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文檔簡(jiǎn)介
第一講(續(xù))
多分辨率信號(hào)處理-小波變換
南京郵電大學(xué)鄭寶玉2015.8.2012我們應(yīng)該都有這樣的經(jīng)歷,在餐廳與朋友聊天時(shí),開(kāi)始覺(jué)得很吵,一會(huì)兒后覺(jué)得聽(tīng)不到周?chē)渌说恼f(shuō)話聲音便不覺(jué)得吵;然而,倘若我們突然停止談話,我們很快就會(huì)在意周?chē)藗兊慕徽劇:苊黠@,我們的注意力被突然的環(huán)境改變所吸引。我們周?chē)刻於加泻芏嘈畔⒃诮涣?,而我們只將注意力集中在周?chē)h(huán)境的突然改變上,這很可能是我們的感知系統(tǒng)從大量信號(hào)中選擇重要信息的一種方法?!猄.Mallat(AWaveletTourofSignalProcessing)瞬變的世界多分辨率信號(hào)處理基礎(chǔ)
傅立葉分析局限性及解決辦法3
小波分析與濾波器組
傅立葉分析及其局限性
Gabor變換(STFT)
小波變換
平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)
與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題4平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)所謂平穩(wěn)信號(hào)(stationarysignal)是指信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的信號(hào)。非平穩(wěn)信號(hào)(non-stationarysigal)則是信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性隨著時(shí)間變化的信號(hào)。5平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)6平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)多分辨率信號(hào)處理基礎(chǔ)
傅立葉分析局限性及解決辦法7
小波分析與濾波器組
傅立葉分析及其局限性
Gabor變換(STFT)
小波變換
平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)
與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題8傅立葉分析及其局限性
人們常常碰到同時(shí)需要知道頻域信息和時(shí)域信息的情況
-
人聽(tīng)聲音的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)時(shí)頻分析的過(guò)程-
對(duì)某一段隨時(shí)間變化音頻的識(shí)別,即分析局部頻率分布特性-
對(duì)圖象的分割也是一種對(duì)信號(hào)局部頻率分布的分析
傅立葉變換可這樣理解:一個(gè)信號(hào)f(t)用一組基函數(shù)來(lái)表示,
對(duì)傅立葉變換來(lái)說(shuō),其基函數(shù)是復(fù)數(shù)形式的正弦或余弦函數(shù)。使用傅立葉變換,我們可以在頻率域(頻域)來(lái)分析和解釋信號(hào),
它以一種不同于時(shí)間域(時(shí)域)表示的形式來(lái)表示信號(hào)。在整個(gè)時(shí)間域中進(jìn)行傅立葉變換操作,不能獲得隨時(shí)間變化的局部頻率特性。傅立葉分析假設(shè)信號(hào)在全局的分布是統(tǒng)計(jì)不變的,它需要時(shí)域信息的全體來(lái)獲得頻率信息的分布。傅立葉分析及其局限性傅立葉分析局限性小結(jié)9
典型例子
傅立葉變換常用于進(jìn)行諧波分析或調(diào)和分析。但當(dāng)傅立葉變換結(jié)果諧波幅度很小,甚至可能被淹沒(méi)時(shí),利用傳統(tǒng)的傅立葉變換就很難獲得可靠的結(jié)果,為此有必要研究信號(hào)的局部特性,故引入小波變換。特點(diǎn)
-定義了頻率概念
-分析了信號(hào)能量在各頻率成分中的分布局限
-只能獲得信號(hào)的整體頻譜特性
-不能獲得信號(hào)的局部頻譜特性
-不能描述和分析非平穩(wěn)信號(hào)
Gabor變換
為研究信號(hào)的局部特性,引入Gabor變換(STFT)
10
定義:Gx(f,t)=F{x(τ)g(τ-t)}
優(yōu)缺點(diǎn)
-優(yōu)點(diǎn):研究信號(hào)的局部特性
-缺點(diǎn):局部分辨率都一樣;時(shí)間-頻率分辨率相矛盾(測(cè)不準(zhǔn))-原因:使用單一的窗口(基函數(shù)),即基函數(shù)不變
STFT相當(dāng)于帶寬恒定的濾波器組。
含義:
-把STFT看作是加窗付氏變換;在時(shí)刻t,計(jì)算其“所有頻率”的分量
-將STFT看作頻率為f的BPFB;在頻率f,在“所有時(shí)間”上對(duì)其濾波
作用:將一維信號(hào)x(t)映射為時(shí)-頻平面(t,f)的二維函數(shù)。小波變換11小波變換的引入
為了克服STFT的缺點(diǎn),我們希望構(gòu)造“可變”基函數(shù),即
構(gòu)造:-持續(xù)時(shí)間很短的高頻基函數(shù)
-持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的低頻基函數(shù)
做到:
-在高頻區(qū),頻率窗口很寬,而時(shí)間窗口很窄;
-在低頻區(qū),頻率窗口很窄,而時(shí)間窗口很寬。這時(shí),信號(hào)分析濾波器相當(dāng)于一個(gè)相對(duì)帶寬恒定(常Q)
的濾波器組。小波變換就是利用這一思想構(gòu)造出來(lái)的。小波變換12
小波基函數(shù)
在小波變換中,小波基函數(shù)由某函數(shù)伸縮平移得到:
式中a為標(biāo)度因子(scalingfactor)起著類(lèi)似于頻率的作用
h(t)——小波母函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)母函數(shù)
ha,b(t)——小波基函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)基函數(shù)易見(jiàn),基函數(shù)與標(biāo)度因子有著密切關(guān)系:
對(duì)于大a,基函數(shù)是母函數(shù)的展寬型,是一低頻函數(shù)對(duì)于小a,
基函數(shù)是母函數(shù)的縮小型,是一高頻函數(shù)小波變換13
小波變換(WT)的定義
用小波基ha,b(t)取代富氏變換中的復(fù)指數(shù)基,即構(gòu)成WT
如圖所示。14在高頻區(qū),WT的持續(xù)時(shí)間較短在低頻區(qū),WT的頻率寬度較窄在中頻區(qū),WT與STFT具有相同的時(shí)-頻分辨率STFTWT由圖看見(jiàn),WT的時(shí)-頻分辨率是變化的,即STFT與WT的比較15
共同點(diǎn):STFT與WT都可解釋為:對(duì)每一分析頻率f,用中心頻率為f的帶通濾波器(組)對(duì)信號(hào)x(t)濾波的結(jié)果不同點(diǎn)
-在STFT中,帶寬Δf與中心頻率f無(wú)關(guān),Δf=c(帶寬恒定)-在WT中,帶寬Δf與中心頻率f有關(guān),Δf/f=c(相對(duì)帶寬恒定)小波變換16常用的基本小波(1/10)
17Haar小波常用的基本小波(2/10)
182.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波D6尺度函數(shù)與小波
常用的基本小波(3/10)
193、雙正交小波(雙正交B樣條小波)常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)h是一個(gè)三次B樣條。常用的基本小波(3/10)
20Daubechies小波雙正交小波常用的基本小波(4/10)
214.Morlet小波注意:Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。
Gabor小波Morlet小波常用的基本小波(5/10)
225.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),在信號(hào)與圖象的邊緣提取中有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。
特性:指數(shù)級(jí)衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率局部化;關(guān)于0軸反對(duì)稱(chēng)。常用的基本小波(6/10)
236.Marr小波(也叫墨西哥草帽小波)
這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),在信號(hào)與圖象的邊緣提取中有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。
特性:指數(shù)級(jí)衰減,非緊支撐;具有非常好的時(shí)間頻率局部化;關(guān)于0軸對(duì)稱(chēng)。常用的基本小波(8/10)
247.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下:常用的基本小波(9/10)
258.Shannon小波在時(shí)域,Shannon小波是無(wú)限次可微的,具有無(wú)窮階消失矩,不是緊支的,具有漸近衰減性但較緩慢;在頻域,Shannon小波是頻率帶限函數(shù),具有好的局部化特性。常用的基本小波
(10/10)269.Battle-Lemarie樣條小波
Battle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形如何理解小波變換
波變換
傅立葉變換(正弦波)、沃爾什變換(方波)窗口變換
短時(shí)傅立葉變換
注意:波變換和窗口變換都是固定基的變換小波變換(任意基)27
典型例子:音樂(lè)->無(wú)線譜:小波變換五線譜->音樂(lè):小波反變換282930小波變換,既具有頻率分析的性質(zhì),又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象(傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì))小波的優(yōu)點(diǎn)小波變換的多分辨率特性,有利于各分辨率中不同特征的提?。▓D象壓縮,邊緣抽取,噪聲過(guò)濾等)31小波特性:小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基,可提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化:
時(shí)間:提取信號(hào)中“指定時(shí)間”(時(shí)間A或時(shí)間B)的變化。顧名思義,小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率:提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化,稱(chēng)較低頻率成分提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化,稱(chēng)較高頻率成分32小波分析的成就
小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶(包括傅里
葉分析、函數(shù)空間等)。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號(hào)處理、圖象分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破,預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來(lái)。33小波分析發(fā)展歷史(1/5)1807年Fourier提出傅里葉分析,1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文341910年Haar提出最簡(jiǎn)單的小波小波分析發(fā)展歷史(2/5)351980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式,用于地質(zhì)勘探小波分析發(fā)展歷史(3/5)361985年Meyer和稍后的1988年Daubeichies提出“正交小波基”,此后,形成小波研究的高潮。MeyerDaubeichies小波分析發(fā)展歷史(4/5)371988年Mallat提出的多分辨度分析(MRA)理論,統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡像濾波,子帶編碼,圖象處理中的金字塔型濾波和地震分析中短時(shí)波形處理等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。當(dāng)在某一個(gè)分辨率檢測(cè)不到的現(xiàn)象,在另一個(gè)分辨率卻很容易觀察處理。小波分析發(fā)展歷史(5/5)38小波分析的應(yīng)用小波變換在數(shù)學(xué)、物理、信號(hào)處理、人工智能、計(jì)算機(jī)圖象處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、生物信號(hào)處理、模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、非線性科學(xué)、地球科學(xué)等二十多個(gè)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。39小波分析用于圖象壓縮
采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后,統(tǒng)計(jì)特性有
改善,消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。
有損壓縮:根據(jù)視覺(jué)原理,不同分辨率小波系數(shù)進(jìn)行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼,如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。無(wú)損壓縮:選擇“整數(shù)小波變換”,無(wú)舍入誤差。但
不能進(jìn)行比特分配。多分辨率信號(hào)處理基礎(chǔ)
傅立葉分析局限性及解決辦法40
小波分析與濾波器組(重點(diǎn))
傅立葉分析及其局限性
Gabor變換(STFT)
小波變換
平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)
與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題小波變換與濾波器組
預(yù)備知識(shí)41
小波變換定義的進(jìn)一步討論
為便于后面討論,將小波變換定義式寫(xiě)為
其中小波基函數(shù)為其母函數(shù)的伸縮平移:式中標(biāo)度因子a的大小直接關(guān)系母波的展寬和縮小小波變換與濾波器組
預(yù)備知識(shí)(續(xù))42如令則上式變?yōu)?/p>
或式中
-2m
是t的標(biāo)度因子
-2-mn是t的平移
-2m/2是歸一化因子,以保證小波變換與濾波器組多分辨率分析43在多分辨率分析中,Mallat引入尺度函數(shù)(小波“父”函數(shù))
(雙尺度差分方程,基本遞歸方程)(4a)
和小波函數(shù)(小波“母”函數(shù)):其中
或
構(gòu)成絕對(duì)可積平方空間的正交基
構(gòu)成向量空間的正交基則
構(gòu)成向量空間的正交基(為的正交補(bǔ)空間)且設(shè)小波變換與濾波器組
多分辨率分析(續(xù))44
小波函數(shù)的重要價(jià)值:它的伸縮平移生成中的一組正交基,從而可將給定函數(shù)進(jìn)行小波分解:其中1)
2)3)
具有如下性質(zhì)與之間存在如下關(guān)系:4)
且5)存在
和
和
分別構(gòu)成和的正交基45小波變換與濾波器組46
子波變換與濾波器組
在實(shí)際應(yīng)用中,不必涉及尺度函數(shù)或子波函數(shù),而只需考慮其系數(shù)和以及等,且其可看作數(shù)字信號(hào)(濾波器)。
分析(Analysis)或分解(Decomposition)
為了直接對(duì)子波變換進(jìn)行工作,下面導(dǎo)出低尺度級(jí)(低分辨率級(jí))與高尺度級(jí)(高分辨率級(jí))之間的關(guān)系.由尺度方程:令,有再令m=2k+n,則上式變?yōu)樾〔ㄗ儞Q與濾波器組47根據(jù),上式變?yōu)?/p>
設(shè),則
或其中即同理重寫(xiě)(8):48↓2↓2式(10)的分解如下圖所示:49
子波變換與濾波器組
綜合(synthesis)或合成(composition)小波變換與濾波器組設(shè),則
或?qū)?4a)和(4b)代入上式,得利用類(lèi)似于上面的方法計(jì)算式(9)和(11)的系數(shù),得
式(12)的合成過(guò)程如下圖所示:50↑2↑251↑2↑2↑2↑2↓2↓2↓2↓2兩級(jí)分解/合成的情況:分析/分解綜合/合成無(wú)混疊條件與精確重建濾波器組無(wú)混疊失真條件
如圖有
其中稱(chēng)為系統(tǒng)整體失真?zhèn)鬟f函數(shù),而稱(chēng)為混疊傳遞函數(shù)。為滿足無(wú)混疊失真條件,必須
A(z)=0
(a)
精確重建濾波器組為精確重建原信號(hào),除無(wú)混疊外,還要求整個(gè)系統(tǒng)既無(wú)幅度失真,又無(wú)相位失真,還必須
(b)
同時(shí)滿足(a)和(b)的濾波器組,稱(chēng)為精確重建濾波器組。
52完全重構(gòu)條件上述討論表明:小波變換可通過(guò)濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)假如信號(hào)x(n)或X(z)經(jīng)小波或子帶分解(分析濾波器組)后又經(jīng)綜合濾波器組合成為x’(n)或X’(z)。則X’(z)可能出現(xiàn)三種失真:混疊失真、相位失真和幅度失真。
-要使整個(gè)系統(tǒng)輸出沒(méi)有混疊失真,須使
G0(z)H0(-z)+G1(z)H1(-z)=o(a)-要使整個(gè)系統(tǒng)輸出沒(méi)有相位失真和幅度失真,須使
G0(z)H0(z)+G1(z)H1(z)=z-k(b)
結(jié)論:滿足(a)和(b)的濾波器組稱(chēng)為無(wú)混疊、無(wú)失真濾波器組或完全重構(gòu)濾波器組、式(a)和(b)稱(chēng)為完全重構(gòu)條件。只滿足(a)或(b)的濾波器組稱(chēng)為無(wú)混疊或無(wú)失真的濾波器組。5354處理單元+
分析濾波器組
綜合濾波器組兩通道濾波器組5556HPLP1-DWaveletTransform57HPLPHPLP1-DWaveletTransform58HPLPHPLP22221-DWaveletTransform59“Real”2-DWaveletTransform60“Real”2-DWaveletTransform“Real”2-DWaveletTransform61HHLLLHHL多分辨率信號(hào)處理基礎(chǔ)
傅立葉分析局限性及解決辦法62
小波分析與濾波器組
傅立葉分析及其局限性
Gabor變換(STFT)
小波變換
平穩(wěn)信號(hào)與瞬變信號(hào)
與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題63與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)(尺度系數(shù)參數(shù)化)
正則性與消失矩
(regularity&vannishingmoments)
M倍(M帶)尺度函數(shù)與小波64與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
工具與定義?
三類(lèi)信號(hào)65與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
工具與定義?
傅氏變換已知定義則(a)變?yōu)榈笞優(yōu)?6與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
定理2:如果是基本遞歸方程的解,且及定理1:如果是基本遞歸方程的解,且,則則當(dāng)時(shí),有
定理3:若是基本遞歸方程的解,且則
基本定理考慮有如下結(jié)論:滿足(17)的濾波器稱(chēng)為正交鏡像濾波器(QMF)。67與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=2時(shí))由定理1和3,即式(13)和(17),有
解得其結(jié)果就是Haar尺度函數(shù)系數(shù),也叫做長(zhǎng)度為2的Dauberchies系數(shù)[Dau92]。68與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=4時(shí))由定理1和3,即式(13)和(17),有解得當(dāng)時(shí),即得長(zhǎng)度為4
的Dauberchies系數(shù):當(dāng)時(shí),則退化為Haar尺度函數(shù)系數(shù)。和69與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)尺度系數(shù)的參數(shù)化(N=6時(shí))
由定理1和3,即式(13)和(17),可得當(dāng),即得長(zhǎng)度為6的Daubechies系數(shù)。當(dāng),則退化為長(zhǎng)度為4的Daubechies系數(shù);而當(dāng),則得Haar系數(shù)。以上結(jié)果可參考C.S.Burrus:Wavelets&WaveletTransform一書(shū)。70與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)
尺度系數(shù)的參數(shù)化(N為一般時(shí))當(dāng)N更大時(shí),尺度系數(shù)h(n)的參數(shù)化更難。一種比較有效的方法是采用P.P.Viadyanathan提出的格型分解方法(見(jiàn)MultirateSystems&FilterBanks,1992)來(lái)計(jì)算。71與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
尺度函數(shù)與尺度系數(shù)(尺度系數(shù)參數(shù)化)
正則性與消失矩
(regularity&vanishingmoments)
M倍(M帶)尺度函數(shù)與小波72與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
正則性與消失矩
K-正則性尺度濾波器尺度濾波器:由基本遞歸方程(尺度方程)得到系數(shù)為h(n)
的濾波器,也就是系數(shù)h(n)滿足定理1和3的,即滿足:K-正則性:如果尺度濾波器的z變換在處具有K
個(gè)零點(diǎn),就說(shuō)該尺度濾波器是K-正則性的。此時(shí),有注意:
這里我們定義了h(n)的正則性,而不是尺度函數(shù)和小波函數(shù)的的正則性其中是尺度系數(shù)h(n)的z變換,而Q(z)在處沒(méi)有零點(diǎn)和極點(diǎn)。73與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
正則性與消失矩(續(xù))
K-正則性尺度濾波器(續(xù))正則性由尺度系數(shù)組成的FIR濾波器傳遞函數(shù)或其頻率響應(yīng)來(lái)定義。而尺度函數(shù)的傅氏變換與系數(shù)為FIR濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系為由此可以可以推斷,因?yàn)槭且粋€(gè)低通濾波器,如果它在處有高階零點(diǎn),則迅速衰減,
從而是平滑的。這正是我們所希望的。74與小波濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)的若干問(wèn)題
正則性與消失矩(續(xù))
k階矩離散k階矩
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