初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)第2章特殊三角形2．8直角三角形全等的判定(h)

2．8直角三角形全等的判定(第1題)1．如圖，∠C＝∠D＝90°.請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，能直接判定△ABD≌△BAC，并在添加的條件后的()內(nèi)寫出判定全等的依據(jù)．(1)AD＝BC(HL)；(2)BD＝AC(HL)；(3)∠DAB＝∠CBA(AAS)；(4)∠DBA＝∠CAB(AAS)．2．在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三角形具有的判定方法是(D)A．SSSB．SASC．ASAD．HL3．如圖，P是AD上一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F.若PE＝PF，∠CAD＝20°，則∠BAD＝(B)(第3題)A.10°B.20°C.30°D.40°4．下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是(A)A．一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等B．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等D．斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等(第5題)5．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，則圖中全等的直角三角形共有(C)A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)(第6題)6．如圖，BF⊥AC，CE⊥AB，且BD＝CD，請(qǐng)說明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．【解】∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED和△CFD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BED＝∠CFD，,∠BDE＝∠CDF，,BD＝CD，))∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF.又∵點(diǎn)D在∠BAC內(nèi)部，且DF⊥AC，DE⊥AB，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．7．如圖，已知AF平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是D，E，線段DC，BE交于點(diǎn)F.求證：(1)AD＝AE；(2)△ACD≌△ABE.(第7題)【解】(1)∵AF平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴FD＝FE，∠ADF＝∠AEF＝90°.在Rt△ADF和Rt△AEF中，∵AF＝AF，F(xiàn)D＝FE，∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)．∴AD＝AE.(2)在△ACD和△ABE中，∵∠DAC＝∠EAB，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴△ACD≌△ABE(ASA)．(第8題)8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的長；(2)求△ADB的面積．【解】(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(第9題)9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高線AD和BE的交點(diǎn)，CD＝4，則線段DF的長度為(B)A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)10．如圖①，已知CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，AD＝BC，AE＝BF.(1)求證：BC∥AD；(2)若將△ABD沿AB翻折180°，如圖②，試說明AC＝DB.(第10題)【解】(1)∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.又∵AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCE(HL)，∴∠DAB＝∠CBA，∴BC∥AD.(2)與(1)同理可得Rt△ADF≌Rt△BCE(HL)，∴∠DAB＝∠CBA.又∵AB＝BA，BC＝AD，∴△ACB≌△BDA(SAS)，∴AC＝BD.(第11題)11．如圖，已知BN為∠ABC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB＋BC＝2BD.求證：∠BAP＋∠BCP＝180°.【解】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E.∵BN平分∠ABC，點(diǎn)P在BN上，PD⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PD，∠BEP＝∠BDP＝90°.在Rt△PBE和Rt△PBD中，∵PB＝PB，PE＝PD，∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝BD＋CD，AB＝BE－AE，∴BE－AE＋BD＋CD＝2BD，∴AE＝CD.在△PEA和△PDC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,∠PEA＝∠PDC，,AE＝CD，))∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PAE＝∠PCD，即∠PAE＝∠BCP.∵∠BAP＋∠PAE＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.12．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：(1)△ACE≌△BCD；(2)AD2＋BD2＝DE2.(第12題)【解】(1)∵△ACB與△ECD均為等腰Rt△，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE，即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACB是等腰Rt△，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，AE＝BD.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2，即AD2＋BD2＝DE2.13．(1)如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高線AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)；(2)如圖②，在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN＝45°.將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連結(jié)NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(第13題)(3)在圖①中，連結(jié)BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N.若EG＝4，GF＝6，BM＝3eq\r(2)，求AG，MN的長．【解】(1)∵四邊形ABCD為正方形，AG為△AEF的高線，∴∠B＝∠AGE＝∠BAD＝∠D＝∠C＝90°.在Rt△ABE和Rt△AGE中，∵AB＝AG，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE＝∠GAE.同理，∠GAF＝∠DAF.∴∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD＝45°.(2)MN2＝ND2＋DH2.理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AM＝AH，∠BAM＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°.∴∠HAN＝∠MAN.又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN.∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝∠ABD＋∠ADB＝90°，(第13題解)∴HN2＝ND2＋DH2.∴MN2＝ND2＋DH2.(3)如解圖，由(1)知，BE＝EG，DF＝GF.設(shè)AG＝x，則CE＝x－4，CF＝x－6.∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝102，解得x1＝12，x2＝－2(舍去)．∴AG＝12.∴BD＝eq\r