連續(xù)函數(shù)運算、111閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)分析

一、連續(xù)函數(shù)的運算法則第十節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增

函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注：連續(xù)時，極限與函數(shù)可交換，可換元.例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1例2解解例3.

求解:原式例4.

求解:令則原式說明:當時,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求解:原式說明:若則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點.在點x=1

不連續(xù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:

分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習續(xù)?

反例

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?提示:“反之”不成立.第十節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一節(jié)一、最值定理二、介值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、小結(jié)一、最大值和最小值定理定義:例如,定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證二、介值定理定義:幾何解釋:幾何解釋:MBCAmab證由零點定理,推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點定理,例2證由零點定理,三、小結(jié)四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點不滿足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x