第9章矩陣位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)（下）主講：肖梅玲Tel容四章**矩陣位移法**結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算結(jié)構(gòu)極限荷載考核平時(shí)作業(yè)、出勤10%中考20%期末考70%1、該課程實(shí)踐性較強(qiáng)，需要同學(xué)多作練習(xí)。2、充分利用多種媒體，重點(diǎn)復(fù)習(xí)。教學(xué)方法和教學(xué)形式建議學(xué)習(xí)方法課堂只能講解重點(diǎn)內(nèi)容，并布置一些重點(diǎn)習(xí)題。同學(xué)們應(yīng)在系統(tǒng)學(xué)習(xí)教材的基礎(chǔ)上盡可能作較多習(xí)題，才能熟練掌握本課程的知識(shí)。

希望同學(xué)們應(yīng)以學(xué)習(xí)教材為主，作簡(jiǎn)單筆記，在學(xué)習(xí)理論、概念的同時(shí)，一定要作相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，通過(guò)手算的方法和技巧來(lái)掌握力學(xué)的概念以及分析和計(jì)算的方法。

第9章

矩陣位移法§9－1概述§9－2單元?jiǎng)偠染仃嚒?－3坐標(biāo)變換§9－4單元集成法和連續(xù)梁的整體剛度矩陣§9－6等效結(jié)點(diǎn)荷載§9－5平面剛架的整體剛度矩陣§9－7計(jì)算步驟與算例結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域而產(chǎn)生的一種方法?！?－1概述結(jié)構(gòu)力學(xué)傳統(tǒng)方法與結(jié)構(gòu)矩陣分析方法，二者同源而有別：在原理上同源，在作法上有別。簡(jiǎn)單地說(shuō)，前者在“手算”的年代形成；后者則著眼于“電算”，計(jì)算手段的不同，引起計(jì)算方法的差異。

與傳統(tǒng)的力法、位移法相對(duì)應(yīng)，在結(jié)構(gòu)矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程程序化的優(yōu)點(diǎn)而廣為流傳，本章只對(duì)矩陣位移法進(jìn)行討論。矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結(jié)構(gòu)矩陣分析有時(shí)也稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術(shù)語(yǔ)和提法。先把整體拆開(kāi)，分解成若干個(gè)單元（在桿件結(jié)構(gòu)中，一般把每個(gè)桿件取作一個(gè)單元），這個(gè)過(guò)程稱作離散化。然后再將這些單元按一定條件集合成整體。在一分一合，先拆后搭的過(guò)程中，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單單元的分析和集合問(wèn)題。

有限元法的要點(diǎn)：有限元法包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：1.單元分析2.整體分析單元分析的任務(wù):

建立單元?jiǎng)偠确匠蹋纬蓡卧獎(jiǎng)偠染仃囌w分析的主要任務(wù):將單元集合成整體，由單元?jiǎng)偠染仃嚢凑談偠燃梢?guī)則形成整體剛度矩陣，建立整體結(jié)構(gòu)的位移法基本方程，從而求出解答。本節(jié)對(duì)平面結(jié)構(gòu)的桿件單元進(jìn)行單元分析，得出單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃嚒！?－2單元?jiǎng)偠染仃囄灰品ㄖ薪o出的轉(zhuǎn)角位移方程實(shí)際上就是梁?jiǎn)卧膭偠确匠獭Ａ簡(jiǎn)卧菞U件單元的特例。本節(jié)推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠虝r(shí)有幾點(diǎn)新的考慮：重新規(guī)定正負(fù)號(hào)規(guī)則，討論桿件單元的一般情況，采用矩陣表示形式。9.2.1一般單元圖1所示為平面剛架中的一個(gè)等截面直桿單元圖—1

設(shè)桿件除彎曲變形外，還有軸向變形。左右兩端各有三個(gè)位移分量（兩個(gè)移動(dòng)、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)），桿件共有六個(gè)桿端位移分量，這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。由端點(diǎn)1到端點(diǎn)2的方向規(guī)定為桿軸的正方向，在圖中用箭頭表明。

圖中采用坐標(biāo)系

，軸與桿軸重合。這個(gè)坐標(biāo)系稱為單元坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系。上面都劃上一橫，作為局部坐標(biāo)系的標(biāo)志。在局部坐標(biāo)系中，一般單元的每端各有三個(gè)位移分量和對(duì)應(yīng)的三個(gè)力分量圖-2中所示的位移、力分量方向?yàn)檎较颉?/p>

圖—2

單元的六個(gè)桿端位移分量和六個(gè)桿端力分量按一定順序排列，形成單元桿端位移向量和單元桿端力向量

如下：（9－1）

向量中的六個(gè)元素的序碼記為（1），（2），…，（6）。由于它們是在每個(gè)單元中各子編碼的（不是在剛架所有單元中統(tǒng)一編碼的），因此稱為局部碼——桿端位移分量（或桿端力分量）的局部碼。數(shù)碼（1），（2），…都加上括號(hào)，作為局部碼的標(biāo)志。單元?jiǎng)偠确匠淌侵赣蓡卧獥U端位移求單元桿端力時(shí)所建立的方程——記為

§9.2.2單元?jiǎng)偠确匠毯蛣偠染仃嚍榱私卧獎(jiǎng)偠确匠蹋覀儼凑瘴灰品ɑ倔w系的作法，在桿件兩端加上人為控制的附加約束，使基本體系在兩端發(fā)生任意指定的位移如下圖-3所示。然后根據(jù)

推算相應(yīng)的桿端力圖-3忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。首先，由桿端軸向位移可推算出相應(yīng)的桿端軸向力（9－2）

其次，由桿端橫向位移

和轉(zhuǎn)角可推算出相應(yīng)的桿端橫向力和桿端力矩根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程（8－5）和（8－6），并改用本章的記號(hào)和正負(fù)號(hào)，即得（8－5）

（8－6）

（9－3）

上面六個(gè)剛度方程（9－2）和（9－3）實(shí)際上在位移法中已經(jīng)推導(dǎo)過(guò)。現(xiàn)在將它們合在一起，寫成矩陣形式如下：

（9－4）

上式可記為：（9－5）

（9－6）

其中

式（9－5）即為所求的稱為在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠獭＞仃?/p>

稱為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。它是方陣?/p>

9.2.3單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)

1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義

中的每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，代表由于單位桿端位移所引起的桿端力。例如，第（6）行第（3）列元素（即元素）

代表當(dāng)?shù)冢?）個(gè)桿端位移時(shí)引起的第（6）個(gè)桿端力分量

一般來(lái)說(shuō)，第（i）行第（j）列元素代表當(dāng)?shù)冢╦）個(gè)桿端位移分量等于1（其他位移分量為零）時(shí)所引起的第（i）個(gè)桿端力分量的值。

中某一列的六個(gè)元素分別表示當(dāng)某個(gè)桿端位移分量等于1時(shí)所引起的六個(gè)桿端力分量。例如，第1列對(duì)應(yīng)于單位位移所引起的桿端力。為了幫助理解，在式（9－6）中，在每一列的上方都標(biāo)明了對(duì)應(yīng)的單位位移分量。2）是對(duì)稱矩陣

的對(duì)稱性是指其元素有如下關(guān)系：（9－7）

這實(shí)際上是根據(jù)反力互等定理得出的結(jié)論。3）一般單元的是奇異矩陣的奇異性是指其行列式等于零，即（9－8）

直接計(jì)算式（9－6）的矩陣行列式，便可驗(yàn)證上述結(jié)論。由此可知，不存在逆矩陣。也就是說(shuō)，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠蹋?－5），可以由桿端位移推算出桿端力且的解是唯一解；但不能由桿端力反推出桿端位移，可能無(wú)解，如有解，則為非唯一解。為了避免混淆，我們把正反兩個(gè)問(wèn)題再?gòu)臄?shù)學(xué)提法、力法模型、解的性質(zhì)等方面作一對(duì)比。見(jiàn)下表：

正問(wèn)題

反問(wèn)題

數(shù)學(xué)提法為任意指定值，為待求量。為任意指定值，為待求量。力學(xué)模型把單元按“兩端有六個(gè)人工控制的附加約束的桿件”（位移法基本體系）來(lái)分析——由控制附加約束而加以指定。把單元按“兩端自由的桿件”來(lái)分析——直接加在自由端作為指定的桿端力。解的性質(zhì)

為任意值時(shí)，都有解，且為唯一解。總是一個(gè)平衡力系，不可能是不平衡力系。

為不平衡力系時(shí)，沒(méi)有解。為平衡力系時(shí)，有解，但為非唯一解（因?yàn)樽杂蓷U件除本身變形外還可有任意剛體位移）。不存在。總之，正反兩個(gè)問(wèn)題的力學(xué)模型是截然不同的，不能把單元籠統(tǒng)地統(tǒng)稱為“自由單元”。逆矩陣的性質(zhì)是根據(jù)反問(wèn)題確定的，這里的反問(wèn)題是按“自由單元”分析，故得出不存在的結(jié)論。9.2.4特殊單元?jiǎng)偠染仃囀剑?－4）是一般單元的剛度方程，其中六個(gè)桿端位移可指定為任意值。在結(jié)構(gòu)中還有一些特殊單元，單元的某個(gè)或某些桿端位移的值已知為零，而不能任意指定。各種特殊單元的剛度方程無(wú)需另行推導(dǎo)，只需對(duì)一般的單元?jiǎng)偠确匠蹋?－4）作一些特殊處理便可自動(dòng)得到。舉例來(lái)說(shuō)，計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，我們通常忽略軸向變形。如取每跨梁作為單元（圖－4），則只有兩個(gè)桿端位移分量可指定為任意值，而其余四個(gè)分量均已知為零：

圖—4

返回

（a）

將式（a）代入式（9－4），即自動(dòng)得出此特殊單元連續(xù)梁的剛度方程如下：（9－9）

此時(shí)單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

（9－10）

返回某些特殊單元的剛度矩陣是可逆的。例如式（9－10）中的，其逆矩陣存在。

對(duì)于圖4所示特殊單元來(lái)說(shuō)，正問(wèn)題的力學(xué)模型如圖－5a所示，每端有兩個(gè)支桿和一個(gè)控制轉(zhuǎn)角的附加約束，

可指定為任意值。

和

圖—5

返回返回反問(wèn)題的力學(xué)模型如圖－5b所示，每端有兩個(gè)支桿，桿端力矩為任意值。

由于反問(wèn)題的力學(xué)模型是一個(gè)幾何不變體系，因此，當(dāng)為任意值時(shí)，桿端轉(zhuǎn)角有解，且為唯一解。由此得出存在的結(jié)論。選用局部坐標(biāo)系的目的是希望導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠染仃嚲哂凶詈?jiǎn)單的形式。為了便于進(jìn)行整體分析，必須選用一個(gè)統(tǒng)一的公共坐標(biāo)系，稱為整體坐標(biāo)系。為了區(qū)別，用表示局部坐標(biāo)，用表示整體坐標(biāo)。

9.3單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣圖－6a所示為一單元e，局部坐標(biāo)系中的桿端力分量用表示。整體坐標(biāo)系中則用表示，如圖－6b所示。

圖—6

返回顯然，二者有下列關(guān)系：

（9－11）

將式（9－11）寫成矩陣形式：（9－12）

或簡(jiǎn)寫成（9－13）返回式中T稱為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣（9－14）

式（9—13）是兩種坐標(biāo)系中單元桿端力的轉(zhuǎn)換式。

T－1＝TT

（9—15）

或

TTT＝TTT＝I

（9—16）

式（9—13）的逆轉(zhuǎn)換式為（9—17）

設(shè)局部坐標(biāo)系中單元桿端位移列陣為

，整體坐標(biāo)系中單元桿端位移列陣為

，則返回（9—18）

（9—19）

9.3.2整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獥U端力與桿端位移在整體坐標(biāo)系中的關(guān)系式可寫為

（9—20）

返回

單元e在局部坐標(biāo)系中的剛度方程為（a）

將式（9—13）和（9—18）代入式（a），得到等式兩邊各前乘，并引入式（9—16），得（b）

表較式（b）與（9—20），可知（9—21）

整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚺c同階，具有類似的性質(zhì)：元素表示在整體坐標(biāo)系中第（j）個(gè)桿端位移分量等于1時(shí)引起的第(i)個(gè)桿端力分量。

（1）是對(duì)稱矩陣。

（2）一般單元的是奇異矩陣。

（3）例9—1P7

試求圖—7所示剛架中各單元在整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣。設(shè)各桿的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同。

圖—7

解:局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囉墒剑?—6）得==（1）①

②

整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕?）

單元①：

①

=

單元②：

單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為①

②

=②

T

=§9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣前兩節(jié)進(jìn)行了單元分析，建立了單元?jiǎng)偠确匠蹋茖?dǎo)了單元?jiǎng)偠染仃?。從本?jié)起轉(zhuǎn)到整體分析，建立整體剛度方程，導(dǎo)出整體剛度矩陣。本節(jié)以連續(xù)梁為例，下節(jié)討論剛架的一般情況，并考慮桿件軸向變形的影響。整體剛度方程是按位移法建立的,具體做法有兩種：1.傳統(tǒng)位移法2.單元集成法（也稱為剛度集成法或直接剛度法）單元集成法的優(yōu)點(diǎn)是便于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化。對(duì)于圖-8a所示的連續(xù)梁，位移法基本體系如圖－8b所示。

圖－8位移法的基本未知量為節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角他們可指定為任意值，在基本體系中用控制附加約束加以指定。他們組成整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量：（）T

與對(duì)應(yīng)的力是附加約束的力偶它們組成整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量F

在傳統(tǒng)作法中，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角獨(dú)自引起的節(jié)點(diǎn)力偶，如下圖-9a﹑b﹑c所示。圖－9

疊加得結(jié)點(diǎn)力偶；如下（9－22）記為：（9－24）（9－23）式（9-22）或(9-23)稱為整體剛度方程，K稱為整體剛度矩陣。9.4.1.單元集成法的力學(xué)模型和基本概念傳統(tǒng)位移法求結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)F時(shí)，分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)（采用圖-9中的力學(xué)模型），然后進(jìn)行疊加。

單元集成法求F時(shí)，分別考慮每個(gè)單元對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行疊加—其特點(diǎn)就是“由單元直接集成”。

首先，考慮單元①的貢獻(xiàn)，力學(xué)模型見(jiàn)圖-10。整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力是由單元①單獨(dú)產(chǎn)生的，記為

F①=(F1①

F2②

F3③)T圖－10F1①表示單元①對(duì)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)。F1①和F2①可由單元①的單元?jiǎng)偠染仃噆①算出。已知F3①＝0（a）k①＝

（9－25）得：

（b）由（a）和（b）得：（9－26）記為F3①＝K①

（9－27）其中

K①＝（9－28）K①表示單元①對(duì)剛度矩陣提供的貢獻(xiàn)，稱為單元①的貢獻(xiàn)矩陣。其次，考慮單元②的貢獻(xiàn)。力學(xué)模型見(jiàn)圖-11所示。圖－11已知k②＝故得記為F②=K②

（9－29）（9－30）（9－31）其中K②

（9－32）K②稱為單元②的貢獻(xiàn)矩陣。將式（9-27）和式（9-31）疊加，得：F=F①+F②=(k①+k②)（9－33）由此得出整體剛度矩陣K為K=K①+K②=

（9－34）單元集成法求整體剛度矩陣的步驟可表示為其中：為單元?jiǎng)偠染仃嚕瑔卧暙I(xiàn)矩陣，K為整體剛度矩陣2.按照單元定位向量由求

注意以下3點(diǎn)：1)結(jié)點(diǎn)位移（或結(jié)點(diǎn)力）有兩種編碼：在整體分析中，結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一進(jìn)行編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個(gè)單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移各自編碼為（1）和（2），稱為局部編碼。（見(jiàn)下圖-12）（b）（a）圖－122)注意每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移分量?jī)煞N編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體見(jiàn)下表：

單元對(duì)應(yīng)關(guān)系單元定位向量局部碼→總碼①（1）→1（2）→2

②（1）→2（2）→3

3)注意單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧暙I(xiàn)矩陣中元素的排列方式,見(jiàn)下表

在單元?jiǎng)偠?/p>

矩陣中在單元貢獻(xiàn)矩陣中

換碼元素的原行碼(i)原列碼（j）換成新行碼新列碼（i）→（j）→

重排座原排在(i)行（j）的元素改在行列總之，由求的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是中的元素在中如何定位的問(wèn)題。定位規(guī)則是：（9－36）參見(jiàn)下表:單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧ㄎ幌蛄繂卧暙I(xiàn)矩陣①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1

(1)(2)↓

↓123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2

(1)(2)↓

↓123（1）→1000（2）→204i22i2302i24i23.單元集成法的實(shí)施方案單元集成法形成K的過(guò)程：1)先將K置零，這時(shí)K=02)將k①的元素在K中按定位①并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K①

3)將k②的元素在K中按定位②并進(jìn)行累加，這時(shí)，K=K①+K②按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后得到現(xiàn)以圖-8a所示連續(xù)梁為例，說(shuō)明上過(guò)程：將k①集成后，得到：在此基礎(chǔ)上將k②集成得最終結(jié)果：

例-2試求圖-13a所示連續(xù)梁得整體剛度矩陣K

P14解（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（見(jiàn)圖-13a）圖－13（2）各單元得定位向量①

③

②

（3）單元集成過(guò)程單元單元?jiǎng)偠染仃嚢磫卧ㄎ幌蛄繐Q碼

集成過(guò)程中得階段結(jié)果①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1（1）→1（2）→2

123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②

（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2(1)→2(2)→312314i12i10（1）→22i14i1+(4i2)2i2

（2）→3302i24i2③

（1）（2）（1）4i32i3

（2）2i34i3(1)→3(2)→0(2)→0123（1）→14i12i10（2）→22i14i1+(4i2)2i2302i24i2+4i3

4.整體剛度矩陣的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義

K中的元素稱為整體剛度系數(shù)。它表示當(dāng)?shù)趈個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量（其他結(jié)點(diǎn)位移分量為零）時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力(2)K是對(duì)稱矩陣(3)按本節(jié)方法計(jì)算連續(xù)梁時(shí)，K時(shí)可逆矩陣。圖-8a所示為下圖-14為例的反問(wèn)題力學(xué)模型。當(dāng)F為指定值時(shí)，均可得的唯一解，故是存在的。

圖－14（4）K是稀疏矩陣和帶狀矩陣。對(duì)下圖-15，可導(dǎo)出其整體剛度矩陣：圖－15（9－37）§9-5平面剛架的整體剛度矩陣本節(jié)討論用單元集成法求平面剛架的整體剛度矩陣K。思路的要點(diǎn)：K由直接集成；集成包括將的元素在K中定位和累加兩個(gè)環(huán)節(jié)；定位是依據(jù)單元定位向量進(jìn)行的。情況的復(fù)雜性表現(xiàn)在下列幾個(gè)方面：1）在一般情況下要考慮剛架中各桿的軸向變形，而忽略桿件軸向變形的情況則作為特例來(lái)處理；2）剛架中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量要增加到三個(gè)：角位移和兩個(gè)方向的線位移；3）剛架中各桿方向不盡相同，在整體分析中需采用整體坐標(biāo)；4）剛架中除剛結(jié)點(diǎn)外，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其他情況。1.結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼――總碼圖-16所示剛架整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量：＝（）T＝（）T相應(yīng)結(jié)點(diǎn)力向量為F=(F1F2F3F4)T

圖－16P7例9.12.單元定位向量單元①單元②局部編碼→總碼單元定位向量局部編碼→總碼單元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→4①（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0②3.單元集成過(guò)程首先，考慮單元①；①＝

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）300kN/m00-300kN/m00（2）012kN/m30kN0-12kN/m30kN（3）030kN100.kN.m0-30kN50.kN.m×104（4）-300kN/m00300kN/m00（5）0-12kN/m-30kN012kN/m-30kN（6）030kN50.kN.m0-30kN100.kN.m

（9－38）K的階段結(jié)果＝(1)(2)(3)(6)↓↓↓↓(1)→1300kN/m000(2)→2012kN/m30kN30kN×104(3)→3030kN100.kN.m50.kN.m(6)→4030kN50.kN.m100.kN.m（9－39）其次，考慮單元②k①=

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）12kN/m0-30kN-12kN/m0-30kN（2）0300kN/m00-300kN/m0（3）-30kN0100.kN.m30kN050.kN.m×104（4）-12kN/m030kN12kN/m030kN（5）0-300kN/m00300kN/m0（6）-30kN050.kN.m30kN0100.kN.m（9－40）K=

(1)(2)(3)↓↓↓1234(1)→1[300+(12)]kN/m0+(0)[0+(-30)]kN0

(2)→20+(0)[12+(300)]kN/m[30+(0)]kN30kN×104

(3)→3[0+(-30)]kN[30+(0)]kN[100+(100)]kN.m50.kN.m

4030kN50.kN.m100kN.m（9－41）4．鉸結(jié)點(diǎn)的處理圖-17所示為具有鉸結(jié)點(diǎn)的剛架。

圖－171.考慮結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼（圖中已標(biāo)出）2.考慮單元定位向量各單元定位向量如下；分析過(guò)程：①＝（123456）T

②＝（123000）T③＝（457000）T

第一階段結(jié)果①，見(jiàn)式（9－43）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（1）

1

（2）

2

（3）

3

（4）

4

（5）

5(6)

6730000-300000012300-123000301000-30500-300003000000-12-30012-300030500-30100000000001234567（9－43）

（1）

（2）

（3）1234567（1）

1（2）

24（3）

3300+（12）0+（0）0+（－30）-3000000+（0）12+（300）30+（0）0-123000+（－30）30+（0）100+（100）0-30500-300003000000-12-30012-300030500-3010000000000567（9－44）

在式（9－40）中已給出。將其中的元素按在K中定位并與前階段結(jié)果累加，即得K的第二階段結(jié)果，見(jiàn)式（9－44）。其次，考慮單元②

：

最后，考慮單元③：

與相同。由即得K最后結(jié)果，見(jiàn)式（9－45）。

（1）

（2）

（3）（1）（2）（3）123456712345673120-30-3000000312300-12300-30302000-30500-30000300+（12）0+（0）00+（-30）

0-12-300+（0）12+（300）-300+（0）030500-3010000000+（－30）0+（0）00+（100）（9－45）

以上式（9－43）、（9－44）、（9－45）中各物理量是有單位的，這里只是表示單元集成的過(guò)程，故式中未標(biāo)單位。

1.位移法基本方程

§9－6等效結(jié)點(diǎn)荷載前兩節(jié)討論了結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣K，建立了整體剛度方程（9－46）

整體剛度方程（9－46）是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的位移法基本體系建立的，它表示由結(jié)點(diǎn)位移推算結(jié)點(diǎn)力（即在基本體系的附加約束中引起的約束力）F的關(guān)系式。它只反映結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及到原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載。它并不是用以分析原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。為了建立位移法基本方程，我們回顧一下本書(shū)（Ι）§8－5中的推導(dǎo)方法，分別考慮位移法基本體系的兩種狀態(tài)：

(1)設(shè)荷載單獨(dú)作用（結(jié)點(diǎn)位移設(shè)為零）——此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力，記為。

(2)設(shè)結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用（荷載設(shè)為零）——此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力為。

位移法基本方程為

（11－47）

2.等效結(jié)點(diǎn)荷載的概念

等效的原則是要求這兩種荷載在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力。

如果原來(lái)荷載在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力記為，則等效結(jié)點(diǎn)荷載在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力也應(yīng)為。由此即可得出如下結(jié)論：（9－48）

將式（9－48）代入式（9－47），則位移法基本方程可寫為

（9－49）

由式（9－46）和式（9－49）可知，如果把剛度方程（9－46）中的結(jié)點(diǎn)約束力F換成等效節(jié)點(diǎn)荷載P，即得到位移法基本方程（9－49）。

3．按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載

(1)單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載

先考慮局部坐標(biāo)系。

在單元兩端加上六個(gè)附加約束，使兩端固定。在給定荷載作用下，可求出六個(gè)固端約束力，它們組成固端約束力向量：

（9－50）

在表9－1中給出了幾種典型荷載所引起的固端約束力。將固端約束力反號(hào)，即得到單元等效結(jié)點(diǎn)荷載（局部坐標(biāo)系）：

（9－51）

(2)單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載（整體坐標(biāo)系）

現(xiàn)考慮整體坐標(biāo)系。由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式（9－17），得

（9－52）

(3)整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P

依次將每個(gè)中的元素按單元定位向量在P中進(jìn)行定位并累加，最后即得到P。

表

9－1

單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）

荷載簡(jiǎn)圖

始

端

1末

端

21

2

3

4

5

6

7例－3

試求圖－16a所示剛架在圖－18給定荷載下的等效結(jié)點(diǎn)荷載向量P。

圖

－18

解（1）求局部坐標(biāo)系中的固端約束力

單元①：由表9－1第1行，

得單元②：由表9－1第2行，

得因此

(2)各單元在整體坐標(biāo)系中的等效結(jié)點(diǎn)荷載

單元①、②的傾角分別為

由式（9－51）和（9－52）得

(3)求剛架的等效結(jié)點(diǎn)荷載

兩個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)局部和總碼見(jiàn)圖－16。總碼在圖－18中用虛線重新示出。單元定位向量已知為將中得元素，按在中進(jìn)行定位并累加即可得出。

首先，考慮單元①：

的階段結(jié)果為[（4）、（5）行元素在中無(wú)座位]

（1）

1

（2）2（3）

3(6)4其次,考慮單元②

（1）

1

（2）2（3）

34(1)整理原始數(shù)據(jù)，對(duì)單元和剛架進(jìn)行局部編碼和總體編碼。

(2)形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，用式?－6）。

(3)形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，用式?－21）。

(4)用單元集成法形成整體剛度矩陣，參看式（9－35）。

§9－7

計(jì)算步驟和算例

用矩陣位移法計(jì)算平面剛架的步驟如下：

(5)求局部坐標(biāo)系的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載，轉(zhuǎn)換成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載，用式（9－51）和式（9－52）；用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。

(6)解方程，求出結(jié)點(diǎn)位移。

(7)求各桿的桿端內(nèi)力，用下面的式（9－53）。

各桿的桿端內(nèi)力是由兩部分組成：

一部分是在結(jié)點(diǎn)位移被約束住的條件下的桿端內(nèi)力，即各桿的固端約束力。另一部分是剛架在等效結(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端內(nèi)力，可由式（9－5）求出。將兩部分內(nèi)力疊加，即得

（11－52）