離散型隨機(jī)變量的均值

2．3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

2．3.1離散型隨機(jī)變量的均值1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:則稱E(X)＝______________________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．(2)意義:它反映了離散型隨機(jī)變量取值的__________．(3)性質(zhì):如果X為(離散型)隨機(jī)變量,則Y＝aX＋b(其中a,b為常數(shù))也是隨機(jī)變量,且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi),i＝1,2,3,…,n,E(Y)＝____________＝______________.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平E(aX＋b)aE(X)＋b想一想均值E(X)是一個(gè)常數(shù)還是一個(gè)變量？提示:常數(shù)．做一做1.已知X的分布列為則X的均值為__________．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值做一做2.一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8,則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為__________．解析:∵X～B(3,0.8),∴E(X)＝3×0.8＝2.4.答案:2.4XX～B(n,p)X服從兩點(diǎn)分布E(X)npp(p為成功概率)典題例證技法歸納例1題型探究題型一離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)已知隨機(jī)變量X的分布列為:(1)求E(X);(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．互動(dòng)探究例2某校在全校學(xué)生中開展物理和化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作大比拼活動(dòng),活動(dòng)要求:參加者物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作都必須參加,有50名學(xué)生參加這次活動(dòng),評(píng)委老師對(duì)這50名學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行評(píng)分,每項(xiàng)操作評(píng)分均按等級(jí)采用5分制(只打整數(shù)分),評(píng)分結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:題型二求離散型隨機(jī)變量的均值(1)若隨機(jī)抽取1名參加活動(dòng)的學(xué)生,求“化學(xué)實(shí)驗(yàn)得分為4分且物理實(shí)驗(yàn)得分為3分”的學(xué)生被抽取的概率;(2)從這50名參賽學(xué)生中任取1名,其物理實(shí)驗(yàn)與化學(xué)實(shí)驗(yàn)得分之和為ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望．跟蹤訓(xùn)練例3題型三二項(xiàng)分布的均值【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則其期望值E(X)＝p(p為成功概率)．(2)如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布即X～B(n,p),則E(X)＝np,以上兩特例可以作為常用結(jié)論,直接代入求解,從而避免了繁雜的計(jì)算過程．跟蹤訓(xùn)練3．某電視臺(tái)開展有獎(jiǎng)答題活動(dòng),每次要求答30個(gè)選擇題,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)正確答案,每一題選對(duì)得5分,選錯(cuò)或不選得0分,滿分150分,規(guī)定滿100分拿三等獎(jiǎng),滿120分拿二等獎(jiǎng),滿140分拿一等獎(jiǎng),有一選手選對(duì)任意一題的概率是0.8,則該選手有望能拿到幾等獎(jiǎng)？解:選對(duì)題的個(gè)數(shù)X～B(30,0.8),故E(X)＝30×0.8＝24,由于24×5＝120(分),所以該選手有望能拿到二等獎(jiǎng)．例4題型四均值問題的實(shí)際應(yīng)用某游戲射擊場規(guī)定:①每次游戲射擊5發(fā)子彈;②5發(fā)全部命中獎(jiǎng)勵(lì)40元;命中4發(fā)不獎(jiǎng)勵(lì),也不必付款;命中3發(fā)或3發(fā)以下,應(yīng)付款2元．現(xiàn)有一游客,其命中率為0.5.(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率;(2)求該游客在一次游戲中獲得資金的均值．跟蹤訓(xùn)練4．隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而生產(chǎn)1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤為ξ(單位:萬元)．(1)求ξ的分布列;(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的數(shù)學(xué)期望)．1．隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系2.離散型隨機(jī)變量的分布列和均值雖然都是從整體上和全局上刻畫隨機(jī)變量的,但兩者大不相同,分布列只給出了隨機(jī)變量取所有可能值的概率,而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．隨機(jī)變量的均值樣本的平均值區(qū)別是一常數(shù),不依賴于樣本的抽取是一隨機(jī)變量,隨樣本抽取的不同而變化聯(lián)系隨樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的均值精彩推薦典例展示求離散型隨機(jī)變量的均值

(本題滿分12分)(2015·高考江西卷)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)．游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì)．規(guī)范解答例3(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．跟蹤訓(xùn)練5．運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績,記為ξ.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值．X0～678910P00.20.30.30.2解:(1)ξ的可能取值為7、8、9、10,P(ξ＝7)＝0.04,P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21,P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39,P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0