第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1

由原理圖畫功能方框圖2.2

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(系統(tǒng)函數(shù))2.4系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的試驗(yàn)測(cè)定2.5系統(tǒng)的模擬2.1

由系統(tǒng)原理圖畫功能圖為了建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，往往需要由系統(tǒng)的原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立，可以按照?qǐng)D2.1-1的基本步驟進(jìn)行。例2.1-1試由圖2.1-2所示水位控制系統(tǒng)原理圖畫出其功能方框圖，并確定其控制方式。解：由圖2.1-2可知水箱為被控對(duì)象；水位實(shí)際高度Hy為被控量；用水Q2、進(jìn)水壓力、環(huán)境溫度等為擾動(dòng)量；浮子為測(cè)量裝置；電位計(jì)為比較計(jì)算裝置；電動(dòng)機(jī)、變速齒輪、控制閥為執(zhí)行裝置；由于電位計(jì)與電路底板的接點(diǎn)位置與水位的期望高度H

f

相對(duì)應(yīng)，故為被控量。此系統(tǒng)的功能圖如圖2.1-3所示。由圖2.1-3可知，此系統(tǒng)屬于“按偏差調(diào)節(jié)”的閉環(huán)負(fù)反饋控制系統(tǒng)。實(shí)際控制過程如下：當(dāng)用水Q2使水箱的實(shí)際水位高度Hy與期望水位高度H

f出現(xiàn)偏差（由電位計(jì)與電路底板的接點(diǎn)位置設(shè)定），被浮子測(cè)量后，通過杠桿帶動(dòng)比較電位計(jì)的滑動(dòng)觸點(diǎn)，直接改變電動(dòng)機(jī)電樞電壓的極性和大小，經(jīng)過變速齒輪改變進(jìn)水控制閥的開啟或關(guān)閉程度，調(diào)節(jié)進(jìn)水量Q1的大小，使水箱的實(shí)際水位高度H

y

與期望水位高度H

f的偏差減小直至消除，Hy

=H

f時(shí)，使電位計(jì)的滑動(dòng)觸點(diǎn)與電路底板的零電位相等，電動(dòng)機(jī)因電樞電壓為0而停轉(zhuǎn)，系統(tǒng)處于一種新的平衡狀態(tài)。由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的步驟根據(jù)例2.1-1的求解過程，可歸納“

由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖”的步驟如下：1）由系統(tǒng)原理圖確定被控對(duì)象，這是由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的主要矛盾，是關(guān)鍵；2）由被控對(duì)象找到被控量、擾動(dòng)量、控制裝置與給定量；3）對(duì)照三種基本控制方式的功能方框圖模式，即可完成系統(tǒng)功能方框圖的繪制。2.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立由系統(tǒng)的功能方框圖及各功能方框的輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系，可以從入到出建立系統(tǒng)的微分方程組，消去中間變量后，就可得到系統(tǒng)的微分方程。這是一個(gè)最基本的方法，也是最笨的方法。對(duì)于線性系統(tǒng)，還可以利用Laplase變換，把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)閯?dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，通過等效化簡(jiǎn)，消去中間變量，直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；或者把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)樾盘?hào)流圖，通過Mason公式直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。此外，還可用試驗(yàn)測(cè)定的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.2.1基本方法1.一般非線性數(shù)學(xué)模型的線性化一般而言，實(shí)際控制系統(tǒng)的元件都含有不同程度的非線性特性，如果采用非線性微分方程描述系統(tǒng)，就會(huì)導(dǎo)致求解過程的許多困難。因此，只要不是典型的非線性問題，只要分析方法不使系統(tǒng)產(chǎn)生太大的誤差，則允許在一定條件下將一般非線形模型近似為線性模型。小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提條件是：系統(tǒng)僅在平衡工作點(diǎn)附近的小范圍工作；小偏差法的實(shí)質(zhì)是在平衡工作點(diǎn)附近足夠小的范圍內(nèi)，用平衡點(diǎn)的切線來取代原來連續(xù)變化函數(shù)的非線性特性。小偏差法的示意圖如圖2.2-1所示。1）單變量非線性函數(shù)的線性化：若對(duì)連續(xù)的非線性函數(shù)y

=

f（x），在工作點(diǎn)A（x0,y0）附近展成Talor級(jí)數(shù)（2.2-1）考慮y0

=

f（x0），有（2.2-2）令，當(dāng)增量很小時(shí)，可以忽略的高次冪項(xiàng)，有如下近似（2.2-3）2）雙變量非線性函數(shù)的線性化：若是有兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的非線性系統(tǒng)，可以采用與上述單變量線性化基本相同的方法。設(shè)非線性函數(shù)y=f（x1，x2），同樣可在某工作點(diǎn)（x10，x20），用Talor級(jí)數(shù)展開，以同樣的方法可求得Δy≈k1Δx1+k2Δx2（2.2-4）3）注意事項(xiàng)：在上述小偏差線性化過程中，要注意以下幾點(diǎn)①線性化參數(shù)ki的計(jì)算只適于小偏差情況；②入、出變量與系統(tǒng)的實(shí)際變化不能太大；③非線性特性必須連續(xù)可微；④典型非線性化問題需用第7章專門方法。4）應(yīng)用舉例：例2.2-1設(shè)三相橋式可控晶閘管整流電路的輸入為觸發(fā)延遲角，輸出為整流電壓Ud

，二者的非線性關(guān)系為，式中U2為交流電源的相電壓有效值，U0為＝０時(shí)的整流電壓。試對(duì)此表達(dá)式，在參考工作點(diǎn)（α0，Ud0）附近，進(jìn)行局部線性化處理。解：由單變量非線性函數(shù)的線性化方法有ΔUd

=Ud-Ud0≈ksΔ=ks(-0)式中有ΔUd

≈Δ

=ksΔ若按約定省略增量符號(hào)Δ，可得Ud

=

ks

，即：線性化處理后，Ud將隨控制角

的ks倍線性變化。

2.Laplace變換與傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）

1）Laplace變換（詳細(xì)介紹見第5章）：①定義：對(duì)于一個(gè)t

≥

0時(shí)有定義的連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)，若積分在復(fù)變量s的某區(qū)域內(nèi)收斂，則f(t)的單邊拉氏正變換為（2.2-5）其中f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)，復(fù)變量。f(t)的單邊拉氏正變換記為，而f(t)的拉氏逆變換則為，記為

f(t)的單邊拉氏正變換與逆變換構(gòu)成一組變換對(duì)，可以簡(jiǎn)記為。一般，進(jìn)行拉氏正變換時(shí)需：將自變量t→s，將自變量的函數(shù)

f

(小寫)→F

(

大寫)。⑵常用性質(zhì)如下：①線性性質(zhì)：若f(t)=af1(t)+bf2(t)，則F(s)=aF1(s)+bF2(s)（2.2-6）②微分性質(zhì)：若，則

（2.2-7）常用的一階微分性質(zhì)為

（2.2-8）

③終值定理：若

，且存在，則有

（2.2-9）⑶常用的單邊拉氏變換對(duì)如下：①，即；②，即；③，即；④，即。2)用拉氏變換求解線性微分方程用拉氏變換求解線性微分方程，可將系統(tǒng)的微、積分(高等)運(yùn)算簡(jiǎn)化為代數(shù)(初等)運(yùn)算，為工程計(jì)算和分析提供很大的方便①用拉氏變換求解微分方程的步驟·先將系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，計(jì)算中的初始值應(yīng)取系統(tǒng)在t=0-時(shí)的對(duì)應(yīng)值；·再求解代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的象函數(shù)表達(dá)式；·最后將輸出量的象函數(shù)表達(dá)式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反變換（見第5章），即得系統(tǒng)微分方程的時(shí)域解。②應(yīng)用舉例例2.2-3

RC網(wǎng)絡(luò)如圖2.2-3所示，若開關(guān)閉合前，電容的初始電壓為UC(0-)，開關(guān)s在0時(shí)刻瞬間閉合后，試求電容C兩端的電壓uC(t)

。解：開關(guān)S在0時(shí)刻閉合瞬間，網(wǎng)絡(luò)微分方程為（2.2-10）對(duì)式（2.2-10）兩邊取拉氏變換，得（2.2-11）整理（2.2-11）式，可得輸出量的象函數(shù)表達(dá)式（4.2-12）對(duì)（2.2-12）式兩邊求拉氏反變換，得（2.2-13）

（3）傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）一定條件下，拉氏變換可以把系統(tǒng)微分方程變?yōu)閺?fù)變量s的代數(shù)方程，使計(jì)算與分析過程簡(jiǎn)化，并把系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型變?yōu)橄到y(tǒng)的復(fù)頻域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)(

系統(tǒng)函數(shù)

)——

經(jīng)典控制理論中十分重要的常用數(shù)學(xué)模型。①傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）的定義所謂傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數(shù)也可定義為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)單位沖激（脈沖）響應(yīng)的拉氏變換。若一般線性定常系統(tǒng)的微分方程表達(dá)式為：

（2.2-14）

式中：y(t)為系統(tǒng)的輸出量，f(t)為系統(tǒng)的輸入量。在初始狀態(tài)為零時(shí)，對(duì)（4.2-14）式兩邊求拉氏變換得：（2.2-15）即（2.2-16）式（2.2-16）中，Y(s)表示輸出量的拉氏變換，F(xiàn)(s)表示輸入量的拉氏變換，G(s)表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞系數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；多數(shù)情況下，取a

0=1。②關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明·由于拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，而傳遞函數(shù)又是從拉氏變換得來的，因此傳遞函數(shù)的概念只能用于線性定常系統(tǒng)；·傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入信號(hào)以及初始狀態(tài)無關(guān)，但是，改變輸入、輸出信號(hào)的作用點(diǎn)，將會(huì)使同一系統(tǒng)得到不同分子的傳遞函數(shù)（分母不變）；·由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不能直接求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，但是可以通過拉氏反變換由傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)微分方程，再對(duì)系統(tǒng)微分方程求非零初始條件下的拉氏變換，得到零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和的拉氏變換，最后經(jīng)拉氏反變換即可得到零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與完全響應(yīng)；由于系統(tǒng)的慣性及能源的限制，使傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的階次m小于或等于分母多項(xiàng)式的階次n，即

n

≥

m

；·多輸入多輸出系統(tǒng)多變量之間的關(guān)系不可能只用一個(gè)傳遞函數(shù)來表征，必須用傳遞函數(shù)矩陣來表示（詳見第8章）③傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式·真有理分式表達(dá)式——式（2.2-16）在ai

、b

j

均為實(shí)數(shù)，且n＞

m

時(shí)，即為傳遞函數(shù)的真有理分式表達(dá)式，其中

n為系統(tǒng)的階次，分母為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，若n=

m則需用多項(xiàng)式除法把式（2.2-16）（假分式）化為真有理分式與商之和的形式，一般由多項(xiàng)式除法得到的商都與δ(t)信號(hào)有關(guān)；··零、極點(diǎn)表達(dá)式——把式（2.2-16）的分子、分母多項(xiàng)式都分解為單因子因式的乘積，即得到傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式（2.2-17）其中Kg=b0/a0

（a0=1）為系統(tǒng)的傳遞系數(shù)或根增益，

zj為系統(tǒng)的零點(diǎn)，p

i為系統(tǒng)的極點(diǎn)；

·典型環(huán)節(jié)表達(dá)式——式（2.2-16）的分子、分母多項(xiàng)式都可化為典型環(huán)節(jié)的形式，從而得到典型環(huán)節(jié)表達(dá)式（2.2-18）式（2.2-18）的分子中：K為放大環(huán)節(jié)，為一階微分環(huán)節(jié)（可能有幾個(gè)），而二階微分環(huán)節(jié)則為

（也可能有幾個(gè)）；式（2.2-18）的分母中：為積分環(huán)節(jié)（v為整數(shù)，表示積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，v<0時(shí)表示有純微分環(huán)節(jié)），為慣性環(huán)節(jié)（可能有幾個(gè)），為二階振蕩環(huán)節(jié)（也可能有幾個(gè)）；令、，式（2.2-18）可變成式（2.2-17），有

④常見元部件的傳遞函數(shù)

比例（放大）環(huán)節(jié)——結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-4所示，微分方程為（t≥0）式中：K為比例系數(shù)或增益，是一個(gè)常數(shù)。傳遞函數(shù)為(2.2-19)

慣性環(huán)節(jié)——結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-5所示，微分方程為（t≥0）式中T為時(shí)間常數(shù)。傳遞函數(shù)為(2.2-20)

積分環(huán)節(jié)——結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-6所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數(shù)為(2.2-21)例2.2-5

試求圖2.2-7中，通過減速器與輸出軸相連的伺服電動(dòng)機(jī)的輸出軸轉(zhuǎn)角φy與電動(dòng)機(jī)電樞電壓Uf之間的傳遞函數(shù)。解：忽略電磁慣性和機(jī)械慣性的影響，設(shè)初始狀態(tài)為零，由圖2.2-7有電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速,減速器輸出轉(zhuǎn)速可得（2.2-22）式（2.2-22）中：K1、K2為比例常數(shù)，又，代入式（2.2-22)可得：，初始狀態(tài)為零時(shí)，對(duì)此式兩邊求拉氏變換得式中：K=K1·K2，為比例常數(shù)。所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2.2-23）

微分環(huán)節(jié)——微分環(huán)節(jié)有理想微分、一階微分與二階微分三種。理想（純）微分環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-8所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數(shù)為（2.2-24）例2.2-6若測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸出電壓為u(t),轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角為θ(t)，則測(cè)速發(fā)電機(jī)的微分方程為u(t)=Ktω(t)，其中ω(t)=

為所測(cè)轉(zhuǎn)軸的角速度，試求其傳遞函數(shù)。解：在零初始狀態(tài)下對(duì)已知測(cè)速發(fā)電機(jī)的微分方程兩邊求拉氏變換，可得U(s)=KtΩ(s)=KtsΘ(s)（2.2-25）有兩種傳遞函數(shù)為（2.2-26）與（2.2-27）測(cè)速發(fā)電機(jī)兩種傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-9a.和b.所示。

一階微分環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-10所示。微分方程為（2.2-28）式中t≥0，τ為時(shí)間常數(shù)。傳遞函數(shù)為（2.2-29）

二階微分環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-11所示，微分方程為（2.2-30）傳遞函數(shù)為（2.2-31）

振蕩環(huán)節(jié)——結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-12所示，微分方程為（2.2-32）式中：t≥0，T為時(shí)間常數(shù)，為阻尼比。傳遞函數(shù)為（2.2-33）或?yàn)椋?.2-34）式中：

為振蕩環(huán)節(jié)的固有振蕩角頻率。振蕩環(huán)節(jié)的兩個(gè)極點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，單位階躍響應(yīng)為（t≥0）

延遲環(huán)節(jié)——結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-13所示，微分方程形為傳遞函數(shù)為

（2.2-35）3.建立系統(tǒng)微分方程的基本方法1）由微分方程組建立系統(tǒng)微分方程一般線性系統(tǒng)微分方程的建立，大致分為以下三步：①確定輸入、輸出與中間變量：根據(jù)實(shí)際工作情況，確定元件的輸入量（給定量和擾動(dòng)量）、輸出量（被控量，也稱為系統(tǒng)響應(yīng)）與中間變量（輸入、輸出變量以外的變量）；②由系統(tǒng)各部分的動(dòng)態(tài)關(guān)系建立微分方程組；③消除中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程。例2.2-7試對(duì)圖2.2-14所示R、L、C串聯(lián)電路，寫出輸入、輸出電壓之間的微分方程。解：首先確定系統(tǒng)輸入量為輸入電壓ui

(t)，輸出量為輸出電壓uo

(t)，中間變量為電流i(t)。再由KVL及VAR，從入到出列寫電路的微分方程組。最后消去中間變量i(t)，即得到系統(tǒng)的微分方程。代式(2)、(3)入式(1)有,由式(4)有

圖2.2-14R、L、C串聯(lián)電路可得

（2.2-36）令T1=

L

/

R，T2=R.C，則式（2.2-36）可寫成系統(tǒng)微分方程的一般形式如下

（2.2-37）例2.2-8圖2.2-15為某個(gè)彈簧、質(zhì)量和阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)，試寫出外力F

與質(zhì)量m

的位移

x之間的微分方程。解：首先確定輸入量為外力F，輸出量為位移x

，中間變量為加速度a

；再根據(jù)牛頓定律列寫微分方程組，有機(jī)械位移系統(tǒng)

其中F

k和Ff分別為彈簧和粘性阻尼器的反作用力，a為加速度，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為粘性阻尼器的阻尼系數(shù)。最后消去中間變量a

，可得到系統(tǒng)的微分方程。具體過程如下：代式(2)、(3)入式(1)，有,考慮a=

有，即

例2.2-9試求出圖2.2-16所示的他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)電樞電壓與電機(jī)轉(zhuǎn)速之間的微分方程。解：圖2.2-16中R

a為電樞電阻；La為電樞電感；Mm為電動(dòng)機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；ML為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Mo

為擾動(dòng)輸入的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；f1為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)；f2為電動(dòng)機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)；J1為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為負(fù)載轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；1/i=Z1/Z2為變速比。首先確定給定輸入為電樞電壓ua、擾動(dòng)輸入為負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mo

，輸出量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm

；再按電路和牛頓定律列寫微分方程組：有電樞回路電壓平衡方程組為

式中，ia為電樞電流；ea為電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)；Ce為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)矩平衡方程組為

式中，J為折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J=J1+J2/i

2；f為折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上總的粘性摩擦系數(shù)，f

=

f1

+

f2/i

2；Cm為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。最后消去中間變量ea、ia、Mm(t)、ML(t)，可得到系統(tǒng)的微分方程：（2.2-38）在實(shí)際工程中,我國(guó)交流電源的頻率僅為50Hz，使得電動(dòng)機(jī)的電樞電感La很小，一般可以忽略與La有關(guān)的項(xiàng)，這時(shí)式（2.2-38）可簡(jiǎn)化為（2.2-39）式（2.2-39）中，為電動(dòng)機(jī)的時(shí)間系數(shù)，與為電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù)；若再忽略與R

a有關(guān)的項(xiàng)

，則可簡(jiǎn)化為（2.2-40）2）由功能方框圖建立系統(tǒng)微分方程由功能方框圖建立控制系統(tǒng)的微分方程，一般可分為以下三步：·首先由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖，明確輸入、輸出變量與中間變量；·再分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程；·最后消去中間變量，得到總輸出量與輸入量之間的系統(tǒng)微分方程。在列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程時(shí)，要注意信號(hào)傳送的單向性——前一個(gè)方框的輸出是后一個(gè)方框的輸入；要按信號(hào)傳送順序從左到右列寫，且左出=右入、“上式出”為“下式入”。例2.2-10圖2.2-17為閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)原理圖，試寫出該控制系統(tǒng)的微分方程。解：首先由原理圖畫系統(tǒng)功能圖如圖2.2-18所示（未考慮負(fù)載擾動(dòng)），并確定輸入為給定電壓Ug、輸出為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速n，中間變量為Uf、Ud

與Uk

。再由圖2.2-18分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程如下①比較放大：由I1+I2-I3=0有當(dāng)

R01=R02時(shí)，得（2.2-41）式中K1=R12/R01為放大器的反饋放大系數(shù)；

圖2.2-18閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的功能圖

②可控整流放大：Ud=KsUk

（2.2-42）其中Ks為可控整流放大的電壓放大系數(shù)。③直流電動(dòng)機(jī)：在不計(jì)電樞電阻、電感與負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，根據(jù)例2.2-9求出的直流電動(dòng)機(jī)微分方程式（2.2-39）可得：（2.2-43）④反饋環(huán)節(jié)（測(cè)速發(fā)電機(jī)）：由測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓Uf與轉(zhuǎn)速n成正比(見例2.2-6)，有（Ks

f為比例系數(shù)）（2.2-44）最后消去中間變量Uf、Ud與Uk，可得到系統(tǒng)的微分方程：（2.2-46）當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的靜態(tài)方程式為

（2.2-47）2.2.2

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖表示1）組成結(jié)構(gòu)圖的基本單元一般的，控制系統(tǒng)的方框圖由信號(hào)線、比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)）、引出點(diǎn)（測(cè)量點(diǎn)）、方框（環(huán)節(jié)）四種基本單元組成，如圖2.2-19所示?！ば盘?hào)線：帶箭頭的直線，線旁標(biāo)記為傳遞的信號(hào)，箭頭為傳遞方向，如圖2.2-19a.所示；·比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)、和點(diǎn)）：對(duì)兩個(gè)以上信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“+”號(hào)表示相加，“-”號(hào)表示相減，如圖2.2-19b.所示；·引出點(diǎn)（測(cè)量點(diǎn)、分點(diǎn)）：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一個(gè)引出點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同，如圖2.2-19c.所示；·方框（環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)）：方框表示信號(hào)的入、出動(dòng)態(tài)關(guān)系（元部件、子系統(tǒng)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)），方框的輸出信號(hào)為輸入信號(hào)與傳遞函數(shù)的乘積，如圖2.2-19d.所示。2）控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制在建立控制系統(tǒng)的功能圖的基礎(chǔ)上，對(duì)每個(gè)功能的入、出動(dòng)態(tài)關(guān)系式明確后，即可通過拉氏變換得到每個(gè)功能方框的傳遞函數(shù)，用每個(gè)功能方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，功能圖就變成了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。例2.2-11試由圖2.2-17閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的原理圖，畫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：·首先由原理圖畫系統(tǒng)功能圖如圖2.2-18，利用例2.2-10的有關(guān)結(jié)果，即比較放大：；可控整流放大：Ud/

Uk=Ks；直流電動(dòng)機(jī)：；反饋環(huán)節(jié)（測(cè)速發(fā)電機(jī)）：；再分別求拉氏變換（零初始條件下），得到每個(gè)功能方框的傳遞函數(shù)比較放大：；可控整流放大：；直流電動(dòng)機(jī)：；

反饋環(huán)節(jié)（測(cè)速發(fā)電機(jī)）：。最后用每個(gè)方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，即得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖2.2-20所示。由系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，易得閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

Ф(s)=令Kg

=KsK1、Kk

=KsfKsK1

/Ce得Ф(s)=，其中。等效變換應(yīng)遵循的原則是：變換前后信號(hào)傳遞的數(shù)學(xué)關(guān)系不能改變。3）結(jié)構(gòu)圖等效變換的三條基本法則①串聯(lián)相乘：圖2.2-21表示由n個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)。

（2.2-48）②并聯(lián)相加：圖2.2-22表示由n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)。復(fù)合系統(tǒng)的輸入即各子系統(tǒng)的輸入，而復(fù)合系統(tǒng)的輸出則為各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，即(2.2-49)

③回路吸收：反饋回路一般如圖2.2-23a.所示。圖2.2-22n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)由圖2.2-23a.有對(duì)以上(1)、(2)、(3)式消去中間變量E

(s)、B

(s)可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(2.2-50)即：反饋回路的方框圖可吸收為圖2.2-23b.的形式（負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋，正號(hào)對(duì)應(yīng)負(fù)反饋）。一般，G

(s)為前向通道傳遞函數(shù)，H

(s)為反饋通道傳遞函數(shù)，G

(s)H

(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)，Ф(s)為閉環(huán)傳遞函數(shù)。

4）分、和點(diǎn)的等效移動(dòng)①和點(diǎn)的前移：和點(diǎn)從某個(gè)方框的輸出端移到輸入端即和點(diǎn)的前移，如圖2.2-24所示。②和點(diǎn)的后移：和點(diǎn)的后移與前移是可逆的，類似從圖2.2-24b.變換成圖2.2-24

a.，此處不再重復(fù)。③和點(diǎn)之間的移動(dòng)：圖2.2-25給出了兩個(gè)相鄰和點(diǎn)相互交換移動(dòng)的等效變換。

④分點(diǎn)的前移：分點(diǎn)從某個(gè)方框的輸出端移到輸入端即分點(diǎn)的前移，如圖2.2-26所示。⑤分點(diǎn)的后移：分點(diǎn)的后移與分點(diǎn)的前移是可逆的，即由圖2.2-26b.變換成

a.，此處不再重復(fù)。

⑥分、和點(diǎn)的易位：由于分、和點(diǎn)易位會(huì)增加系統(tǒng)的分、和點(diǎn)數(shù)目，使問題更加復(fù)雜，除非必需，一般不采用這種變換。圖2.2-27給出了分、和點(diǎn)易位的等效變換，以備必需。5）應(yīng)用舉例例2.2-12應(yīng)用結(jié)構(gòu)圖等效變換方法求取圖2.2-28的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：由題，按照先串、并，后吸收，依次由內(nèi)向外的變換過程如圖2.2-29所示

2.2.3

信號(hào)流圖與Mason公式1.

信號(hào)流圖1）信號(hào)流圖的表示與傳輸規(guī)則：

系統(tǒng)的信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和有向線段組成，是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的一種簡(jiǎn)化表示形式，具有與結(jié)構(gòu)圖相同的等效化簡(jiǎn)法則。在信號(hào)流圖中，用節(jié)點(diǎn)來表示信號(hào)（通常用小圓圈表示），用有向線段來表示信號(hào)的傳輸方向和傳輸關(guān)系。由于節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此一個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)流圖并不是唯一的，可以有多種畫法。信號(hào)流圖的表示與傳輸規(guī)則如圖2.2-32所示。（2）信號(hào)流圖的常用術(shù)語·源節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）：只有輸出支路的輸入節(jié)點(diǎn)，表示整個(gè)系統(tǒng)的輸入變量（圖2.2-33的x1）。·匯節(jié)點(diǎn)（匯點(diǎn)）：只有輸入支路的輸出節(jié)點(diǎn)，表示整個(gè)系統(tǒng)的輸出變量（圖2.2-33的x6）。混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，表示系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。圖2.2-33中的x2、x3、x4、x

5都是混合節(jié)點(diǎn)，混合節(jié)點(diǎn)具有“先入后出”或“先和后分”的特點(diǎn)?！で跋蛲ǖ溃ㄇ跋蛲罚盒盘?hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的所有傳遞通路，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在一條通道中最多只能被通過一次。在圖4.2-33中，從源點(diǎn)x1到匯點(diǎn)x

2共有兩條前向通道，分別為x

1→x

2→x

3

→x

4

→x

5

→x

6和x

1→x

2→x

5

→x

6?！きh(huán)路（回路）：如果通道的起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，并且與途經(jīng)的其余節(jié)點(diǎn)只相遇一次，則稱該通路為環(huán)路或回路。互不接觸環(huán)路：無公共節(jié)點(diǎn)或支路的環(huán)路。前向通道增益（通道增益）：前向通道途經(jīng)各支路傳輸增益(含符號(hào))的乘積，常用p

k

表示。環(huán)路增益：環(huán)路途經(jīng)各支路傳輸增益（含符號(hào)）的乘積，通常用Li

表示。2.由結(jié)構(gòu)圖→信號(hào)流圖1）信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2.2-34所示。2）由結(jié)構(gòu)圖→信號(hào)流圖利用信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。例2.2-14將圖2.2-35a所示的結(jié)構(gòu)圖畫為信號(hào)流圖。解：利用圖2.2-34中信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接畫出信號(hào)流圖如圖2.2-35b.所示。a.原結(jié)構(gòu)圖b.對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖圖2.2-35由結(jié)構(gòu)圖→信號(hào)流圖3.Mason公式及其應(yīng)用利用Mason公式，可由信號(hào)流圖求出系統(tǒng)的傳輸函數(shù)Ф(s)。1）Mason公式：

(2.2-52)式中，(2.2-53)為系統(tǒng)信號(hào)流圖的特征式；表示信號(hào)流圖中所有回路的傳輸函數(shù)之和；表示信號(hào)流圖中所有兩個(gè)互不接觸回路的回路傳輸函數(shù)的乘積之和；表示所有三個(gè)互不接觸回路的回路傳輸函數(shù)的乘積之和；p

k

表示第k條前向通道的傳輸函數(shù)，共m條（m≥1）；是中除去所有與第k條前向通道相接觸的回路所在的項(xiàng)以后的余式。2）Mason公式的應(yīng)用例2.2-16試求出圖2.2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(混合節(jié)點(diǎn)為“先和后分”)。解：由圖可知，此系統(tǒng)信號(hào)流圖共有兩條前向通道，即

p1=abcde,p2=kde；共有6個(gè)回路，回路增益分別為L(zhǎng)1=-af、L

2=-bg、

L

3=-ch、L

4=-di、L

5=-ej、L

6=-khgf；共有7對(duì)兩不接觸回路，即L1

L3、L1

L4、L1

L5、L2

L4、L2

L5、L3

L5、L5

L6；只有一組三不接觸回路，即L1

L3

L5；且所有回路均前向通道p1有接觸，使Δ1=1；但回路L2與前向通道p

2沒有接觸，使Δ2=1-L2=1+bg；得

Δ=1-L1-L2-L3-L4-L5-L6+L1

L3+L1

L4+L1

L5+L2

L4+

+L2

L5+L3

L5+L5

L6-L1

L3

L5即Δ=1+af+bg+ch+ch+ej+khgf

+

afch+afdi+afej+

+bgdi+bgej+chej

+ejkhgf+afchej由Mason公式有Ф(s)=由此例可知，Mason公式在遇到系統(tǒng)有多條前向通道，有多個(gè)回路，而且回路與回路之間、回路與通道之間存在互不接觸情況時(shí)，必須仔細(xì)確定pk、k和。，

2.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）2.3.1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在圖2.3-1中，如果斷開H(s)輸出端與和點(diǎn)的連接，則稱前向通路與反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，即：開環(huán)傳遞函數(shù)=B(s)/E(s)。由圖2.3-1及回路吸收法則可知：當(dāng)干擾N(s)不作用時(shí)，

Ф(s)=其中Ф(s)的分母為：（2.3-1）式（2.3-1）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征式。

2.3.2系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1.輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)在圖2.3-1中，當(dāng)干擾N(s)不作用時(shí)，圖2.3-1可化為圖2.3-2a。由圖2.3-2a.可得：（4.3-2）

為輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)輸出對(duì)輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)。2.干擾信號(hào)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)在圖2.3-1中，當(dāng)輸入F(s)不作用時(shí)，圖2.3-1可化為圖2.3-2b。由圖2.3-2b.可得:（2.3-3）為干擾信號(hào)作用下系統(tǒng)輸出對(duì)干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)。３）系統(tǒng)的總輸出利用線性系統(tǒng)的疊加原理，由式（2.3-2）和式（2.3-3）可得到系統(tǒng)總輸出為各外作用下輸出的總和，即

（2.3-4）2.3.3系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，不僅要研究輸入和干擾信號(hào)對(duì)輸出信號(hào)的影響，還要研究控制過程中輸入和干擾信號(hào)對(duì)誤差的影響，研究誤差信號(hào)的變化規(guī)律。穩(wěn)態(tài)誤差的大小直接反映了系統(tǒng)的控制精度。在圖2.3-1中，誤差函數(shù)

E(s)=R(s)-B(s)（2.3-5）1.輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在圖2.3-1中，當(dāng)干擾N(s)不作用時(shí)，圖2.3-1可化為圖2.3-3a。由圖2.3-2a可得：（2.3-6）

為輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)誤差對(duì)輸入的傳遞函數(shù)。2.干擾信號(hào)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在圖2.3-1中，當(dāng)輸入

F(s)不作用時(shí)，圖2.3-1可化為圖2.3-3b(由于圖2.3-1中的負(fù)反饋符號(hào)不宜越過和點(diǎn)，故保留在H(s)方框內(nèi))。由圖2.3-3b可得ФEN(s)（2.3-7）ФEN(s)

為干擾信號(hào)作用下系統(tǒng)誤差對(duì)干擾的傳遞函數(shù)。3.系統(tǒng)的總誤差利用線性系統(tǒng)的疊加原理有系統(tǒng)的總誤差E(s)=ФEF(s)F(s)+ФEN(s)N(s)