第四章量綱分析

流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)量綱分析和相似原理對(duì)工程實(shí)際中遇到的流體力學(xué)問(wèn)題，通常的方法有理論分析、數(shù)值模擬和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。由于邊界條件的復(fù)雜性，直到目前為止，通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬只能計(jì)算一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，大量的問(wèn)題還是要靠實(shí)驗(yàn)來(lái)解決，或是多種方法同時(shí)并用，相互驗(yàn)證，互為補(bǔ)充。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)是解決流體力學(xué)工程問(wèn)題的一個(gè)重要手段，同時(shí)也是我們理解流體力學(xué)現(xiàn)象、驗(yàn)證流體力學(xué)假設(shè)、發(fā)展流體力學(xué)理論的重要手段。另一方面，實(shí)驗(yàn)要在理論指導(dǎo)下進(jìn)行，否則將是盲目的。用什么理論指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，用什么準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型，用什么參數(shù)整理成果，不僅對(duì)于流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究是重要的，而且對(duì)于如何理解、評(píng)價(jià)、運(yùn)用實(shí)驗(yàn)成果，及發(fā)展實(shí)驗(yàn)技術(shù)也是很重要的。本章內(nèi)容量綱和諧原理量綱分析法流動(dòng)相似原理

模型實(shí)驗(yàn)量綱和諧原理量綱和單位無(wú)量綱量量綱和諧原理量綱和單位自然現(xiàn)象的根本特點(diǎn)是客觀性。描述和研究自然現(xiàn)象必然要進(jìn)行量化表示，選擇一組狀態(tài)變量，從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)具有客觀性。量化過(guò)程中由于度量標(biāo)準(zhǔn)的不同，引入了主觀性。高斯原則量綱和單位在同一度量體系下從狀態(tài)空間中的一點(diǎn)移向另一點(diǎn)的客觀變化稱為實(shí)質(zhì)變化。實(shí)質(zhì)變化度量變化在狀態(tài)空間的給定點(diǎn)上，由于度量體系的變化導(dǎo)致的主觀性數(shù)量變化稱為度量變化。量綱和單位度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，如長(zhǎng)度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚鲉挝籙nit量綱Dimension是指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類別，如長(zhǎng)度量綱為L(zhǎng)?！百|(zhì)”的表征量綱和單位基本量綱具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位制中有7個(gè)基本量綱，2個(gè)輔助基本量綱，流體力學(xué)中常用的基本量綱有3～4個(gè)。量綱和單位7個(gè)基本量綱長(zhǎng)度m（米）L質(zhì)量kg（千克）M時(shí)間s（秒）T溫度K（開爾文）Θ

電流A（安培）光強(qiáng)Cd（坎德拉）物質(zhì)的量mol（摩爾）2個(gè)輔助基本量綱平面角rad（弧度）立體角Sr（球面度）量綱和單位誘導(dǎo)量綱面積[A]=L2

速度[V]=LT-1加速度[a]=LT-2

力[F]=MLT-2

動(dòng)力粘度[μ]=([F]/L2)/([V]/L)=ML-1T-1電壓[U]=[P]/I=[W]/TI=[F]L/TI=ML2T-3I-1由基本量綱推導(dǎo)出來(lái)的其他物理量的量綱。量綱和單位力學(xué)中的量綱公式

幾何學(xué)量綱

運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱

動(dòng)力學(xué)量綱無(wú)量綱量無(wú)量綱量（純數(shù)）量綱可以簡(jiǎn)化為1的物理量，如雷諾數(shù)。

無(wú)量綱量的數(shù)值大小與所采用的單位無(wú)關(guān)無(wú)量綱量可以進(jìn)行超越函數(shù)的計(jì)算量綱和諧原理

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。量綱和諧原理只有量綱相同的物理量才能進(jìn)行加減。不同量綱的物理量不能進(jìn)行加減運(yùn)算，但可以進(jìn)行乘除運(yùn)算。各物理量可以通過(guò)乘除運(yùn)算成為量綱和諧的方程中的一項(xiàng)。一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)?？捎脕?lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。量綱和諧原理重要性量綱分析法瑞利法只適用于簡(jiǎn)單問(wèn)題。布金漢定理（Π定理）具有普遍適用性。瑞利法瑞利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用。確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量將任一物理量寫成其它物理量的指數(shù)乘積形式根據(jù)量綱和諧原理，確定物理量的指數(shù)a、b、···、m，即可得到各物理量之間的關(guān)系式。例題4-1已知作用在圓周運(yùn)動(dòng)物體上的離心力F與物體的質(zhì)量m、速度V和圓周半徑R有關(guān)，試用瑞利法給出離心力F的表達(dá)式。（1）根據(jù)已知條件，與該物理現(xiàn)象有關(guān)的物理量共有4個(gè)（2）根據(jù)題意，需要研究離心力F的表達(dá)式，首先將F表示為其它物理量的指數(shù)乘積形式（3）寫出量綱表達(dá)式（4）選取L、T、M為基本量綱，用基本量綱來(lái)表示量綱表達(dá)式中各物理量的量綱（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各量綱指數(shù)（6）代入指數(shù)乘積形式得例題4-2由實(shí)驗(yàn)得知流體在圓管作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)，所通過(guò)的流量Q與流體的動(dòng)力粘度μ，管道半徑r0、管道長(zhǎng)度l和管段兩端的壓強(qiáng)差Δp有關(guān)。且根據(jù)實(shí)測(cè)資料分析，已知Q與l成反比，與Δp成正比，試用瑞利法推求圓管層流的流量計(jì)算公式。（1）根據(jù)已知條件，與該物理現(xiàn)象有關(guān)的物理量共有5個(gè)（2）根據(jù)題意，需要研究流量Q的表達(dá)式，首先將Q表示為其它物理量的指數(shù)乘積形式（3）寫出量綱表達(dá)式（4）選取L、T、M為基本量綱，用基本量綱來(lái)表示量綱表達(dá)式中各物理量的量綱（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各量綱指數(shù)（6）代入指數(shù)乘積形式得Π定理Π定理若某一物理過(guò)程包含有n個(gè)物理量，可表示為其中有m個(gè)基本物理量，則該物理過(guò)程可由n個(gè)物理量所構(gòu)成的n-m個(gè)無(wú)量綱組合量的關(guān)系式來(lái)描述Π定理Π定理的運(yùn)用步驟（1）確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量（2）從n個(gè)物理量中選取m個(gè)獨(dú)立的基本物理量量綱獨(dú)立條件Π定理（3）將m個(gè)基本物理量依次與其它（n-m）個(gè)非基本量組合成（n-m）個(gè)無(wú)量綱π

項(xiàng)（4）寫出各π

項(xiàng)的量綱表達(dá)式Π定理（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各π

項(xiàng)的指數(shù)（6）將指數(shù)代入寫出描述該物理過(guò)程的關(guān)系式，或?qū)⒛骋沪?/p>

項(xiàng)表達(dá)與其它π

項(xiàng)的關(guān)系式例題4-3試用Π

定理推求圓球繞流阻力D的表達(dá)式。（1）根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)資料可知，與該物理現(xiàn)象有關(guān)的物理量共有5個(gè)（2）選取3個(gè)獨(dú)立的基本物理量、d、V量綱獨(dú)立條件量綱獨(dú)立（3）列出n-3=5-3=2個(gè)無(wú)量綱π

項(xiàng)（4）寫出各π

項(xiàng)的量綱表達(dá)式（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各π

項(xiàng)的指數(shù)（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各π

項(xiàng)的指數(shù)（6）將指數(shù)代入寫出描述該物理過(guò)程的關(guān)系式例題4-4試用Π

定理分析氣體管路壓強(qiáng)損失Δp的表達(dá)式。（1）根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)資料可知，與該物理現(xiàn)象有關(guān)的物理量共有7個(gè)（2）選取3個(gè)獨(dú)立的基本物理量、d、V量綱獨(dú)立條件量綱獨(dú)立（3）列出n-3=7-3=4個(gè)無(wú)量綱π

項(xiàng)（4）寫出各π

項(xiàng)的量綱表達(dá)式（5）根據(jù)量綱和諧原理求出各π

項(xiàng)的指數(shù)（6）將指數(shù)代入寫出描述該物理過(guò)程的關(guān)系式流動(dòng)相似原理模型試驗(yàn)根據(jù)相似原理，將需要進(jìn)行試驗(yàn)的實(shí)際流動(dòng)區(qū)域制作成相似的小比尺的模型，根據(jù)模型試驗(yàn)結(jié)果，推測(cè)原型可能發(fā)生的現(xiàn)象。流動(dòng)相似原理關(guān)鍵問(wèn)題如何設(shè)計(jì)模型，使模型與原型流動(dòng)相似如何把模型試驗(yàn)中得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果換算到原型力學(xué)相似力學(xué)相似幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件和邊界條件的相似力學(xué)相似幾何相似原型和模型的幾何形狀相似，即兩個(gè)流場(chǎng)相應(yīng)的線段長(zhǎng)度成比例，相應(yīng)的夾角相等。下標(biāo)p：prototype（原型）下標(biāo)m：model（模型）力學(xué)相似運(yùn)動(dòng)相似兩個(gè)流場(chǎng)相應(yīng)點(diǎn)的速度方向相同，大小成比例力學(xué)相似運(yùn)動(dòng)相似平均流速比尺力學(xué)相似運(yùn)動(dòng)相似加速度比尺力學(xué)相似動(dòng)力相似在兩個(gè)流場(chǎng)的相應(yīng)點(diǎn)上，其質(zhì)點(diǎn)所受到的各種作用力均維持一定的比例關(guān)系。力學(xué)相似初始條件和邊界條件的相似初始條件相似兩個(gè)流體相應(yīng)的邊界條件相同，包含幾何，運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力幾方面。只適用于非恒定流。邊界條件相似力學(xué)相似流動(dòng)相似的含義幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)。動(dòng)力相似是決定兩個(gè)流動(dòng)相似的主導(dǎo)因素。運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。凡流動(dòng)相似，必須滿足幾何相似、動(dòng)力相似、運(yùn)動(dòng)相似、初始條件和邊界條件相似。相似準(zhǔn)則流體質(zhì)點(diǎn)受力企圖維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力重力G、粘滯力T、動(dòng)水壓力P慣性力I企圖改變?cè)羞\(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力相似準(zhǔn)則慣性力比尺企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力F的比尺相似準(zhǔn)則根據(jù)動(dòng)力相似牛頓數(shù)牛頓相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則主要相似準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則：粘滯力作用為主弗勞德準(zhǔn)則：重力作用為主歐拉準(zhǔn)則：流體動(dòng)壓力為主韋伯準(zhǔn)則：表面張力為主柯西準(zhǔn)則：彈性力為主相似準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則（粘滯力相似準(zhǔn)則）相似準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則（粘滯力相似準(zhǔn)則）雷諾準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則弗勞德準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則）相似準(zhǔn)則弗勞德數(shù)弗勞德準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則）弗勞德準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則（壓力相似準(zhǔn)則）相似準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則（壓力相似準(zhǔn)則）歐拉數(shù)歐拉準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則韋伯準(zhǔn)則（表面張力相似準(zhǔn)則）相似準(zhǔn)則韋伯準(zhǔn)則（表面張力相似準(zhǔn)則）韋伯?dāng)?shù)韋伯準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則（彈性力相似準(zhǔn)則）相似準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則（彈性力相似準(zhǔn)則）柯西數(shù)柯西準(zhǔn)則馬赫數(shù)馬赫準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則由定解方程推導(dǎo)相似準(zhǔn)則定義比尺相似準(zhǔn)則將上述比尺代入方程相似準(zhǔn)則方程兩側(cè)乘以若流動(dòng)相似，對(duì)應(yīng)的定解方程必須相似，即上述方程各項(xiàng)前由比尺組成的系數(shù)必須等于1。相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則斯特勞哈爾準(zhǔn)則弗勞德準(zhǔn)則（質(zhì)量力只有重力時(shí)）相似準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ吐傻倪x擇

一般來(lái)說(shuō)模型試驗(yàn)不可能做到完全相似，而只能近似相似，即保證對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似。因此模型律的選擇就是要選擇一個(gè)合適的相似準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行模型設(shè)計(jì)。模型試驗(yàn)雷諾準(zhǔn)則與弗勞德準(zhǔn)則不可能同時(shí)滿足若滿足雷諾準(zhǔn)則模型試驗(yàn)雷諾準(zhǔn)則與弗勞德準(zhǔn)則不可能同時(shí)滿足若滿足弗勞德準(zhǔn)則模型試驗(yàn)雷諾準(zhǔn)則與弗勞德準(zhǔn)則不可能同時(shí)滿足若同時(shí)滿足二者模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)根據(jù)原型要求的試驗(yàn)范圍和現(xiàn)有試驗(yàn)條件選擇長(zhǎng)度比尺根據(jù)對(duì)流體受力的分析，找出主要作用力，從而選擇相應(yīng)的相似準(zhǔn)則，并根據(jù)原型的最大流量計(jì)算模型所需的流量確定模型的幾何邊界模型試驗(yàn)按雷諾準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型試驗(yàn)按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計(jì)例題4-5以1:15的模型在風(fēng)洞中測(cè)定氣球的阻力，原型風(fēng)速為36km/h，問(wèn)風(fēng)洞中的風(fēng)速應(yīng)為多大？若在風(fēng)洞中測(cè)得阻力為687N，問(wèn)原型中阻力為多少？（1）風(fēng)洞中