流體運(yùn)動(dòng)的積分方程

§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程§2.4.1基本概念

流體動(dòng)力學(xué)是研究產(chǎn)生流體運(yùn)動(dòng)的原因。為此，我們必須解決三個(gè)方面的問(wèn)題：（1）流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題（如前述）

；（2）作用于流體上各種力的特征（如前述）；（3）控制流體運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律；流體動(dòng)力學(xué)基本方程就是將經(jīng)典牛頓力學(xué)描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運(yùn)動(dòng)各物理量之間的關(guān)系式。系統(tǒng)的基本特點(diǎn)：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運(yùn)動(dòng)；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒(méi)有質(zhì)量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。t’txyz§2.4.1基本概念1、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的團(tuán)體。2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過(guò)，相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，固定不變的任何體積稱為控制體。控制體的邊界，稱為控制面?？刂企w是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間是變化的?？刂企w的形狀可根據(jù)需要而定?！?.4.1基本概念xzyxyzs1s2n控制體的基本特點(diǎn):（1）控制體的邊界相對(duì)于坐標(biāo)系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進(jìn)、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換?！?.4.1基本概念

針對(duì)質(zhì)量

m確定的封閉系統(tǒng)τ，上述基本物理定律可以分別表述為：（1）質(zhì)量方程：

表示：系統(tǒng)τ

中的質(zhì)量

m不隨時(shí)間變化。（2）動(dòng)量方程：

表示：系統(tǒng)受外界作用的合外力等于系統(tǒng)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率?！?.4.2Lagrange型積分方程（3）動(dòng)量矩方程

表示：外界作用于系統(tǒng)上所有外力對(duì)某點(diǎn)力矩之和等于系統(tǒng)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的變化率。（4）能量方程

表示：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量

與外界對(duì)系統(tǒng)所做的功

之和等于該系統(tǒng)的總能量

E

對(duì)時(shí)間的變化率。其中右端括號(hào)內(nèi)為單位質(zhì)量流體所含內(nèi)能和動(dòng)能。

§2.4.2Lagrange型積分方程

上述積分方程稱為拉格朗日型積分方程，其特點(diǎn)是：研究對(duì)象是質(zhì)量確定的封閉系統(tǒng)τ，方程中均含有封閉系統(tǒng)中某物理量對(duì)時(shí)間的變化率。由于流體系統(tǒng)

τ

的大小和形狀均隨時(shí)間而改變，長(zhǎng)時(shí)間追蹤系統(tǒng)有困難。此外要確切表達(dá)系統(tǒng)中物理量隨時(shí)間的變化率也不容易。

有許多流體力學(xué)問(wèn)題往往只關(guān)心物體附近確定區(qū)域內(nèi)的速度、作用力等，并不關(guān)心具體流體系統(tǒng)的時(shí)間歷程，拉格朗日型方程對(duì)于分析、研究流場(chǎng)來(lái)說(shuō)并不方便，因此實(shí)用的是以控制體為研究對(duì)象的

Euler型積分方程?！?.4.2Lagrange型積分方程由質(zhì)量守恒：這就是積分形式的質(zhì)量方程。其意義為：控制體中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量。xyztτs1s2nEuler型積分方程是對(duì)控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運(yùn)方程，可很容易獲得。（1）質(zhì)量方程由雷諾輸運(yùn)方程，取σ＝1，有§2.4.4Euler型積分方程由雷諾輸運(yùn)方程，取

，有：（2）動(dòng)量方程由動(dòng)量守恒原理得：意義為：控制體所受合外力等于控制體中動(dòng)量的增加率加上凈流出控制面的動(dòng)量流量。－積分形式動(dòng)量方程§2.4.4Euler型積分方程由雷諾輸運(yùn)方程，取

，有：（3）動(dòng)量矩方程由動(dòng)量矩守恒原理得：－積分形式動(dòng)量矩方程意義是：控制體所受合外力矩等于控制體中動(dòng)量矩的增加率加上凈流出控制面的動(dòng)量矩流量?！?.4.4Euler型積分方程pdsτn由雷諾輸運(yùn)方程，取

，有：（4）能量方程由能量守恒原理得：－積分形式能量方程意義是：外界對(duì)控制體的傳熱率和凈輸入功率等于控制體中能量的增加率加上凈流出控制面的能量流量。§2.4.4Euler型積分方程我們將系統(tǒng)在初始時(shí)刻占據(jù)的空間設(shè)為控制體，因此在初始瞬間上述對(duì)系統(tǒng)輸入的加熱率和做的功率都可以看成是對(duì)控制體的加熱率和功率。pdsτn其中，外界對(duì)系統(tǒng)做功還可以細(xì)分為：流體機(jī)械通過(guò)軸轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞的功率稱為軸功率（有正負(fù)），表面力對(duì)系統(tǒng)做功以及徹體力對(duì)系統(tǒng)做功。

設(shè)輸入功為正，輸出功為負(fù)，則水泵、風(fēng)機(jī)等輸入正功，渦輪輸入負(fù)功：§2.4.4Euler型積分方程表面力做功還可以分為法向應(yīng)力做功和切向應(yīng)力做功。法向應(yīng)力做功（率）為：切向應(yīng)力做功（率）為：S為控制體的外表面積上式中的表面剪應(yīng)力做功（率）一項(xiàng)可以分以下三種情況來(lái)考慮：§2.4.4Euler型積分方程（1）如果控制面的部分表面為旋轉(zhuǎn)軸表面，則這部分表面上的剪應(yīng)力做的功率已歸入軸功率之中；（2）部分控制面可能為靜止固體表面，因?yàn)閂=0，從而上述剪切應(yīng)力做功為零；（3）控制面表面是流體進(jìn)出的通道，此時(shí)可以通過(guò)適當(dāng)選擇控制面方位和形狀使控制面和流體速度相垂直，即剪應(yīng)力與速度相垂直，從而上述剪切應(yīng)力做功為零；總之，可以適當(dāng)選擇控制面使剪應(yīng)力在控制面上做的功（率）為零：§2.4.4Euler型積分方程徹體力做功（率）為：τ為控制體的體積設(shè)徹體力有勢(shì)：

，有：對(duì)于定常流動(dòng)，第二項(xiàng)由連續(xù)方程為零。第一項(xiàng)由高斯公式：§2.4.4Euler型積分方程從而：整理得：上式就是常用的積分形式的能量方程。代入：§2.4.4Euler型積分方程積分形式質(zhì)量方程的應(yīng)用值得指出：質(zhì)量方程描述流體的質(zhì)量守恒條件，與流體是否受力無(wú)關(guān)，與流體屬性是否有粘性也無(wú)關(guān)。積分形式質(zhì)量方程不描述單獨(dú)點(diǎn)的細(xì)節(jié)，它用在控制體上，甚至允許控制體包含流動(dòng)不連續(xù)的地方，例如以后要介紹的激波等處?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用例：一段輸氣管道直徑150mm，在相距8m的兩個(gè)截面上同時(shí)量取數(shù)據(jù)，流入、流出的重量流量分別為2N/s和1.8N/s，問(wèn)這段管道內(nèi)氣體的平均密度隨時(shí)間的變化率有多大？解：這是一個(gè)非定常問(wèn)題，流入與流出流量不相等必然造成控制體內(nèi)質(zhì)量增加。取這段管道內(nèi)空間為控制體，由積分形式質(zhì)量方程：§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用例：一容積固定為

τ

的容器裝滿鹽水，初始時(shí)刻密度為

ρi，純水（設(shè)水密度為ρw

）流入容器并與其中鹽水充分混合，設(shè)流動(dòng)定常，容器內(nèi)液位恒定，流入與流出的體積流量不變Q1＝Q2＝Q。求（1）容器內(nèi)液體混合物的密度變化率；（2）密度變?yōu)棣褧r(shí)（ρi>ρ>ρw）所需的時(shí)間。解（1）：劃容器內(nèi)部為控制區(qū)。由積分形式質(zhì)量方程：τ=常數(shù)ρwρ§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用解（2）：由上式：§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用關(guān)于積分形式質(zhì)量方程

的進(jìn)一步討論：（1）

當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，ρ＝c(必然為不可壓)，由上式得：Q1S1S2Q2上述積分可用流入與流出的體積流量Q表為：或說(shuō)明：當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入控制體的體積流量與流出的體積流量相等§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用（2）

當(dāng)流動(dòng)為定?？蓧簳r(shí)，有：設(shè)質(zhì)量流量用

表示，得到或說(shuō)明當(dāng)流動(dòng)定常時(shí)，流入控制體的質(zhì)量流量與流出的質(zhì)量流量相等。注意后一式表示流經(jīng)控制面任一截面的流量為常數(shù)?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用說(shuō)明：在密度不變的一維流動(dòng)中，流管的粗細(xì)將反映流速小大。（3）對(duì)于一維流動(dòng)，控制體如圖sV1V2ρ2ρ1A1A2

一維流動(dòng)中，當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入的體積流量等于流出的體積流量，可表為§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用

一維流動(dòng)中，當(dāng)定?？蓧簳r(shí)，流入的質(zhì)量流量等于流出的質(zhì)量流量，可表為：說(shuō)明：在定常一維可壓流動(dòng)中，密度ρ、速度

V與截面積

A的乘積為常數(shù)。

對(duì)

式取微分，可以得到定常一維流動(dòng)質(zhì)量方程的微分形式：§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用積分形式動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程的應(yīng)用

積分形式動(dòng)量方程中的合外力指流體受到的所有形式的外力之和，可以包含徹體力、法向表面力和切向表面力，控制體中的物體對(duì)于流體的作用力也可以單獨(dú)考慮。

一般來(lái)說(shuō)有兩類控制體可供選擇：一類是物體不包括在所取控制體之內(nèi)，而物體的部分壁面構(gòu)成控制面的一部分，例如管道中的流動(dòng)；另一類是控制體將流過(guò)的物體也包括在內(nèi)，例如繞機(jī)翼的流動(dòng)。§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程用于定常、一維管流控制體時(shí)（如圖），可得：p1、ρ1、V1A1A2xyθ1θ2p2、ρ2、V2

對(duì)于物體不包括在內(nèi)的第一類控制體，例如管道，應(yīng)用積分形式動(dòng)量方程的目的主要是求管道受到流體的反作用力Rx、Ry。－Rx－Ry方程左端是控制體內(nèi)流體所受合力在相應(yīng)坐標(biāo)系的投影,可包含管璧對(duì)流體作用力、重力和兩端壓力。§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用設(shè)兩端的壓強(qiáng)分別為p1、p2，管壁對(duì)流體的作用力分量為－Rx、－

Ry

（如上圖），不計(jì)徹體力，從而動(dòng)量方程可寫為（x方向）：即：如此得到的就是管壁受力。當(dāng)求管壁所受純由流動(dòng)引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力時(shí)，由于大氣壓無(wú)合力可不考慮，上式中壓強(qiáng)用表壓。y向同理：§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用

將控制體外部取得離機(jī)翼足夠遠(yuǎn)，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒(méi)有粘性力了，只有壓力的作用，從而x方向表面力為：

對(duì)于如圖的第二類控制體（機(jī)翼被包含在控制體之內(nèi)），主要目的是求物體（機(jī)翼）受力。我們將動(dòng)量方程作些變換和說(shuō)明，得到更常用的形式。設(shè)機(jī)翼受力在三個(gè)方向的分量為Fx、Fy和Fz。則控制體受力的三個(gè)分量為－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用控制體內(nèi)的

x方向徹體力為：從而控制體內(nèi)x方向所受的合外力為：控制體內(nèi)x方向的動(dòng)量隨時(shí)間變化率及凈流出控制面的動(dòng)量流量為：注：連接S和S1雙層面上的面積分為0?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用由動(dòng)量守恒，得：同理：上述方程常常用于定常流動(dòng)的氣體，此時(shí)式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，且徹體力可以忽略。積分形式動(dòng)量方程的一個(gè)重要方面在于人們不需要知道控制體中的流動(dòng)細(xì)節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動(dòng)特性來(lái)求作用力，這個(gè)作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來(lái)求物體受到的阻力等?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用例．有一種尾跡詳測(cè)法可以用來(lái)測(cè)量一個(gè)二維物體的型阻（型阻是由粘性直接和間接造成的物體動(dòng)量法測(cè)型阻

p1、u1p2、u2解：取控制面S

如圖。在上游足夠遠(yuǎn)處氣體流基本上還沒(méi)有受到物體的影響還是直勻流。在下游一定距離處氣流的靜壓已經(jīng)和來(lái)流的靜壓沒(méi)有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。阻力，例如摩擦阻力和壓差阻力）。我們來(lái)看一看要測(cè)哪些量，并怎樣使用積分形式的動(dòng)量方程

?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用

上下兩根流線取在遠(yuǎn)離物體的地方，那里流速和靜壓都和原來(lái)的來(lái)流值一樣。在這個(gè)S面上作用的靜壓既然都是同一個(gè)值，那末壓力做面積分的結(jié)果必是零。上下兩根流線處沒(méi)有摩擦力。

設(shè)定常，不計(jì)徹體力

，則計(jì)算翼型受到的阻力Fx只需計(jì)算越過(guò)控制面的動(dòng)量流量：測(cè)出尾跡區(qū)σ中速度分布即可求出阻力?！?.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對(duì)固定斜板（與水平成θ角）的（1）作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點(diǎn)設(shè)不計(jì)重力和流動(dòng)損失。θb,Vb1,V1b2,V2解：由于是自由射流，射流開(kāi)始處及1、2截面處壓強(qiáng)均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計(jì)重力的伯努利方程可得：V1=V2=V（或認(rèn)為流動(dòng)均勻無(wú)旋，伯努利常數(shù)全場(chǎng)成立）由質(zhì)量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2R§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用（1）求作用力如圖建立坐標(biāo)系，取控制體如圖，假設(shè)控制體受力為R，由

y

向動(dòng)量方程：（注意控制面上大氣壓無(wú)合力）θb,Vb1,V1b2,V2xyR可見(jiàn)θ＝900時(shí)受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用（2）求射流寬度比b1/b2由x向動(dòng)量方程：考慮到：V1=V2=V，有上式與

b=b1+b2

聯(lián)立得：故得射流寬度比：

這也是流量比Q1/Q2θb,Vb1,V1b2,V2xyR§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用（3）求力的作用點(diǎn)e設(shè)力的作用點(diǎn)距y軸的距離為e，設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫氐恼较颍蓜?dòng)量矩方程僅當(dāng)θ＝900

時(shí)合力的作用點(diǎn)才通過(guò)射流中心θb,Vb1,V1b2,V2xyRe§2.4.5Euler型積分方程的應(yīng)用積分形式的能量方程的應(yīng)用將積分形式的能量方程應(yīng)用在進(jìn)出口處流動(dòng)參數(shù)均勻分布且只有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口的控制體上，流動(dòng)定常：1.一維定常流能量方程§2.4.5Eule