第三章矩陣代數(shù)

MATLAB數(shù)學實驗第三章

矩陣代數(shù)

2/6/20231第三章矩陣代數(shù)第三章

矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令3.3計算實驗：線性方程組的通解3.4建模實驗：投入產出分析和基因遺傳2/6/20232第三章矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)線性方程組記為Ax=b2/6/20233第三章矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)線性方程組若秩(A)

秩(A,b)，則無解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系與Ax=b的一個特解之和。2/6/20234第三章矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:A0A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣（AE）行變換（EA-1）2/6/20235第三章矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)特征值與特征向量對于方陣A，若存在數(shù)和非零向量x使Ax=x，則稱為A的一個特征值，x為A的一個對應于特征值的特征向量。特征值計算歸結為特征多項式的求根。特征向量計算：齊次線性方程組 (A-E)x=0的所有一組線性無關解。2/6/20236第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令運算符A’(共軛)轉置,A.’轉置A+B與A-B加與減k+A與k-A數(shù)與矩陣加減k*A或A*k數(shù)乘矩陣 A*B矩陣乘法A^k矩陣乘方左除A\B為AX=B的解右除B/A為XA=B的解 與數(shù)組運算不同與數(shù)組運算相同2/6/20237第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣運算與數(shù)組運算的區(qū)別數(shù)組運算按元素定義，矩陣運算按線性代數(shù)定義矩陣的加、減、數(shù)乘等運算與數(shù)組運算是一致的

注意：矩陣的乘法、乘方、除法與數(shù)組乘法、乘方、除法不同！數(shù)與矩陣加減、矩陣除法在數(shù)學上是沒有意義的。但在MATLAB中有定義。

例子P51-522/6/20238第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特殊矩陣生成zeros(m,n)m行n列的零矩陣;ones(m,n)m行n列的元素全為1的陣;eye(n)n階單位矩陣;rand(m,n)m行n列[0,1]上均勻分布隨機數(shù)矩陣舉例說明2/6/20239第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣處理

trace(A)跡(對角線元素的和)diag(A)

A對角線元素構成的向量;diag(x)向量x的元素構成的對角矩陣.tril(A)A的下三角部分triu(A)A的上三角部分flipud(A)矩陣上下翻轉fliplr(A)矩陣左右翻轉reshape(A,m,n)矩陣A的元素重排成m行n列矩陣

2/6/202310第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣分析

rank(A)秩det(A)行列式;inv(A)逆矩陣;null(A)

Ax=0的基礎解系；null(A,’r’)基礎解系的有理(整數(shù)或分數(shù))形式orth(A)

A列向量正交規(guī)范化norm(x)向量x的范數(shù)（長度，模）norm(A)矩陣A的范數(shù)2/6/202311第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特征值與標準形p=poly(A)返回方陣A的特征多項式eig(A)

方陣A的特征值[V,D]=eig(A)返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為的特征值構成的對角陣，每個特征值對應的V的列為屬于該特征值的一個特征向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似變換矩陣和約當標準形(A的相似對角化)例子P56-572/6/202312第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解

矩陣除法

(1)當A為方陣，A\B結果與inv(A)*B一致；(2)當A不是方陣,AX=B存在唯一解,A\B將給出這個解；(3)當A不是方陣,AX=B為不定方程組(即無窮多解)，A\B將給出一個具有最多零元素的特解；(4)當A不是方陣,AX=B若為超定方程組（即無解）,A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B的范數(shù)達到最小。

2/6/202313第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.1解方程組

2/6/202314第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.2線性方程組通解用rref化為行最簡形以后求解用除法求出一個特解，再用null求得一個齊次組的基礎解系用符號數(shù)學工具箱中的solve求解(第七章)

2/6/202315第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解相似對角化及應用

如果n階方陣A有n個線性無關的特征向量，則必存在正交矩陣P,使得P-1AP=,其中是A的特征值構成的對角矩陣，P的列向量是對應的n個正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無關特征向量已正交化，所以由此容易進行相似對角化。

2/6/202316第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.3

用相似變換矩陣P將A相似對角化，并求>>A=[11/40;01/20;01/41];[P,T]=eig(A)AP=PTP-1AP=TA=PTP-1An=PTP-1PTP-1……PTP-1=PTnP-12/6/202317第三章矩陣代數(shù)3.4建模實驗設有n個經(jīng)濟部門，xi為部門i的總產出，cij為部門j單位產品對部門i產品的消耗，di為外部對部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價值。分配平衡方程組(部門i產品=內部需求+外部需求)消耗平衡方程組(部門j產值=生產消耗+新創(chuàng)造價值)

2/6/202318第三章矩陣代數(shù)列昂杰夫Leontief,Nobel經(jīng)濟學獎

1973年W.W.LeontiefwasaRussian-Americaneconomistnotableforhisresearchonhowchangesinoneeconomicsectormayhaveaneffectonothersectors.LeontiefwontheNobelMemorialPrizeinEconomicSciencesin1973,andthreeofhisdoctoralstudentshavealsobeenawardedtheprize(PaulSamuelson1970,RobertSolow1987,VernonSmith2002).2/6/202319第三章矩陣代數(shù)投入產出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)’,D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’,則分配平衡方程組X=CX+D令A=E－C，E為單位矩陣，則

AX=DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫矩陣。2/6/202320第三章矩陣代數(shù)Y=[1,1,…,1]B（B各列的和）Y表示各部門的總投入(消耗)。新創(chuàng)造價值F=X–Y'B=CB表示各部門間的投入產出關系，稱為投入產出矩陣。注：bij=cijxj2/6/202321第三章矩陣代數(shù)投入產出關系表(行：分配平衡，列：消耗平衡)

消耗部門外界需求總產出123生產部門1b11b12b13d1x12b21b22b23d2x23b31b32b33d3x3新創(chuàng)造價值f1f2f3

總產出x1x2x3注：bij=cijxj2/6/202322第三章矩陣代數(shù)投入產出平衡行：分配平衡X=B各行之和+外界需求列：消耗平衡X=B各列之和+新創(chuàng)造價值2/6/202323第三章矩陣代數(shù)投入產出分析例3.4某地有三個產業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;

生產一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;

創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。2/6/202324第三章矩陣代數(shù)解：這是一個投入產出分析問題。設x1為本周內煤礦總產值，x2為電廠總產值,x3為鐵路總產值,則問三個企業(yè)間一周內總產值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業(yè)間相互支付多少金額？三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?2/6/202325第三章矩陣代數(shù)直接消耗矩陣C=外界需求向量D=產出向量X=則原方程為(E-C)X=D投入產出矩陣為

B=C*diag(X)總投入向量

Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價值向量

F=X-Y’2/6/202326第三章矩陣代數(shù)表3.3投入產出分析表(單位：元)

消耗部門外界需求總產出煤礦電廠鐵路生產部門煤礦0365061558250000102088電廠25522280828332500056163鐵路2552228080028330新創(chuàng)造價值51044140419915

總產出10208856163283302/6/202327第三章矩陣代數(shù)例5設金魚某種遺傳病染色體的正?；驗锳，異?；驗閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設初始分布為90%正常金魚，10%的隱性患者，無顯性患者?？紤]下列兩種配種方案對后代該遺傳病基因型分布的影響方案一：同類基因結合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結合繁殖2/6/202328第三章矩陣代數(shù)后代是從父母體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因型。后代基因型的概率2/6/202329第三章矩陣代數(shù)同類基因結合，均可繁殖；第一種方案2/6/202330第三章矩陣代數(shù)顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結合繁殖第二種方案2/6/202331第三章矩陣代數(shù)基因遺傳矩陣表示2/6/202332第三章矩陣代數(shù)解設初始分布X(1)=(0.90.10)’,第n代分布為X(n)=方案一：X(n)=Mn-1X(1)方案二：X(n)=Nn-1X(1)2/6/202333第三章矩陣代數(shù)結論計算方法：取n足夠大，如n=20方案一：Mn-1X(1)

[0.95,0,0.05]’存在5%的顯性患者方案二：Nn-1X(1)

[1,0,0]’顯性患者和隱性患者都消失本例說明了雜交的優(yōu)勢另一計算方法：用矩陣相似對角化2/6/202334第三章矩陣代