初中數(shù)學蘇科版八年級上冊第2章軸對稱圖形“黃岡杯”一等獎

《第2章軸對稱圖形》一、選擇題1．下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．到三角形三個頂點距離相等的是（）A．三邊高線的交點 B．三條中線的交點C．三條垂直平分線的交點 D．三條內(nèi)角平分線的交點3．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，且∠A=78°，∠C′=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）5．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠D=°．6．如圖，△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點O，過O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，則DE等于cm．7．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是．8．點P在線段AB的垂直平分線上，PA=10，則PB=．9．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．則點D到AB邊的距離為．10．如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為cm．三、解答題11．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．證明：BD垂直平分AE．12．已知：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別是AC、BD的中點．求證：EF⊥BD．13．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關系？14．有一條道路和兩個養(yǎng)雞場．（1）把這條道路看成一條直線，兩個養(yǎng)雞場分別看成點A、B，點A、B與直線有多少種不同的位置關系？畫出可能位置的圖形．（2）現(xiàn)要在道路旁建一座冷藏庫，冷藏庫應建在何處，可使兩個養(yǎng)雞場到該冷藏庫的距離和最短？

《第2章軸對稱圖形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念知B、C、D都不是軸對稱圖形，只有A是軸對稱圖形．故選A．【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形．2．到三角形三個頂點距離相等的是（）A．三邊高線的交點 B．三條中線的交點C．三條垂直平分線的交點 D．三條內(nèi)角平分線的交點【考點】線段垂直平分線的性質．【分析】根據(jù)題意得出到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，畫出圖形后根據(jù)線段垂直平分線定理得出PA=PC，PC=PB，推出PA=PC=PB即可．【解答】解：到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，理由是：∵P在AB的垂直平分線EF上，∴PA=PB，∵P在AC的垂直平分線MN上，∴PA=PC，∴PA=PC=PB，即P是到三角形三個頂點的距離相等的點．故選C．【點評】本題考查了線段垂直平分線定理，注意：線段垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，而三角形三個角平分線的交點到三角形三邊的距離相等．3．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，且∠A=78°，∠C′=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°【考點】軸對稱的性質；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由對稱得到∠C=∠C′=48°，由三角形內(nèi)角和定理得∠B=54°，由軸對稱的性質知∠B=∠B′=54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°∵△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∴∠B=∠B′=54°．故選B．【點評】本題考查軸對稱的性質及三角形內(nèi)角和定理；把已知條件轉化到同一個三角形中利用內(nèi)角和求解是正確解答本題的關鍵．4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質；翻折變換（折疊問題）．【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折疊前后圖形的形狀和大小不變，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，從而求出∠A′DB的度數(shù)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故選：D．【點評】本題考查圖形的折疊變化及三角形的外角性質．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．解答此題的關鍵是要明白圖形折疊后與折疊前所對應的角相等．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）5．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠D=35°．【考點】平行線的性質；角平分線的定義．【專題】計算題．【分析】根據(jù)平行線的性質先求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質及平行線的性質求得∠D的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∠A=110°，∴∠ABC=180﹣∠A=70°；又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°；∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC=35°．故答案為：35．【點評】此題考查了角平分線的性質及平行線的性質，比較簡單．6．如圖，△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點O，過O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，則DE等于5c【考點】等腰三角形的判定與性質．【專題】計算題．【分析】根據(jù)∠B，∠C的平分線相交于點O，可得出∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，再由DE∥BC，得出∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，從而得出∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，則OD=BD，OE=CE，從而得出DE=BD+EC．【解答】解：∵∠B，∠C的平分線相交于點O，∴∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴OD=BD，OE=CE，∴DE=OD+OE=BD+EC，∵BD+EC=5cm，∴DE=5cm．故答案為5．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，以及平行線的性質和角平分線的定義，是基礎知識要熟練掌握．7．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是10．【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質．【分析】由正方形性質的得出B、D關于AC對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最?。咚倪呅蜛BCD是正方形，∴B、D關于AC對稱，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案為：10．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質，解此題通常是利用兩點之間，線段最短的性質得出．8．點P在線段AB的垂直平分線上，PA=10，則PB=10．【考點】線段垂直平分線的性質．【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質得出PA=PB，即可求出答案．【解答】解：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB，∵PA=10，∴PB=10，故答案為：10．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．9．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．則點D到AB邊的距離為6．【考點】角平分線的性質．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質得出DE=CD，即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AD=10，AC=8，由勾股定理得：CD==6，過D作DE⊥AB于E，∵，DE⊥AB，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，故答案為：6．【點評】本題考查了角平分線性質和勾股定理的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．10．如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為6c【考點】線段垂直平分線的性質．【專題】數(shù)形結合．【分析】根據(jù)中垂線的性質，可得DC=DB，繼而可確定△ABD的周長．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案為：6．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，注意掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．三、解答題11．（2023秋?海陵區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．證明：BD垂直平分AE．【考點】線段垂直平分線的性質；角平分線的性質．【專題】證明題．【分析】根據(jù)已知和角平分線性質求出AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，證△BAD≌△BED，推出AB=BE，根據(jù)等腰三角形的性質得出即可．【解答】證明：∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB=BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE，【點評】本題考查了角平分線性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，解此題的關鍵是求出AB=BE．12．（2023秋?無錫校級期末）已知：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別是AC、BD的中點．求證：EF⊥BD．【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】連接BE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=DE=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質證明．【解答】證明：如圖，連接BE、DE，∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點，∴BE=DE=AC，∵F是BD的中點，∴EF⊥BD．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．13．（2023秋?南通期末）（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關系？【考點】等腰三角形的性質；三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因為BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）先設∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因為BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度；（3）可設∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE=∠BAC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E=∠ACB=°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）不改變．設∠CAE=x，∵CA=CE，∴∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=x+45°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E，=180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD，=（90°+x）﹣（x+45°）=45°；（3）∠DAE=∠BAC．理由：設∠CAE=x，∠BAD=y