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文檔簡(jiǎn)介

引言第一節(jié)

頻率特性的基本概念及作圖第二節(jié)

典型環(huán)節(jié)頻率特性圖第三節(jié)

開(kāi)環(huán)頻率特性繪制第四節(jié)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第五節(jié)穩(wěn)定裕度第六節(jié)開(kāi)環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)間關(guān)系第七節(jié)

閉環(huán)頻率特性簡(jiǎn)介本章小結(jié)第五章頻率分析法引 言頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率響應(yīng)法是以頻率特性為基礎(chǔ)研究系統(tǒng)的性能頻率分析法特點(diǎn):應(yīng)用奈奎斯特判據(jù),根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性;根據(jù)頻率特性和性能指標(biāo)的關(guān)系分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性指標(biāo);頻率特性可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得;可以推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng);圖解方法,直觀性強(qiáng),在工程上得到廣泛應(yīng)用。5.1頻率特性的基本概念及作圖頻率特性定義頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性作圖一、頻率特性定義例:一階RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性

微分方程:若則當(dāng)時(shí),有:比較輸入信號(hào)1、輸出電壓穩(wěn)態(tài)值是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào);2、幅值和相角與輸入不同,與頻率ω和系統(tǒng)參數(shù)T有關(guān);令: A(ω)和φ(ω)反映了RC網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的振幅和相位隨頻率變換的規(guī)律。A(ω)和φ(ω)聯(lián)合起來(lái)稱為系統(tǒng)的頻率特性。結(jié)論:為討論方便,不考慮重極點(diǎn)二、頻率特性和傳函的關(guān)系當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí):寫(xiě)出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式:幅頻特性:相頻特性:得到頻率特性和傳函的關(guān)系為:說(shuō)明:頻率特性適合線性系統(tǒng)或元件;A(ω)和φ(ω)是頻率ω的函數(shù),隨輸入頻率變化而變化,與輸入幅值和相角無(wú)關(guān);微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性之間具有內(nèi)在聯(lián)系,可相互轉(zhuǎn)化。頻率特性是頻域中的數(shù)學(xué)模型。三、頻率特性作圖極坐標(biāo)頻率特性曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線對(duì)數(shù)幅相特性曲線代數(shù)式:極坐標(biāo)式:指數(shù)式:——相頻特性;——幅頻特性;關(guān)系:頻率特性曲線:1、極坐標(biāo)頻率特性曲線——奈奎斯特(Nyquist)曲線;2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線——伯德(Bode)曲線;3、對(duì)數(shù)幅相特性曲線——尼柯?tīng)査?Nichols)曲線。極坐標(biāo)頻率特性曲線ω:0→∞向量G(jω)在復(fù)平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。G(-jω)、

G(jω)共軛,頻率特性曲線對(duì)稱于實(shí)軸。繪制極坐標(biāo)曲線的方法:方法一:計(jì)算實(shí)部和虛部,描點(diǎn)。方法二:計(jì)算幅值和相角,描點(diǎn)。繪制極坐標(biāo)草圖的方法:

1、計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn);ω為0、∞時(shí),G(jω) 2、計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn);

3、給出曲線走向;

4、畫(huà)出草圖。對(duì)數(shù)頻率特性曲線伯德(Bode)曲線,包括對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線,應(yīng)用最多。對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo):橫坐標(biāo)按ω的對(duì)數(shù)lgω線性分度,標(biāo)以ω。橫軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化,稱十倍頻或十倍頻程,用符號(hào)dec表示。如果ω變化1倍,在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上變化0.301,稱為倍頻程。頻率由1到10的對(duì)數(shù)分度:對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的縱坐標(biāo):對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo):

相頻特性曲線的縱坐標(biāo):

一般以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。對(duì)數(shù)頻率特性曲線一般畫(huà)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上。均勻分度,單位分貝(db)采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)勢(shì):可以展寬頻帶;對(duì)數(shù)特性將乘除變?yōu)榧訙p運(yùn)算;典型環(huán)節(jié)可用分段直線(或漸近線)近似表示;可用實(shí)驗(yàn)方法確定系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式。對(duì)數(shù)幅相特性曲線尼柯?tīng)査?Nichols)曲線。對(duì)數(shù)幅相圖的橫坐標(biāo)為相角,縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅頻特性幅值的分貝數(shù)。橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是線性分度。而ω作為參變量標(biāo)在曲線相應(yīng)點(diǎn)的旁邊。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性(1)傳遞函數(shù):頻率特性:1、極坐標(biāo)頻率特性曲線:比例環(huán)節(jié)的頻率特性(2)2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線:積分環(huán)節(jié)的頻率特性(1)1、極坐標(biāo)頻率特性曲線:積分環(huán)節(jié)的頻率特性(2)2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線:慣性環(huán)節(jié)的頻率特性(1)1、極坐標(biāo)頻率特性曲線:慣性環(huán)節(jié)的頻率特性(2)當(dāng)ω由0變化到∞時(shí),慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)特性曲線是一個(gè)半圓。證明:圓心(K/2,0),半徑K/2,實(shí)軸下方半圓。慣性環(huán)節(jié)的頻率特性(3)2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線:低頻段時(shí),ω很小,ωT<<1,低頻漸近線:高頻段時(shí),ω很大,ωT>>1,高頻漸近線:慣性環(huán)節(jié)的頻率特性(4)交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)的頻率特性(5)誤差:Δ=真實(shí)值-近似值處存在最大誤差:振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(1)不妨取K=1振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(2)1、極坐標(biāo)頻率特性曲線:以ξ為參變量,繪制振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)曲線曲線與負(fù)虛軸相交曲線沿負(fù)實(shí)軸方向趨向原點(diǎn),且與負(fù)實(shí)軸相切。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(3)時(shí),A(ω)具有最大值,振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(4)ωp與ξ有關(guān),ωp稱為諧振頻率或峰值頻率。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(5)2、對(duì)數(shù)頻率特性曲線:低頻段,低頻漸近線高頻段,高頻漸近線兩漸近線相交,振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(6)相頻特性曲線:微分環(huán)節(jié)的頻率特性(1)1、純微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)對(duì)比?微分環(huán)節(jié)的頻率特性(2)2、一階微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性(3)3、二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)5.3開(kāi)環(huán)頻率特性繪制極坐標(biāo)特性曲線的繪制對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制最小相與非最小相系統(tǒng)一、極坐標(biāo)特性曲線的繪制例:設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為:1)列寫(xiě)實(shí)頻特性和虛頻特性的表達(dá)式;2)當(dāng)K=10、T1=1、T2=5時(shí),試?yán)L制極坐標(biāo)圖。將G(jω)有理化:帶入K=10、T1=1、T2=5,取ω為不同值計(jì)算,描點(diǎn)一般地:起點(diǎn):與虛軸交點(diǎn):終點(diǎn):例:設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為:試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。將G(jω)有理化:起點(diǎn):與實(shí)軸交點(diǎn):終點(diǎn):極坐標(biāo)特性曲線:1、保持準(zhǔn)確曲線的重要特征,如起點(diǎn)、終點(diǎn)、與實(shí)軸或虛軸的交叉點(diǎn);2、在重要點(diǎn)的附近有足夠準(zhǔn)確性。一般系統(tǒng):1、起點(diǎn):起點(diǎn)與系統(tǒng)類型和增益有關(guān)2、終點(diǎn):對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng),一般n>m3、與實(shí)、虛軸交點(diǎn):4、中頻部分曲線形狀和頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。零點(diǎn)的影響:二、對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制

已知各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為:將開(kāi)環(huán)系統(tǒng)寫(xiě)成典型環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的實(shí)系數(shù)形式2)繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線,即ω→0對(duì)數(shù)幅頻實(shí)際繪制時(shí)按以下步驟一次完成:1)確定K、v以及各個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在頻率軸上。4)分段直線的最后一段5)在轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正,可得到較準(zhǔn)確曲線。斜率:

-20(n-m)dB/dec3)以低頻漸近線作為分段直線的第一段,從低頻段開(kāi)始沿頻率增大的方向,每遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線的斜率。當(dāng)遇到ωi時(shí),斜率變化量為+20dB/dec;當(dāng)遇到ωk時(shí),斜率變化量為+40dB/dec;當(dāng)遇到ωj時(shí),斜率變化量為-20dB/dec;當(dāng)遇到ωl時(shí),斜率變化量為-40dB/dec;對(duì)數(shù)相頻特性曲線的繪制:利用典型環(huán)節(jié)的各對(duì)數(shù)相頻特性相加,或直接利用相頻特性表達(dá)式計(jì)算。例:設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。整理:1)K=10,v=0慣性環(huán)節(jié):T1=0.25,ω1=1/T1=4振蕩環(huán)節(jié):

T2=0.5,ω2=1/T2=22)低頻段3)繪制近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線相頻特性:例:設(shè)某系統(tǒng)的頻率特性為:試?yán)L制用分段直線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性。1)轉(zhuǎn)折頻率2)低頻段斜率: -40dB/dec3)繪制近似對(duì)數(shù)幅頻曲線例:延遲環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性。三、最小相與非最小相系統(tǒng)定義:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函在右半s平面上沒(méi)有極點(diǎn)或零點(diǎn)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng),相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。

在右半s平面上具有極點(diǎn)或零點(diǎn)的系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng),相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也屬于非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的特性:若系統(tǒng)穩(wěn)定,具有相同的幅頻特性的系統(tǒng)中,對(duì)于任意給定的頻率,最小相位系統(tǒng)的相位滯后最小。例:最小相位系統(tǒng)相頻特性與對(duì)數(shù)幅頻特性之間存在有確定的關(guān)系。因此,在利用對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合時(shí),常常只需畫(huà)出和利用對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。

繪制非最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí),必須分別繪出對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性。利用對(duì)數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)傳函最小相位系統(tǒng)當(dāng)ω→∞時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性的最高頻漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec,相角為-90°(n-m)。

可用于判斷最小相位系統(tǒng)。5.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)輔助函數(shù)F(s)與開(kāi)環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系幅角定理奈氏(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)引言1932年,奈奎斯特(Nyquist)提出了頻率法的穩(wěn)定判據(jù)——奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈氏判據(jù)由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在控制理論中占有重要地位。一、輔助函數(shù)F(s)與開(kāi)環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):構(gòu)造一輔助函數(shù):F(s)特點(diǎn):

1、

F(s)零點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn);

2、

F(s)極點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn);

3、

由于n>=m,因此系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目

(即F(s)零點(diǎn)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù))。如何求F(s)零點(diǎn)?二、幅角定理1、映射關(guān)系S平面上的任一條不通過(guò)F(s)奇異點(diǎn)的封閉曲線Г,F(xiàn)(s)平面上存在與其相對(duì)應(yīng)的封閉曲線Г’。Г’變化主要由兩個(gè)因素決定:

1)Г所包圍的區(qū)域;

2)F(s)形式

F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向,對(duì)穩(wěn)定性有重要意義。2、幅角定理由幅角變化,導(dǎo)出F(s)平面原點(diǎn)被包圍的次數(shù)和方向。例:當(dāng)s沿封閉曲線Г變化時(shí),復(fù)數(shù)F(s)的幅角變化:?jiǎn)栴}:

s沿封閉曲線Г順時(shí)針移動(dòng)一周,a)z1、p1未被Г包圍不包圍原點(diǎn)b)z1被Г包圍順時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=1c)p1被Г包圍逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一周N=-1幅角原理:

設(shè)s平面上不通過(guò)任何F(s)奇點(diǎn)的封閉曲線Г包圍s平面上的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線Г移動(dòng)一周時(shí),則在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線Г的象Г’將以順時(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?三、奈氏(Nyqusit)穩(wěn)定判據(jù)1、奈氏路徑

為判斷右半平面F(s)零點(diǎn)個(gè)數(shù),取如下包圍整個(gè)右半s平面的封閉曲線為奈氏路徑。1)正虛軸,由s=jω;ω:0→+∞;2)半徑無(wú)窮大的正半圓,由3)負(fù)虛軸,由s=-jω;ω:0→-∞;2、奈氏路徑在F(s)平面上的映射1)半徑無(wú)窮大的右半圓一個(gè)點(diǎn)2)正虛軸3)負(fù)虛軸與F(jω)對(duì)稱于實(shí)軸。3、F(s)平面轉(zhuǎn)化為G(s)平面奈氏曲線F(jω)曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍情況與G(jω)曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況相當(dāng)。奈氏路徑順時(shí)針包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn),則G(s)平面上的映射曲線G(jω)(開(kāi)環(huán)頻率特性曲線)順時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)N次4、奈氏判據(jù)設(shè)開(kāi)環(huán)傳函在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P,則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是:在G(s)平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線G(jω)當(dāng)ω:-∞→+∞時(shí),將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)P圈,即若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù):N——開(kāi)環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。推論:開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0,即開(kāi)環(huán)頻率特性曲線G(jω)當(dāng)ω:-∞→+∞時(shí)不包圍點(diǎn)(-1,j0)。例1:例2:1、概略繪制奈氏曲線2、判斷穩(wěn)定性何時(shí)處于臨界穩(wěn)定?例3:P=1,穩(wěn)定N=-1,即逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈,K>1四、奈氏判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳函:1、重新選取奈氏路徑半徑為無(wú)窮小的右半圓2、奈氏曲線的畫(huà)法半徑為無(wú)窮小的半圓上的點(diǎn)Ⅰ型系統(tǒng):Ⅱ型系統(tǒng):含有積分環(huán)節(jié)完整的極坐標(biāo)頻率特性曲線:1)ω:0+→∞2)ω=0+

逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà)v90°圓弧3)以實(shí)軸為對(duì)稱軸,畫(huà)出ω:-∞→0時(shí)的奈氏曲線例1:例2:

注:1)簡(jiǎn)便起見(jiàn),G(jω),ω:0→∞對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的包圍N’——G(jω),ω:0→∞變化,順時(shí)針圍繞(-1,j0)圈數(shù)。穩(wěn)定2)利用正負(fù)穿越討論對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的包圍

穿越:極坐標(biāo)曲線穿過(guò)點(diǎn)(-1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸。正穿越:ω↑,φ(ω)↑自上向下,逆時(shí)針N+表示半次穿越設(shè)開(kāi)環(huán)傳函在右半s平面上極點(diǎn)個(gè)數(shù)為P,則穩(wěn)定<=>當(dāng)ω:0→+∞變化時(shí),頻率特性曲線在實(shí)軸(-∞,-1)段負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2。例:判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,已知P=03)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)五、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)1、奈氏圖與伯德圖關(guān)系單位圓<—>零分貝線負(fù)實(shí)軸<—>-180°穿越數(shù):L(ω)>0區(qū)間內(nèi)相頻穿越-180°線2、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設(shè)開(kāi)環(huán)傳函在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為P,則穩(wěn)定<=>在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)>0的所有頻段內(nèi)有積分環(huán)節(jié)的處理例1:例2:2、對(duì)數(shù)幅相圖多回路系統(tǒng)的分析例:求臨界穩(wěn)

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