簡單的線性規(guī)劃問題(一)

簡單線性規(guī)劃問題(一)

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題.這類問題在數(shù)學(xué)中將其歸為線性規(guī)劃問題.

線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財(cái)、物、時(shí)、空等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益.它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支,并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)常管理等許多方面的實(shí)際問題.某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件,按每天工作8小時(shí)計(jì)算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?

若生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?問題提出32利潤(萬元)821所需時(shí)間1240B種配件1604A種配件資源限額

乙產(chǎn)品

(1件)甲產(chǎn)品

(1件)產(chǎn)品消耗量資源把引例的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下:設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,數(shù)學(xué)建模0xy4348將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P(x,y)就代表所有可能的日生產(chǎn)安排,當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在上述平面區(qū)域中時(shí)所安排的生產(chǎn)任務(wù)x,y都是有意義的.設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,由己知條件可得:問題：求利潤2x+3y的最大值.若設(shè)利潤為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x,y在滿足上述約束條件時(shí),z的最大值為多少?當(dāng)點(diǎn)P在可允許的取值范圍變化時(shí),0xy4348M（4，2）問題：求利潤z=2x+3y的最大值.問題解決象這樣關(guān)于x,y一次不等式組的約束條件稱為線性約束條件z=2x+3y稱為目標(biāo)函數(shù),(因這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,y的一次式,又稱為線性目標(biāo)函數(shù))在線性約束下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解概念形成N（2，3）即求利潤z=x+3y的最大值.y0x43481.上例中若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?變式訓(xùn)練2.求z=2x+y的最大、小值,使x、y滿足約束條件：3.求z=3x+5y的最大、小值,使x、y滿足約束條件：xOyABCy=x

x+y=1y=-12x+y=0B(-1,-1)C(2,-1)zmin=-3zmax=3

目標(biāo)函數(shù)：z=2x+y例1.營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供

0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,

需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg?規(guī)范解答Oxy7x+14y=614x+7y=67x+7y=5Oxy7x+14y=614x+7y=67x+7y=5M28x+21y=0例2

.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表示：

鋼型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123

今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，則截這兩種鋼板多少張可得所需A、B、C三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？規(guī)格[解]：設(shè)需截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,共需這兩種鋼板共z張，根據(jù)題意可得：作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中所示的陰影部分.x+2y=18277.515180xy2x+y=15x+3y=27Mx+2y=18277.515180xy2x+y=15x+3y=27C(4,8)B(3,9)M例3.一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10000元,生產(chǎn)1車皮的乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元,計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤z萬元.依題意有作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中所示的陰影部分.xyoM容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），則Zmax＝3答：生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元。解線性規(guī)劃問題的步驟：

(3)移:在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用

平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最

大或最小的直線;

(4)求:通過解方程組求出最優(yōu)解；(5)答:作出答案.

(2)畫:畫出線性約束條件所表示的可行域；(1)列:設(shè)變量，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；①先定可行域和平移方向，再找最優(yōu)解.②最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得．③在哪個(gè)頂點(diǎn)取得不僅與B的符號有關(guān),而且還與直線z=Ax+By的斜率有關(guān)．體驗(yàn)方法總結(jié)

某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元,甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺A、B上加工1件甲所需工時(shí)分別為1h、2h，加工1件乙所需工時(shí)分別為2h,1h.A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺時(shí)數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？解設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為Z千元，目標(biāo)函數(shù)為Z＝3x＋2y，滿足的條件是作出可行域如圖陰影部分所示強(qiáng)化練習(xí)Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān).250xyO400200500當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，截距最大，Z最大。M解方程組可得M（200，100）Z的最大值Zmax＝3x＋2y＝800（千元）故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最