初中數(shù)學(xué)湘教版八年級下冊第1章直角三角形（全國一等獎）

第3課時(shí)勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形；(重點(diǎn))2．靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：將一根長繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后如圖那樣用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角．你知道這是什么道理嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的逆定理【類型一】勾股數(shù)判斷下列幾組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是()A．1，eq\r(2)，eq\r(3)B．8，15，17C．7，14，15D.eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，1解析：選項(xiàng)A不是，因?yàn)閑q\r(2)和eq\r(3)不是正整數(shù)；選項(xiàng)B是，因?yàn)?2＋152＝172，且8、15、17是正整數(shù)；選項(xiàng)C不是，因?yàn)?2＋142≠152；選項(xiàng)D不是，因?yàn)閑q\f(3,5)與eq\f(4,5)不是正整數(shù)．故選B.方法總結(jié)：勾股數(shù)必須滿足：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)；②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．【類型二】判斷三角形的形狀已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.試判斷△ABC的形狀．解析：可先確定a，b，c的值，然后再結(jié)合勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．解：由平方數(shù)的非負(fù)性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法總結(jié)：此題主要依據(jù)“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0”這一性質(zhì)來確定a，b，c的值．該知識點(diǎn)在解題時(shí)會經(jīng)常用到，應(yīng)注意掌握．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題【類型三】利用勾股定理逆定理解決與角有關(guān)的問題在如圖的方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都是方格線的交點(diǎn)，則三角形ABC的外角∠ACD的度數(shù)等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故選B.方法總結(jié)：在網(wǎng)格圖中求三角形的角度時(shí)可以運(yùn)用勾股定理和一些特殊角的邊角關(guān)系來解答，比如在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半，45°的直角三角形中兩直角邊相等．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題【類型四】運(yùn)用勾股定理的逆定理解決面積問題如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四邊形ABCD的面積．解析：連接AC，根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理的逆定理可證△ABC和△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將兩直角三角形的面積求出來，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．解：連接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×6×8＋eq\f(1,2)×10×24＝144.方法總結(jié)：將求四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)直角三角形面積和的問題，解題時(shí)要利用題目信息構(gòu)造出直角三角形，如角度，三邊長度等．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題探究點(diǎn)二：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，南北向MN為我國領(lǐng)海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東為公海，上午9時(shí)50分，我國反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以13海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇B距離C艇12海里，若走私艇C的速度不變，最早會在什么時(shí)候進(jìn)入我國領(lǐng)海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距離即可得出走私艇所用的時(shí)間，即可得出走私艇何時(shí)能進(jìn)入我國領(lǐng)海．所以現(xiàn)在的問題是得出走私艇的距離，根據(jù)題意，CE即為走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均為直角三角形，可分別解這兩個(gè)直角三角形即可得出．解：設(shè)MN與AC相交于E，則∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C進(jìn)入我國領(lǐng)海的最短距離是CE，由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BE，得BE＝eq\f(60,13)(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(eq\f(60,13))2＝122，得CE＝eq\f(144,13)(海里)，∴eq\f(144,13)÷13＝eq\f(144,169)≈0.85(h)＝51(min)，9時(shí)50分＋51分＝10時(shí)41分．答：走私艇C最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國領(lǐng)海．方法總結(jié)：本題考查了對題意的準(zhǔn)確把握和使用勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出幾何圖形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題三、板書設(shè)計(jì)1．勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形2．利用勾股