初等模型課件

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2雙層玻璃窗的功效2.3量綱分析與無量綱化2.1公平的席位分配系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因學生轉系，三系人數為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數量指標人數席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=51）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q值方法計算，三系用Q值方法重新分配21個席位按人數比例的整數部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系

qi=Npi/P不全為整數時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！2d墻室內T1室外T2dd墻l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數為常數建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數2.2雙層玻璃窗的功效dd墻l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導系數k2~空氣的熱傳導系數建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.3量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度l的量綱記L=[l]質量m的量綱記M=[m]時間t的量綱記T=[t]動力學中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導出量綱加速度a的量綱[a]=LT-2力f的量綱[f]=LMT-2引力常數k的量綱[k]對無量綱量，[]=1(=L0M0T0)2.9.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系例：單擺運動lmgm求擺動周期t的表達式設物理量t,m,l,g之間有關系式1,2,3為待定系數，為無量綱量(1)的量綱表達式對比單擺運動中t,m,l,g的一般表達式y(tǒng)1~y4為待定常數,為無量綱量設f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,2,…,m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r個基本解，記作為m-r個相互獨立的無量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3

F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f)=0等價為得到阻力f的顯式表達式F=0

未定F(

1,2,…,m-r)=0與f(q1,q2,,qm)=0等價量綱分析法的評注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構造結果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關重要的基本量綱個數n;選哪些基本量綱有目的地構造Ay=0的基本解方法的普適性函數F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識2.9.2量綱分析在物理模擬中的應用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(f1未知，其他已知)注意：二者的相同2.9.3無量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時間t的變化規(guī)律t=0時x=0,火箭質量m1,星球質量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個獨立參數用無量綱化方法減少獨立參數個數[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨立參數r,v,g的量綱用參數r,v,g的組合,分別構造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡化令1）2）3）的共同點只含1個參數——無量綱量解重要差別考察無量綱