第4章典型傳播條件下聲傳播

第4章典型傳播條件下聲傳播2本章主要目的運用射線聲學方法討論常見海洋波導的聲傳播規(guī)律。了解聲波在何種海洋波導的可以實現(xiàn)遠距離傳播以及對水聲設備的影響。第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學1、波動表示方法

設點源S靠近海面，視海面為絕對軟平面，根據(jù)鏡反射原理引入虛源S1。P點接收聲壓：4.1鄰近海面的水下點源聲場3第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學

從射線聲學的角度來講，接收點是由直達聲線和海面反射系數(shù)為-1的反射聲線疊加。對于平整海面，為什么可利用平面聲波的反射系數(shù)代替球面波的反射系數(shù)？4.1鄰近海面的水下點源聲場1、波動表示方法4第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學2、聲壓振幅隨距離的變化

假設、，則可得4.1鄰近海面的水下點源聲場5第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學

接收點P聲壓：4.1鄰近海面的水下點源聲場6第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學2、聲壓振幅隨距離的變化（1）聲壓取極大值，且是單個點源的兩倍。直達聲與海面反射聲同相疊加。4.1鄰近海面的水下點源聲場7第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學2、聲壓振幅隨距離的變化（2）聲壓取極小值。直達聲與海面反射聲反相疊加。合成聲壓不等于零，是由于兩者到接收點距離不等。4.1鄰近海面的水下點源聲場8第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學2、聲壓振幅隨距離的變化（3）近場菲涅耳（Fresnel）干涉區(qū)向遠場夫朗和費（Fraunhofer）區(qū)過渡點：近場菲涅耳區(qū)聲壓振幅起伏變化，遠場夫朗和費區(qū)聲壓振幅單調變化。對于非均勻聲速分布，該干涉現(xiàn)象仍存在。4.1鄰近海面的水下點源聲場9第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學3、傳播損失4.1鄰近海面的水下點源聲場10第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學4、非絕對反射海面下的傳播損失海面散射鏡向反射彌漫散射相干波非相干波4.1鄰近海面的水下點源聲場11第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學反射系數(shù)由平均反射系數(shù)給出：

反映海面散射場中相干散射成分的大小，與波浪的垂直位移、聲波頻率和掠射角有關。

4.1鄰近海面的水下點源聲場12第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學4、非絕對反射海面下的傳播損失直達聲與海面反射聲的合成聲場：4.1鄰近海面的水下點源聲場13第4章典型傳播條件下聲傳播水聲學4、非絕對反射海面下的傳播損失14問題：表面聲道如何形成？有何特征？4.2表面聲道（混合層聲道）水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播15聲道形成原因：

由于海洋中湍流和風浪對表面海水的攪拌作用，在海表面下形成一定厚度的溫度均勻的混合層（等溫層）。在層內溫度均勻，壓力隨深度增加，聲速呈正梯度分布。

4.2表面聲道（混合層聲道）水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播16聲道特點：

混合層中，聲線幾乎被完全限制在表面層中傳播，聲線不斷受海面反射，小掠射角聲線在混合層底部不斷發(fā)生反轉，因而，聲信號在表面聲道中可遠距離傳播。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.2表面聲道（混合層聲道）17根據(jù)表面聲道傳播的主要特征，把聲速簡化為線性正梯度分布：

海表面聲速值

海表面混合層的厚度

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1、表面聲道“線性”模型和聲傳播4.2表面聲道（混合層聲道）18水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）反轉深度：在表面聲道中傳播的聲線發(fā)生反轉的深度反轉深度特點：聲線的掠射角

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）1920一般來說在表面聲道傳播的聲線掠射角都是小量，近似可得：根據(jù)折射定律，可得反轉深度水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）臨界角：在表面聲道層深處發(fā)生反轉的聲線，其聲源處和海面處的掠射角最大，稱為臨界角；該聲線為臨界聲線。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）21當聲源處掠射角或海面掠射角的聲線被束縛在聲道內傳播，稱為“聲道聲線”；反之，未被束縛的聲線越出表面聲道，進入深水域中，在傳播時經歷海底反射，有較強的衰減，因而在較遠距離上可被忽略。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播22跨度D：聲線在海面相鄰兩次反射點之間的水平距離。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播231）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）24聲線傳播水平距離公式:

海面掠射角聲線的跨度D：

跨度D與反轉深度的關系

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）由跨度的表達式可知：海面掠射角越大，跨度也越大。

最大跨度：

最小跨度：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播251）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）

假設聲源和接收器位于海面附近，相距為r，有許多不同循環(huán)次數(shù)的聲線（信道的多途）可以到達接收點（特征聲線），它們在海面處的掠射角滿足方程：循環(huán)數(shù)N：聲源與接收點之間所容納不同掠射角聲線跨度數(shù)目。

特征聲線對應的掠射角為：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播261）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）討論：

循環(huán)數(shù)N越大，聲線越接近海面，

循環(huán)數(shù)N越大，相鄰聲線的掠射角越接近，聲線越密集，聲能越集中。聲源輻射到層厚內的聲能量W與掠射角有如下關系為：沿海面?zhèn)鞑サ穆暰€。（聲源均勻輻射）聲源輻射聲能主要集中在海表面層附近，類似于“北京天壇的回音壁”、“夜半鐘聲到客船”。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播271）聲線和參數(shù)4.2表面聲道（混合層聲道）聲線經過微元ds的傳播時間：根據(jù)折射定律，可得：傳播時間：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播282）傳播時間4.2表面聲道（混合層聲道）

跨度的傳播時間：假設聲源與接收器靠近海面，則由源到接收器N次循環(huán)的聲線的總傳播時間近似為：循環(huán)數(shù)為N的聲線掠射角為：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播292）傳播時間4.2表面聲道（混合層聲道）

利用級數(shù)：

討論：最接近海底傳播的聲線（N最?。?，傳播時間最短，最先到達接收點；最靠近海面?zhèn)鞑サ穆暰€（N最大），傳播時間最長，最后到達接收點。即聲線在海面反射的次數(shù)越多，其傳播時間越長。單位時間內到達接收點的聲線數(shù)目隨N增加而增大。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播302）傳播時間4.2表面聲道（混合層聲道）

大西洋實驗記錄：爆炸聲源位于700米深，接收點位于1200米深，兩者相距1880千米。

確定信號的整個持續(xù)時間，只考慮聲道聲線，有：

信號持續(xù)時間與距離成正比。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播312）傳播時間4.2表面聲道（混合層聲道）

在表面聲道中，入射平面波為從海表面向下傳播的聲波，反射平面波為經過反轉點后由深度H向上傳播的波。

32

反射波與入射波之間的相移：深度方向上，傳播路徑引起的相移聲波的反轉引入的相位損失。

在反轉點以上聲場為上行波和下行波之和；在反轉點以下聲場為沿深度方向指數(shù)衰減的非均勻波。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、表面聲道截止頻率4.2表面聲道（混合層聲道）33假設反射波與入射波的模相等，則海面的反射系數(shù)：根據(jù)自由海面邊界條件，反射系數(shù)滿足：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、表面聲道截止頻率4.2表面聲道（混合層聲道）34

根據(jù)折射定理，則傳播路徑引起的相移：表面聲道各階簡正波的臨界頻率：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、表面聲道截止頻率4.2表面聲道（混合層聲道）35當n=0時，可求得表面聲道的截止頻率：表面聲道傳播所允許的最大波長為：注意：這里利用不均勻反射系數(shù)近似表示式所應滿足的邊界條件，推導出表面聲道的截止頻率。波動理論是利用頻散方程的根求得。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、表面聲道截止頻率4.2表面聲道（混合層聲道）36

設表面聲道中有一無方向性點源，在表面聲道中作遠距離傳播聲線掠射角，離點聲源單位距離處，在到范圍內的聲束能量分布在面積上：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、傳播損失4.2表面聲道（混合層聲道）37

在遠距離r處，忽略介質吸收和聲漏射（聲波海面散射引起的），聲束能量分布在高度為H、半徑為r圓柱面積A2上：通過面積A1和A2功率是相同的，則距離r處的聲傳播損失為：r0稱為過渡距離當傳播距離r<r0時，聲波按球面規(guī)律擴展；當傳播距離r>r0時，聲波過渡為柱面規(guī)律擴展。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、傳播損失4.2表面聲道（混合層聲道）38與簡正波方法求解結果比較：表面聲道的傳播損失與簡正波方法求得的淺海均勻聲場傳播損失在形式上一樣。共同點：聲能被限制深度H層內，在遠場符合柱面衰減規(guī)律。不同點：臨界掠射角不一樣，表面聲道掠射角，由聲道參數(shù)a、H和z0來決定；均勻淺海掠射角，由折射率n決定。

若考慮海水介質聲吸收和聲泄漏引起的衰減，聲道的傳播損失為：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、傳播損失4.2表面聲道（混合層聲道）39近距離：

遠距離：

吸收系數(shù)：漏聲系數(shù)：Baker給出的表面聲道TL的經驗公式水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、傳播損失4.2表面聲道（混合層聲道）混合聲道聲強級沿深度的變化：混合層內聲強值大于球面擴展的聲強值，傳播損失小于球面波的傳播損失；在混合層以下聲強小于球面擴展聲強，傳播損失顯著增加；聲波頻率越高，離表面聲道截止頻率越遠，聲道現(xiàn)象越明顯。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播403、傳播損失4.2表面聲道（混合層聲道）411、深海聲道的概念和特點4.3深海聲道（SOFAR聲道）水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播42

聲源位于聲道軸附近時，在一定角度范圍內射出的聲線被限制于聲道內傳播，這部分聲線不經受海面散射和海底反射，聲信號傳播很遠。

受季節(jié)影響小，聲道效應穩(wěn)定。

SOFAR：SOund

FixingAndRanging——聲學定位和測距，利用深海聲道效應可以有效地定位和測距。通常利用若干水聲接收基陣來測量爆炸聲信號的到達時間，來確定爆炸點的位置和距離。例如進行大地測量、確定導彈濺落點的位置。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1、深海聲道的概念和特點4.3深海聲道（SOFAR聲道）43水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播1、深海聲道的概念和特點4.3深海聲道（SOFAR聲道）44

Munk聲速標準分布模型偏離極小值的量級

聲速極小值聲速極小值位置

聲道有效寬度水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、深海聲道典型聲速分布4.3深海聲道（SOFAR聲道）45

Munk聲速標準分布模型

Munk典型數(shù)據(jù)（規(guī)范聲道）

緯度越高，海面水溫受熱小，聲道軸也越淺。我國南海的聲道軸接近1100米。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、深海聲道典型聲速分布4.3深海聲道（SOFAR聲道）46

線性聲速分布模型水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播2、深海聲道典型聲速分布4.3深海聲道（SOFAR聲道）

聲線和信號波形聲線

①偏離聲道軸較遠的聲線，路程最長，但最先到達；②沿聲道軸傳播的聲線，路程最短，但最遲到達；③沿聲道軸傳播聲線最密集，攜帶能量最大。信號波形

多途徑傳播的爆炸信號，接收信號強度由小變大直至峰值，然后突然截止。47與表面聲道聲傳播具有類似規(guī)律。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）48

會聚區(qū)和聲影區(qū)聲源位于海面或接近海底，可形成聲強很高焦散線和會聚區(qū)。

焦散線（面）：鄰近聲線交聚點（線）所形成的包絡線（面）。會聚區(qū)：在海面附近形成高聲強焦散的區(qū)域。

現(xiàn)代聲納，可利用水下聲道的會聚區(qū)來實現(xiàn)遠程探測。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）49MaxRangeDPMaxRangeBBFOM=70dB水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）50MaxRangeDPMaxRangeCZFOM=90dB水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）51

會聚區(qū)和聲影區(qū)聲影區(qū)：反轉折射聲線無法達到的區(qū)域，稱為聲影區(qū)。影區(qū)內，只存在海面和海底的反射聲線，聲強明顯小于會聚區(qū)聲強。

會聚區(qū)寬度隨序號增加而變寬，影區(qū)寬度隨序號增加變窄。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）52水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.3深海聲道（SOFAR聲道）53會聚區(qū)內平均聲強(F.E.Hale,Longrangesoundpropagationindeepocean,JASA,33,456,1961)：

設無指向性聲源的發(fā)射功率為W，形成會聚區(qū)聲源掠射角范圍為，空間會聚區(qū)內總聲功率：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）54會聚區(qū)內平均聲強：

假設水平距離r處的聲線平均掠射角，則垂直聲線方向的環(huán)形截面積等于。聲功率均勻分布在環(huán)面上，則會聚區(qū)的平均聲強：會聚區(qū)的寬度，與會聚區(qū)序號有關。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）55會聚增益：會聚區(qū)聲強與球面擴展聲強之比聲強異常：會聚增益的分貝值球面波擴展損失會聚區(qū)傳播損失聲強異常為球面波損失高于會聚區(qū)損失分貝數(shù)。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）56波動理論解釋：♀會聚現(xiàn)象是焦散線上大量同相簡正波疊加結果；♀同相疊加的簡正波數(shù)目越多，會聚增益越大；

♀會聚增益也與簡正波的深度分布函數(shù)有關，即與深度z有關。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）57聲道基本特征♀反轉聲線的包絡線形成會聚區(qū)；

♀反轉聲線不能到達的區(qū)域形成聲影區(qū)；♀會聚區(qū)與聲影區(qū)交替出現(xiàn)在深海聲道中，隨著傳播距離增加上述現(xiàn)象變得不明顯。射線聲學平均聲強平均聲場焦散線聲場近距離聲場遠距離聲場水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播3、聲道信號和基本特征4.3深海聲道（SOFAR聲道）聲道平均聲場若忽略介質吸收和海面、海底的反射損失，則根據(jù)聚焦因子和聲強：58水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）59聲道平均聲場當水平距離r較大時，在一個跨度范圍內，可認為有四個地方聲強取同一個值，聲線在每一處聲線水平方向波束寬度等于水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）60聲道平均聲場平均聲強為：聲源處聲線掠射角接收處聲線掠射角水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）61聲道平均聲場

如果聲源和接收點的聲速接近相等，則聲強近似等于：

假設聲速分布為線性模型，令聲線為等聲速層內聲線掠射角。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）62聲道平均聲場水平跨度為：對于對稱線性聲速分布：聲強：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）63聲道平均聲場若接收點也位于等聲速層內，則：根據(jù)折射定律，則可推得：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）64聲道平均聲場若的積分上限取到最大值，則：平均聲強不僅是接收點（r，z）的函數(shù)，也是聲源深度z1的函數(shù)。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）65聲道平均聲場

假設聲源也位于等聲速層內，則：一般情況下，有：推導過程對聲源和接收點位置進行了限定。球面擴展向柱面擴展的距離水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）66聲道傳播損失若考慮海水介質聲吸收引起的衰減，聲道的傳播損失為：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4、平均聲場和傳播損失4.3深海聲道（SOFAR聲道）67

特點從聲源出發(fā)的聲線向海底折射，不再反轉回聲源所在的水平面上，與前面介紹的波導傳播情況相反，故稱為反波導傳播。

zcrz1r1r2z存在一個與海面相切的極限聲線；在極限聲線以內為聲亮區(qū)；在極限聲線以外為聲影區(qū)（直射聲線無法達到）。

4.4深海負梯度水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播68水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.4深海負梯度69

幾何作用距離從聲源到觀察點深度影區(qū)邊緣的水平距離。

設聲速分布的相對聲速梯度為a，則幾何作用距離：

通常聲影區(qū)不存在通常意義上的聲線，可引入衍射聲線概念。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.4深海負梯度70

特點聲速顯著減小的水層。聲線通過負躍層時，聲線明顯彎曲，聲強減弱，對聲納作用距離影響很大。聲道模型

負躍層上方介質聲速為，下方介質聲速為，且，負躍層較薄。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.5深海負躍層71

聲線經過負躍層折射后，波陣面展寬，聲強減弱。

zc1rc2H1H2r1rr2設聲源位于層上方，則可求得傳播至層下方水平距離r：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.5深海負躍層72設聲源單位立體角的輻射功率為W，則射線聲學聲強公式為：

若接收點位于負躍層的下方鄰近：

若接收點位于負躍層的上方鄰近，聲線未形成折射：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.5深海負躍層73

經躍變層的傳播損失為：

聲波經過負躍層引起聲能損失

當（相當水溫有10℃以上變化）時，聲源掠射角，則；聲源掠射角，則。水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.5深海負躍層74淺海與深海的劃分原則海底對聲傳播影響的程度來劃分；深?？珊雎院Ｑ蠼缑鎸β晜鞑サ挠绊?；淺海的聲傳播明顯受海面和海底邊界的影響。淺海聲場直達聲和海底、海面反射聲疊加，比深海聲場復雜。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場75淺海平均聲強聲線經多次海面、海底反射，考慮海面、海底反射引入損失，同時也計入海水聲吸收，引入衰減因子：

為海水介質的吸收系數(shù)；為聲線對海底或海面的反射次數(shù)，對于遠距離傳播，海底和海面的反射次數(shù)近似相等；為海底反射系數(shù)；為海面反射系數(shù)。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場76平均聲強：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場77（1）硬底、聲速均勻淺海聲速均勻絕對反射聲線跨度：

平均聲強：

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場78（2）海底有吸收的均勻淺海海底反射系數(shù)：

海底三參數(shù)模型中的Q

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場79（2）海底有吸收的均勻淺?？紤]海底聲吸收，海底聲速為復數(shù)，則可求得：

可由試驗數(shù)據(jù)求得平均聲強：

3/2次方規(guī)律衰減

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場80（3）3/2次方衰減率的適用距離掠射角的最大有效值量級為：

傳播簡正波的總數(shù)：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場81根據(jù)計算平均聲強的要求：

最大距離滿足：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場（3）3/2次方衰減率的適用距離82此時僅有一階簡正波對聲場有貢獻，利用聲場的簡正波解可導出聲強的衰減規(guī)律。經數(shù)學推導：

（4）時聲強衰減率規(guī)律若考慮海面反射損失，則有：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場83傳播損失聲強隨距離衰減平均規(guī)律（1）球面擴展（2）3/2次方衰減率＋介質吸收（3）柱面擴展＋介質吸收＋界面吸收水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場84傳播損失半經驗公式距離參數(shù)km海水深度m混合層厚度m（1）近距離r<R（2）中等距離R<r<8R（3）遠距離r>8R近場異常衰減dB海水吸收系數(shù)dB/km淺海衰減系數(shù)dB/km水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場85淺海聲場的虛源表示射線理論：將海面和海底的反射聲線視為由各自的虛源發(fā)出的聲線，虛源數(shù)目與考慮的聲線反射次數(shù)有關，數(shù)目趨于無窮，則求得淺?？偮晥觥?/p>

（1）硬底均勻淺海假設淺海聲速均勻層深為H，海面為平整自由界面，海底為平整硬界面。

水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場86（1）硬底均勻淺海點源位于坐標處，觀察點位于坐標處，歸一化的直達波聲壓：海底一次反射聲線，它由虛源發(fā)射聲線，與直達聲疊加：水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場87（1）硬底均勻淺海

前面求得的聲壓滿足下界面條件，但不滿足上界面條件。考慮上界面，需引入再兩個虛源和：海底海面海面水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播4.6均勻淺海聲場88（1）硬底均勻淺海

前面求得的聲壓滿足上界面條件，但不滿足下界面條件，恢復下界面對稱性，需再疊加兩個虛源和：海底海面海面海底海底水聲學第4章典型傳播條件下聲傳播