第3章恒定磁場chap3

第三章恒定磁場SteadyMagneticField恒定磁場基本方程?分界面上的銜接條件序磁感應(yīng)強度磁通連續(xù)性原理?安培環(huán)路定律磁矢位及邊值問題磁位及邊值問題鏡像法電感磁場能量與力磁路下頁返回Introduction3.0

序?qū)w中通有直流電流時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有電場還有不隨時間變化的磁場，稱為恒定磁場。恒定磁場的知識結(jié)構(gòu)。恒定磁場和靜電場是性質(zhì)完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學(xué)習(xí)本章時，注意類比法的應(yīng)用。下頁上頁返回磁矢位（A）邊值問題解析法數(shù)值法有限差分法有限元法分離變量法鏡像法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算基本實驗定律(安培力定律）磁感應(yīng)強度（B）(畢奧—沙伐定律)H

的旋度基本方程B的散度磁位()分界面銜接條件下頁上頁返回本章要求

深刻理解磁感應(yīng)強度、磁通、磁化、磁場強度的概念。掌握恒定磁場的基本方程和分界面銜接條件。了解磁位及其邊值問題。熟練掌握磁場、電感、能量與力的各種計算方法。了解磁路及其計算方法。下頁上頁返回3.1.1安培力定律(Ampere’sForceLaw)

兩個載流回路之間的作用力F3.1磁感應(yīng)強度MagneticFluxDensity圖3.1.1兩載流回路間的相互作用力下頁上頁返回式中，為真空中的磁導(dǎo)率

磁場力電場力定義：磁感應(yīng)強度單位T（Wb/m2）3.1.2畢奧—沙伐定律、磁感應(yīng)強度

(Biot-SavartLawandMagneticFluxDensity)力=受力電荷電場強度下頁上頁返回力=受力電流磁感應(yīng)強度畢奧－沙伐定律適用于無限大均勻媒質(zhì)。體電流面電流下頁上頁返回線電流當(dāng)時，例3.1.1試求有限長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解:采用圓柱坐標(biāo)系，取電流Idz，式中下頁上頁返回圖3.1.2長直導(dǎo)線的磁場

例3.1.2真空中有一載流為I，半徑為R的圓環(huán)，試求其軸線上P點的磁感應(yīng)強度B

。根據(jù)圓環(huán)電流對P

點的對稱性，解：元電流在P點產(chǎn)生的為圖3.1.3圓形載流回路下頁上頁返回圖3.1.4圓形載流回路軸線上的磁場分布下頁上頁返回根據(jù)對稱性,By=0解：取寬度dx的一條無限長線電流例3.1.3無限大導(dǎo)體平面通有面電流,試求磁感應(yīng)強度B分布。下頁上頁返回圖3.1.5無限大電流片及B的分布3.2磁通連續(xù)性原理?安培環(huán)路定律

表明B

是無頭無尾的閉合線，恒定磁場是無源場。3.2.1磁通連續(xù)性原理(MagneticFluxContinueTheorem)1.恒定磁場的散度可作為判斷一個矢量場是否為恒定磁場的必要條件。MagneticFluxContinueTheorem&Ampere’sCircuitalLaw進行散度運算后圖3.2.1計算體電流的磁場下頁上頁返回2.磁通連續(xù)性原理

表明磁感應(yīng)線是連續(xù)的，亦稱為磁場中的高斯定律。直角坐標(biāo)系3.磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線穿過非閉合面S的磁通單位：Wb(韋伯)根據(jù)有磁感應(yīng)線方程散度定理圖3.2.2B的通量下頁上頁返回磁感應(yīng)線的性質(zhì)：圖3.2.3導(dǎo)線位于鐵板上方圖3.2.4長直螺線管的磁場磁感應(yīng)線是閉合的曲線;磁感應(yīng)線不能相交；磁感應(yīng)強處，磁感應(yīng)線稠密，反之，稀疏。閉合的磁感應(yīng)線與交鏈的電流成右手螺旋關(guān)系；下頁上頁返回圖3.2.5一對反向電流傳輸線圖3.2.6一對同向電流傳輸線圖3.2.7兩對反相電流傳輸線圖3.2.8兩對同向電流傳輸線下頁上頁返回3.2.2安培環(huán)路定律(Apere’sCircuitalLaw)1.恒定磁場的旋度在直角坐標(biāo)系中

（畢奧－沙伐定律）恒定磁場是有旋場（有電流區(qū)）（無電流區(qū)）旋度運算后，得到下頁上頁返回2.真空中的安培環(huán)路定律用斯托克斯定理環(huán)路上的B

僅與環(huán)路交鏈的電流有關(guān)嗎？真空中的安培環(huán)路定律

B的旋度等式兩邊取面積分思考安培環(huán)路電流正負取值，如何判斷？下頁上頁返回根據(jù)對稱性例3.2.1試求無限大載流導(dǎo)板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B。解：定性分析場分布，取安培環(huán)路與電流呈右手螺旋下頁上頁返回圖3.2.9無限大載流導(dǎo)板解：平行平面磁場,例3.2.2試求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。故圖3.2.11安培定律示意圖安培環(huán)路定律下頁上頁返回圖3.2.10同軸電纜得到得到下頁上頁返回圖3.2.12同軸電纜的磁場分布3.介質(zhì)的磁化（magnetization）2）介質(zhì)的磁化無外磁場作用時，介質(zhì)對外不顯磁性，1）磁偶極子(magneticdipole)在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)，Am2

磁偶極矩(magneticdipolemoment)圖3.2.14介質(zhì)的磁化下頁上頁返回圖3.2.13磁偶極子m=IdSdS轉(zhuǎn)矩為Ti=mi×B

，旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。磁化強度（magnetizationIntensity）（A/m）圖3.2.15磁偶極子受磁場力而轉(zhuǎn)動下頁上頁返回3）磁化電流體磁化電流面磁化電流例3.2.3判斷磁化電流的方向。有磁介質(zhì)存在時，場中的B是自由電流和磁化

電流共同作用，在真空中產(chǎn)生的。磁化電流具有與傳導(dǎo)電流相同的磁效應(yīng)。下頁上頁返回4）磁偶極子與電偶極子對比下頁上頁返回模型極化與磁化電場與磁場電偶極子磁偶極子4.有磁介質(zhì)時的環(huán)量與旋度移項后定義：磁場強度

A/m則有安培環(huán)路定律下頁上頁返回圖3.2.16H與I成右螺旋關(guān)系圖3.2.17中三條環(huán)路上的H相等嗎？環(huán)量相等嗎？圖3.2.17H的分布與磁介質(zhì)有關(guān)圖3.2.16中環(huán)路L上任一點的H與I3有關(guān)嗎？有磁介質(zhì)存在時，重答上問。安培環(huán)路定律思考下頁上頁返回圖3.2.16H與I成右螺旋關(guān)系5.B與H的關(guān)系實驗證明，在各向同性的線性磁介質(zhì)中積分式對任意曲面S都成立，則恒定磁場是有旋場6.H的旋度即mr—相對磁導(dǎo)率。斯托克斯定律—磁化率。

H/m磁導(dǎo)率下頁上頁返回

解:在鐲環(huán)中,，為有限值，故H=0。例3.2.4一矩形截面的鐲環(huán)(理想導(dǎo)磁體），鐲環(huán)上繞有N

匝線圈，電流為I，如圖示，試求氣隙中的B和H。取安培環(huán)路的半徑,且環(huán)路與I交鏈，圖3.2.18鐲環(huán)磁場分布忽略邊緣效應(yīng)下頁上頁返回解:平行平面磁場，且軸對稱，故例3.2.5有一磁導(dǎo)率為μ，半徑為a

的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣，磁導(dǎo)率為μ0

，試求B，H

與M的分布。磁場強度下頁上頁返回圖3.2.19磁場分布=下頁上頁返回圖3.2.20場量分布3.3.1基本方程(BasicEquations)構(gòu)成方程恒定磁場的基本方程表示為（磁通連續(xù)原理）（安培環(huán)路定律）恒定磁場的性質(zhì)是有旋無源,電流是激發(fā)磁場的渦旋源。3.3基本方程、分界面銜接條件BasicEquationsandBoundaryCondition下頁上頁返回F2不能表示恒定磁場。F1可以表示恒定磁場。解：例3.3.1

試判斷能否表示為一個恒定磁場？下頁上頁返回3.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.B的銜接條件B的法向分量連續(xù)2.H的銜接條件

H

的切向分量不連續(xù)

(K=0時)

根據(jù)得,由可得根據(jù)下頁上頁返回圖3.3.1分界面上B的銜接條件圖3.3.2分界面上H的銜接條件例.3.3.2分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面情況。圖3.3.3鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面解：3.折射定律媒質(zhì)均勻、各向同性，分界面K=0折射定律

表明只要，空氣側(cè)的B與分界面近似垂直，鐵磁媒質(zhì)表面近似為等磁面。下頁上頁返回即A/mT解:例3.3.3

在兩種媒質(zhì)分界面處，，試求B1，B2與H2的分布。面電流A/m，且A/m，下頁上頁返回圖3.3.4含有K的分界面銜接條件3.4.1磁矢位A的引出

（DefinitionMagneticVectorPotentialA)由

A磁矢位Wb/m（韋伯/米）。3.4磁矢位及其邊值問題MagneticVectorPotentialandBoundaryValueProblem下頁上頁返回3.4.2磁矢位A的邊值問題

（BoundaryValueProblemofA)1.微分方程及其特解（矢量）泊松方程

（矢量）拉普拉斯方程當(dāng)J=0時從基本方程出發(fā)矢量運算取庫侖規(guī)范（Coulomb’sgauge)下頁上頁返回令無限遠處A=0（參考磁矢位），方程特解為矢量合成后，得在直角坐標(biāo)系下，可展開為面電流與線電流引起的磁矢位為下頁上頁返回2.分界面上A的銜接條件a)圍繞P點作一矩形回路，則當(dāng)時,下頁上頁返回圖3.4.1磁矢位A的銜接條件(1)有與對比，b)圍繞P點作一扁圓柱，則表明在媒質(zhì)分界面上磁矢位A

是連續(xù)的。從式(1)、(2)得當(dāng)時，(2)(1)下頁上頁返回圖3.4.2磁矢位A的銜接條件由有對于平行平面場，如長直電流、無限大平板電流產(chǎn)生的磁場等。下頁上頁返回

3.4.3磁矢位A的應(yīng)用（ApplicationofA)1)由磁矢位A求B解:取圓柱坐標(biāo)系圖3.4.3位于坐標(biāo)原點的短銅線例3.4.1試求載流短銅線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度（r

>>l）。由于下頁上頁返回根據(jù)能否用安培環(huán)路定律求解此問題?思考下頁上頁返回例3.4.2應(yīng)用磁矢位A，試求空氣中長直載流細導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場。

解:定性分析場分布，磁感應(yīng)強度下頁上頁返回圖3.4.4長直載流細導(dǎo)線的磁場解:由上例計算結(jié)果,兩導(dǎo)線在P點的磁矢位例3.4.3應(yīng)用磁矢位分析兩線輸電線的磁場?？偟拇攀肝淮鸥袘?yīng)強度下頁上頁返回圖3.4.5圓截面雙線輸電線3)在平行平面場中，等A線就是磁感應(yīng)線。圖3.4.6等A線與B線關(guān)系Wb（韋伯）磁感應(yīng)

線方程(1)(2)下頁上頁返回

2)由磁矢位A

計算磁通在軸對稱場中，為等A

線。式（2）代入式（1）B線方程(1)(2)下頁上頁返回兩線輸電線的等A線方程為偏心圓方程相似圖3.4.7雙線輸電線的磁場等A線下頁上頁返回圖3.4.8雙線輸電線的電場等線通解4)由微分方程求A例3.4.4一半徑為a

的帶電長直圓柱體，J=Jez

，試求導(dǎo)體內(nèi)外的磁矢位A

與磁感應(yīng)強度B。解:采用圓柱坐標(biāo)系，且下頁上頁返回解得通解邊界條件（參考磁矢位）(1)(2)有限值(3)磁感應(yīng)強度下頁上頁返回—磁位A（安培）3.5磁位及其邊值問題MagneticPotentialandBoundaryValueProblem3.5.1磁位(DefinitionMagneticPotential)無電流區(qū)磁位僅適合于無自由電流區(qū)域;等磁位面（線)方程為常數(shù)，等磁位面（線）與磁場強度H線垂直;的多值性。下頁上頁返回則證明:設(shè)B點為參考磁位，推論

規(guī)定:積分路徑不得穿過磁屏障面。圖3.5.1磁位與積分路徑的關(guān)系下頁上頁返回圖3.5.2等磁位線與等電位線的類比圖3.5.3線電流I位于兩鐵板之間的磁場圖3.5.4線電荷位于兩導(dǎo)板之間的電場下頁上頁返回在直角坐標(biāo)系中2.分界面上的銜接條件由（僅適用于無電流區(qū)域）1.微分方程03.5.2磁位的邊值問題(BoundaryValueProblemof)下頁上頁返回解：平行平面磁場,取圓柱坐標(biāo)系例3.5.1設(shè)在均勻磁場H0中放置一長直磁屏蔽管,試求磁屏蔽管內(nèi)磁場分布及屏蔽系數(shù)。通解下頁上頁返回圖3.5.5長直屏蔽管置于均勻磁場中邊界條件（1）（2）（3）（4）用分離變量法，場的對稱性及式（2），得通解(i=1,2,3)下頁上頁返回圖3.5.6長直磁場屏蔽管內(nèi)外磁場的分布磁位屏蔽管內(nèi)磁場H1均勻分布，且與H0

的方向一致。代入其他邊界條件，聯(lián)立求解得N1=0磁場強度下頁上頁返回工程上常采用多層鐵殼磁屏蔽的方法，將進入腔內(nèi)的殘余磁場一次又一次地予以屏蔽。屏蔽系數(shù)磁屏蔽與靜電屏蔽有什么不同？它們對屏蔽的材料各有什么要求？屏蔽管的材料越大，K越小，屏蔽效能越高。導(dǎo)磁管壁越厚，即r1/r2越小，K越小，屏蔽效能高。思考討論下頁上頁返回位函數(shù)比較內(nèi)容引入位函數(shù)依據(jù)位與場的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系電位磁位磁矢位A(有源或無源）(無源）(有源或無源）3.5.3磁位、磁矢位與電位的比較

(Comparisonof、Aand）下頁上頁返回下述兩個場能進行磁電比擬嗎？由于兩種場均滿足拉普拉斯方程，且邊界條件相同，所以可以磁電比擬。思考下頁上頁返回圖3.5.7恒定磁場與恒定電流場的比擬聯(lián)立求解根據(jù)惟一性定理由由3.6鏡像法ImageMethod(1)(2)圖3.6.1兩種不同磁介質(zhì)的鏡像＝下頁上頁返回空氣中鐵磁中磁感應(yīng)強度H2=0

嗎？例3.6.2線電流I位于空氣中，試求磁場分布。解：鏡像電流圖3.6.2線電流I位于無限大鐵板上方的鏡像思考下頁上頁返回磁場分布的特點：解：鏡像電流例3.6.3若載流導(dǎo)體I置于鐵磁物質(zhì)中，此時磁場分布有什么特點呢？圖3.6.3線電流I位于無限大鐵磁平板中的鏡像空氣中的磁場為無鐵磁物質(zhì)情況下的2倍。鐵磁表面近似為等磁位面?？諝庵械拇鸥袘?yīng)線與其垂直。下頁上頁返回3.7電感3.7.1自感（Self-Inductance）回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感。即H（亨利）

L

=內(nèi)自感

Li+外自感L0Inductance求自感的一般步驟：設(shè)A圖3.7.1內(nèi)磁鏈與外磁鏈下頁上頁返回例3.7.1試求圖示長為l

的同軸電纜的自感L。1.內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感

解:磁通內(nèi)自感因此，下頁上頁返回圖3.7.2同軸電纜截面匝數(shù)2.外導(dǎo)體內(nèi)自感圖3.7.3同軸電纜由例3-3知匝數(shù)下頁上頁返回3.外自感

總自感下頁上頁返回設(shè)總自感為總自感解:內(nèi)自感解法一例3.7.2試求半徑為R的兩平行傳輸線自感。圖3.7.4兩線傳輸線下頁上頁返回解法二圖3.7.5雙線傳輸線下頁上頁返回3.7.2互感（MutualInductance）互感是一個回路電流與其在另一個回路所產(chǎn)生的磁鏈之比值，它與兩個回路的幾何尺寸，相對位置及周圍媒質(zhì)有關(guān)。計算互感的一般步驟：設(shè)A可以證明H（亨利）下頁上頁返回圖3.7.6電流I1產(chǎn)生與回路L2交鏈的磁鏈圖3.7.7兩對傳輸線的互感解：設(shè)傳輸線AB帶電，求穿過CD回路的磁鏈導(dǎo)線

B作用合成后導(dǎo)線A作用1)若回路方向相反，互感會改變嗎？它反映了什么物理意義？例3.7.3試求圖示兩對傳輸線的互感。思考下頁上頁返回2)鐵板放在兩線圈的下方,互感增加否？如何計算？

3）鐵板放在兩線圈之間，互感、自感是否增加？4）如何繞制無感電阻？圖3.7.8一塊無限大鐵板置于兩線圈的下方圖3.7.9一塊無限大鐵板置于兩線圈之間圖3.7.10無感線圈下頁上頁返回3.7.3諾依曼公式（Neumann’sFormula）1.求兩導(dǎo)線回路的互感

互感設(shè)回路1通以電流I1，則空間任意點的磁矢位為穿過回路2的磁通為圖3.7.11兩個細導(dǎo)線電流回路下頁上頁返回2.用諾依曼公式計算回路的外自感外自感電流I在l2上產(chǎn)生的磁矢位為與l2交鏈的磁通為設(shè)電流I集中在導(dǎo)線的軸線l1上，磁通穿過外表面輪廓l2

所限定的面積。下頁上頁返回圖3.7.12線圈的自感?媒質(zhì)為線性；?磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射）；?系統(tǒng)能量僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)，與能

量的建立過程無關(guān)。假設(shè)：磁場能量的推導(dǎo)過程3.8.1恒定磁場中的能量（MagneticEnergy）3.8磁場能量與力MagneticEnergyandForce自有能互有能下頁上頁返回由矢量恒等式3.8.2磁場能量的分布及磁能密度

(EnergyDistributionandEnergyDensity)得下頁上頁返回第一項為0由于所以時，

J（焦耳）磁能密度磁場能量是以密度形式儲存在空間中。下頁上頁返回解:由安培環(huán)路定律自感

例3.8.1試求長度為l,通有電流I的同軸電纜儲存的磁場能量與自感。磁能下頁上頁返回圖3.8.1同軸電纜截面3.8.3磁場力(MagneticFieldForce)1.安培力解:定性分析場分布B板的磁場A板受力例3.8.2試求載流導(dǎo)板間的相互作用力。下頁上頁返回圖3.8.2兩平行導(dǎo)板間的磁力2.虛位移法（MethodofFalseDisplacement)電源提供的能量=磁場能量的增量+磁場力所做的功?常電流系統(tǒng)外源不斷提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁場力作功。

n個載流回路中，當(dāng)僅有一個廣義坐標(biāo)發(fā)生位移dg，系統(tǒng)的功能守恒是廣義力即下頁上頁返回?常磁鏈系統(tǒng)磁鏈不變，表示沒有感應(yīng)電動勢，電源不需要提供克服感應(yīng)電動勢的能量廣義力取兩個回路的相對位置坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，求出互有磁能，便可求得相互作用力。兩種假設(shè)的結(jié)果相同，即下頁上頁返回解：系統(tǒng)的相互作用能為用矢量表示為例3.8.3試求圖中載流平面線圈的轉(zhuǎn)矩。選a為廣義坐標(biāo)，對應(yīng)的廣義力是轉(zhuǎn)矩，

T<0表示轉(zhuǎn)矩企圖使a減小，使該回路包圍盡可能多的磁通。下頁上頁返回圖3.8.3外磁場中的電流回路3.法拉第觀點法拉第觀點，通量管沿其軸向方向受到縱張力，垂直方向受到側(cè)壓力,其量值都等于

N/m2圖3.8.7載流導(dǎo)體位于鐵板上方

例3.8.5試判斷物體受力情況。下頁上頁返回圖3.8.5向量管受力圖3.8.6電磁鐵3.9磁路3.9.1磁路的基本概念

(BasicConceptionofMagneticCircuit)利用鐵磁材料制成一定形狀的回路（可包括氣隙），其上繞有線圈，使磁通主要集中在回路中，該回路稱為磁路。MagneticCircuit下頁上頁返回(a)變壓器(b)接觸器(c)繼電器(d)四極電機(e)永磁式電磁儀表下頁上頁返回圖3.9.1幾種常見的磁路1.磁路的基本物理量

磁路物理量：磁通、磁勢Fm、磁壓Um、B、H

電路物理量:電流I、電源Us

、元件電壓UUm的降落方向與H方向一致(2)磁壓UmA（安）(1)磁勢Fm

=NiA（安）Fm的方向與電流i

符合右手定則用類似于電路的方法進行磁路計算。下頁上頁返回2.磁路的基爾霍夫定律磁路的基爾霍夫第一定律

—磁通連續(xù)性原理

設(shè)磁通（即H的）參考方向，若電流與H方向呈右手螺旋，F(xiàn)m取正，否則取負。如圖參考方向下，磁路的基爾霍夫第二定律—安培環(huán)路定律如下頁上頁返回圖3.9.2磁路定律3.磁路的歐姆定律—磁阻，1/H磁阻與磁路的幾何尺寸、磁導(dǎo)率有關(guān)。線性線性磁阻線性磁路非線性非線性磁阻非線性磁路下頁上頁返回圖3.9.3磁阻計算3.9.2線性磁路的計算（無分支、均勻分支、不均勻

分支磁路）(calculationofLinearMagneticCircuit)思路:求磁勢電流磁壓磁阻解:，問電流I＝？并求氣隙的磁壓Um0。,若在磁路中產(chǎn)生例3.9.1

已知磁路L=20cm，截面積，下頁上頁返回圖3.9.4磁壓計算側(cè)柱對稱性解法一:中間柱例3.9.2有一對稱磁路，中間柱截面積為,試求側(cè)柱的磁通。兩側(cè)柱截面積側(cè)柱磁通Wb下頁上頁返回圖3.9.5磁通計算解法二:磁路是對稱的，取其一半，則磁阻磁勢側(cè)柱磁通Wb下頁上頁返回圖3.9.6對稱磁路的磁通計算解:設(shè)磁通方向,求各磁路磁阻

例3.9.3已知氣隙中的磁通為，線圈匝數(shù)為N，鐵心材料磁導(dǎo)率為m,截面積分別為S2和S1,試求電流I。各磁路磁壓下頁上頁返回圖3.9.7磁路計算3.9.3鐵磁質(zhì)的磁特性1.兩種基本的特性曲線

磁滯回線：鐵磁質(zhì)反復(fù)磁化時的B-H曲線。可確定剩磁Br，矯頑力HC，磁能積（BH）等重要參數(shù)。

基本磁化曲線:是許多不飽和磁滯回線的正頂點的連線。圖3.9.9基本磁化曲線圖3.9.8磁滯曲線下頁上頁返回

硬磁材料磁滯回線較寬，充磁后剩磁大。如鐵氧體、釹鐵硼。用于永磁電機、電表、電扇，電腦存儲器等器件中