第十二章超靜定問題

第十二章超靜定問題Staticallyindeterminateproblem§12–2彎曲超靜定問題第十二章超靜定問題§12-1拉壓超靜定問題§12–4對(duì)稱與反對(duì)稱問題§12–3用力法求解超靜定問題一、超靜定問題（靜不定問題）1、概念

只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問題.2、分類：外力靜不定

§12-1拉壓超靜定問題ABCACDB外內(nèi)靜不定ACDB內(nèi)力靜不定二、超靜定問題求解方法1、變形比較法（拉壓、彎曲超靜定）2、力法3、位移法4、三彎矩方程3、超靜定的次數(shù)

未知力數(shù)超過獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù).n=全部未知力的個(gè)數(shù)-獨(dú)立平衡方程的數(shù)目三、利用變形比較法求解拉壓超靜定問題的步驟(1)確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程(2)根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程(3)將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程(4)聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解

例題1設(shè)1、2、3三桿用絞鏈連結(jié)，如圖所示,l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3桿的長(zhǎng)度l3

,橫截面積A3

,彈性模量E3

.試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力.

CABDF123xyFAN2N3N1解：（1）列平衡方程這是一次超靜定問題﹗（2）變形幾何方程由于問題在幾何，物理及受力方面都是對(duì)稱，所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起﹗CABDF123CABD123A'xyFAN2N3N1

變形幾何方程為A123┕┕CABDF123CABD123A'A'(3)補(bǔ)充方程物理方程為(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解CABDF123A123┕┕A'例題2圖示平行桿系1、2、3懸吊著橫梁AB(AB的變形略去不計(jì))，在橫梁上作用著荷載F。如桿1、2、3的截面積、長(zhǎng)度、彈性模量均相同，分別為A，l，E.試求1、2、3三桿的軸力N1，N2，N3.ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：(1)平衡方程這是一次超靜定問題，且假設(shè)均為拉桿.(2)變形幾何方程物理方程ABCF3aal21ABC321

(3)補(bǔ)充方程ABCF3aal21ABC321(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解（受拉）（受壓）（受拉）圖示AB桿，實(shí)際長(zhǎng)度為l+，將該桿放入長(zhǎng)度為l的裝置中時(shí)，桿將處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸向壓力。這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力.與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力.四、裝配應(yīng)力ABlRBABl

例題3兩鑄件用兩根鋼桿1,2連接，其間距為l=200mm.現(xiàn)要將制造得過長(zhǎng)了e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間，并保持三根桿的軸線平行且等間距a.試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力.已知：鋼桿直徑d=10mm，銅桿橫截面積為2030mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa.鑄件很厚，其變形可略去不計(jì)，故可看作剛體.ABC12aaB1A1C1l3C1C'e(1)變形幾何方程為l3C1eC''l3ABC12B1C1A1l1l2=aax(3)補(bǔ)充方程(4)平衡方程(2)物理方程C'A'B'FN3FN1FN2聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,即可得裝配內(nèi)力，進(jìn)而求出裝配應(yīng)力.五、溫度應(yīng)力例題4圖示等直桿AB的兩端分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承的距離（即桿長(zhǎng)）為l，桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為

E，線膨脹系數(shù)為

.試求溫度升高T時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力。溫度變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力，但在超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或全部約束，溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力，與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力(thermalstresses）或溫度應(yīng)力(temperaturestresses)ABl解

這是一次超靜定問題變形相容條件是，桿的總長(zhǎng)度不變.即桿的變形為兩部分，即由溫度升高引起的變形lT

以及與軸向壓力FR相應(yīng)的彈性變形

lFAB'lTABlB'ABlFFRAFRB(1)變形幾何方程(3)補(bǔ)充方程(4)溫度內(nèi)力ABlAB'lT(2)物理方程由此得溫度應(yīng)力B'ABlFFRAFRB基本概念

1.超靜定梁?jiǎn)螒{靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁FABABCFRARBRC

§12-2彎曲超靜定問題2.“多余”約束多于維持其靜力平衡所必需的約束3.“多余”反力“多余”與相應(yīng)的支座反力RBABCFFABRARC4.超靜定次數(shù)超靜定梁的“多余”約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).n=未知力的個(gè)數(shù)-獨(dú)立平衡方程的數(shù)目二、用變形比較法求解超靜定梁的步驟1、畫靜定基建立相當(dāng)系統(tǒng)：將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束,解除多余約束代之以約束反力RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.2、列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的變形協(xié)調(diào)條件ABqqABRB根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：變形幾何方程為

3、列物理方程—變形與力的關(guān)系

查表得qAB將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程4、建立補(bǔ)充方程BARBqABRB補(bǔ)充方程為由該式解得5、求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）qABqABBARBRBRAmA求出該梁固定端的兩個(gè)支反力代以與其相應(yīng)的多余反力偶mA

得基本靜定系.變形相容條件為請(qǐng)同學(xué)們自行完成！取支座A處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束.ABqlABqlmA方法二:幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例5

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）ABqqABRB設(shè)

§12-3用力法求解超靜定問題A1設(shè)推廣得：其中：表示所有的多余約束反力與其在1方向單位位移的乘積；表示外力在1方向的位移。所以有：(正則方程）例6已知P,a求B處的約束反力X1,作內(nèi)力圖。C1ABC（a）xaABC（b）xx2pBaaABPPaaAX1解：(a)(b)彎矩圖例7已知P,a求B處的約束反力X1,X2。BaaAPBaaAPX1X21ABC（b）a1ABC（a）解：(a)(b)(c)（c）ABCPx例8MaaACBX1解:ACB1x2x1MaaACBx1x2利用對(duì)稱性，靜不定次數(shù)可以降低

結(jié)論：對(duì)一個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如果作用的載荷也是對(duì)稱的，那么在對(duì)稱面上，其反對(duì)稱內(nèi)力必為0；如果作用的載荷是反對(duì)稱的，那么在對(duì)稱面上，其對(duì)稱內(nèi)力必為0。對(duì)稱內(nèi)力：軸力N，彎矩M反對(duì)稱內(nèi)力：剪力Q，扭矩TPPPPPNMPQP

§12-4對(duì)稱與反對(duì)稱問題例9ABCDpppNNMM兩次對(duì)稱根據(jù)對(duì)稱性N=P/2M=X1C變形協(xié)調(diào)方程：C截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為0。（特殊：此題中C截面的絕對(duì)轉(zhuǎn)角也為零。）P/2C1C()任意截面彎矩方程：方法總結(jié)：結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，作用的荷載兩種，對(duì)稱和反對(duì)稱。變形協(xié)調(diào)方程都是在對(duì)稱面上，此時(shí)必須是相對(duì)位移或相對(duì)轉(zhuǎn)角為0。例10PPaa2aA對(duì)稱截面A截開后，靜不定次數(shù)為1次。A截面延垂直方向相對(duì)位移為0