2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案一試一、選擇題（每小題6分，共36分）1．函數(shù)（A）0在上的最小值是（）。（B）1（C）2（D）32．設（A），，若，則實數(shù)的取值范圍為（）。（D）（B）（C）3．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望為（）。（A）（B）（C）（D）4．若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564cm2，則這三個正方體的體積之和為（）。（A）764cm3或586cm3（C）586cm3或564cm3（B）764cm3（D）586cm35．方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為（）。（A）16．設（B）2（C）3（D）4的內角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（）。（A）（C）（B）（D）二、填空題（每小題9分，共54分）7．設，其中，則為實數(shù)，，，，若.8．設的最小值為，則.9．將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有種．10．設數(shù)列11．設的前項和滿足：，，則通項=．是定義在上的函數(shù)，若，，且對任意，則，滿足=.12．一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體容器內可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是.三、解答題（每小題20分，共60分）13．已知函數(shù)的圖像與直線有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證：．14．解不等式．15．如圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內切于，求面積的最小值．解答1.當時，，因此，當且僅當時取等號．而此方程有解，因此在上的最小值為2．故選C.2.因為有兩個實根，，故等價于且，即且，解之得．故選D。3.方法一：依題意知，的所有可能值為2、4、6.設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．若該輪結束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有，，，故．故選B。方法二：依題意知，的所有可能值為2、4、6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．由獨立性與互不相容性得，，，因此．故選B。4.設這三個正方體的棱長分別為，則有，即。不妨設．，從而，．故，只能取9、8、7、6若若，則，易知，，，得一組解，即．，則．但，從而或5．若，則無解；若，則無解．因此c=8時無解．若若，則，有唯一解，．，則，此時，即。故，但，所以，此時無解．綜上，共有兩組解或，體積為（cm3）或（cm3）。故選A。5.若若，則解得或．，則由得①由得．②將②式代入得．③由①式得，代入③式化簡得，由②式得.易知無有理數(shù)根，故，由①式得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或故選B。的公比為，則6.設，而．因此，只需求的取值范圍．因為成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構成三角解得形的三邊，必須且只需且．即有不等式組即從而，因此所求的取值范圍是．故選C。7.由題意知，由，得，，因此，．8.，(1)(2)時，當時取最小值；時，當時取最小值1；(3)又故時，當時取最小值．或時，的c不能為，，，解得(舍去)．9.方法一：用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用表示名額．如表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額．若把每個“”與每個“”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“｜”，故不同的分配方法相當于(個)位置（兩端不在內）被2個“｜”占領的一種“占位法”．“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“｜”，故有(種)．又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222(種)．方法二：設分配給3個學校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：．又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配