測演練5.如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

.

整理ppt-34-核心歸納預(yù)測演練6