復(fù)變函數(shù)-復(fù)變函數(shù)5泰勒級(jí)數(shù)課件

§3泰勒級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周,它與它的內(nèi)部全含于D,把它記作K,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz1課件按柯西積分公式,有且z0Kzrz2課件由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).q與積分變量z無關(guān),且0q<1.z0Kzrz3課件圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|.5課件yz0ax任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù),這被稱作直接展開法6課件例如,求ez在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:7課件例2求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy9課件推論1：

10課件注：推論2：

推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)11課件而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.13課件§4洛朗級(jí)數(shù)一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來表示.但是這種情況在實(shí)際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:14課件只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對(duì)負(fù)冪項(xiàng),如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當(dāng)|z-z0|>R1時(shí),即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.15課件在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)?先看下例.17課件其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開為z-1的冪級(jí)數(shù):1Oxy18課件定理

設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.[證]設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn),在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2,K2的半徑R大于K1的半徑r,且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz019課件因此有21課件如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C,則根據(jù)閉路變形原理,這兩個(gè)式子可用一個(gè)式子來表示:Cz0R1R222課件稱為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù).一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法去展開,以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開式.23課件先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<2內(nèi)：25課件iii)在2<|z|<+內(nèi):例2把函數(shù)[解]因有26課件特別的，當(dāng)洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式（即可利