第一章隨機(jī)事件及概率

第一章概率論的基本概念

1理解隨機(jī)事件的概念，了解樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系和運(yùn)算。2理解概率的定義，掌握概率的基本性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算。3理解條件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算。4理解事件的獨(dú)立性概念，掌握應(yīng)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。5掌握伯努利概型及其計(jì)算。第一節(jié)基本概念一.必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）的現(xiàn)象；條件不能完全決定結(jié)果，每次觀察所發(fā)生的結(jié)果可能是不同的。

二.隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)特點(diǎn)：1.可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，且可以預(yù)知一切可能的結(jié)果的取值范圍；3.試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

例子：：擲一個(gè)骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)；：抽查市場(chǎng)某些商品的質(zhì)量，檢查商品是否合格；：觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)；：已知某物體的長(zhǎng)度在a和b之間，測(cè)量其長(zhǎng)度；：對(duì)某個(gè)燈泡作實(shí)驗(yàn),觀察其使用壽命

2.隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。其特點(diǎn)：事前不能夠預(yù)言其結(jié)果的事情。常用大寫字母A,B,C等表示事件例1.1：拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣

例2.1：袋中有10個(gè)大小相同的小球，編號(hào)從0到9，每次從袋中取出一球，看編號(hào)。

基本事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果是事件，因?yàn)檫@種事件不可能再分解為更簡(jiǎn)單的事件，所以我們稱這種事件為基本事件。b.復(fù)合（一般）事件：由若干基本事件復(fù)合而成。c.在一次試驗(yàn)中，一個(gè)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所含的一個(gè)基本事件發(fā)生；一個(gè)事件不發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所含的所有事件都不發(fā)生

三、事件的集合表示，樣本空間

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能的結(jié)果為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為：樣本空間：由全體樣本點(diǎn)組成的集合。記為：。例：

四.事件的關(guān)系與運(yùn)算

1、事件的集合論定義：a.隨機(jī)事件：樣本空間中滿足某些條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集稱為隨機(jī)事件，通常用A,B,C……表示；b.基本事件：只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件；c.必然事件：樣本空間本身也是事件；d.不可能事件：空集中不含樣本空間的任何元素，它叫不可能事件。直觀意義與集合論定義比較

符號(hào)集合論解釋概率論解釋

空間必然事件、樣本空間空集不可能事件點(diǎn)（元素）基本事件、樣本點(diǎn)

A的子集A事件A是A中的點(diǎn)事件A發(fā)生不是A中的點(diǎn)事件A不發(fā)生

2.事件的包含關(guān)系

（1）事件的包含：若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，即A中每個(gè)樣本點(diǎn)都屬于B,則稱A包含于B,記為

（2）事件的相等：若且，則稱A與B相等，記為A=B。

3、和事件事件的和（并）：事件A發(fā)生或者B發(fā)生，稱為A與B的和（并）事件，記。

推廣：事件至少發(fā)生其一：事件的至少發(fā)生其一：

4、交事件（積事件）事件的交(積)：事件A與B都發(fā)生，稱為A與B的積（交）事件，記為。推廣：事件同時(shí)發(fā)生：

事件同時(shí)發(fā)生：

5、差事件：事件A發(fā)生但B不發(fā)生稱為A與B之差，記為A-B

6、互斥（不相容）事件：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱A與B為互斥事件.7、互逆事件：若且則稱A與B為互逆事件.記

符號(hào)集合論解釋概率論解釋A是B的子集事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生A=B集合A與B相等兩事件A與B相等A的補(bǔ)集A的對(duì)立事件

A與B的交集事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的和集事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生

A-BA與B的差集事件A發(fā)生但B不發(fā)生A與B沒(méi)有公共點(diǎn)事件A與B互不相容

8、事件運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律

摩根定律（對(duì)偶律）

否定律冪等律第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

一.概率的統(tǒng)計(jì)定義定義1.1在n次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了m次，則稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻率，記為頻率的穩(wěn)定性：對(duì)于每個(gè)事件A，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的逐漸增大，頻率逐漸穩(wěn)定于某一固定常數(shù)。

概率的統(tǒng)計(jì)定義：在同樣的條件下進(jìn)行大量試驗(yàn)時(shí)，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，事件Ａ的頻率必然穩(wěn)定在某一個(gè)確定數(shù)ｐ的附近則，定義事件Ａ的概率為P(A)=p二、古典概型1、定義如果隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述三條：(1)試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)有限，即樣本空間為(2)基本事件兩兩互不相容(3)基本事件發(fā)生的可能性相等。我們稱具有以上兩特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的概率模型為古典概型

定理2.1在古典概型中，設(shè)樣本空間有n個(gè)樣本點(diǎn)，A是的事件且A中有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率為例2.1、袋中有10個(gè)小球，4個(gè)紅的，6個(gè)白的，按下述兩種取法連續(xù)從袋中取3個(gè)球，分別求下列事件的概率：A=“3個(gè)球都是白的”，B=“2個(gè)紅的，一個(gè)白的”.

抽取方案(1)每次抽取一個(gè)，看放回袋中；然后再抽取下一個(gè)(有放回抽樣)(2)每次抽取一個(gè)，不放回袋中；然后在剩下的小球中再抽取下一個(gè)(不放回抽樣)

概率計(jì)算要點(diǎn)給定樣本點(diǎn)，并計(jì)算出它的總數(shù)再計(jì)算有利場(chǎng)合的數(shù)目

2、基本的組合分析公式

a.兩條原理

乘法原理：若進(jìn)行過(guò)程有種方法，進(jìn)行過(guò)程有種方法，則進(jìn)行過(guò)程后接著進(jìn)行過(guò)程共有種方法。

加法原理

：若進(jìn)行過(guò)程有種方法，進(jìn)行過(guò)程有種方法，假定過(guò)程與過(guò)程是并行的，則進(jìn)行過(guò)程或過(guò)程的方法共有種。

b.排列：(1)在有放回選取中，從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素進(jìn)行排列，這種排列稱為有重復(fù)的排列，其總數(shù)共有種。(2)在不放回選取中，從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素進(jìn)行排列,其總數(shù)為這種排列稱為選排列.當(dāng)r=n時(shí),稱為全排列.(3)n個(gè)元素的全排列數(shù)為

c.組合

（1）從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素而不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為（2）若，把n個(gè)不同的元素分成k個(gè)部分，第一部分個(gè)，第二部分個(gè)，…,第k部分個(gè)，則不同的分法有種。（3）從n個(gè)元素中有重復(fù)地取r個(gè)，不計(jì)順序，則不同的取法有種，這個(gè)數(shù)稱為有重復(fù)組合數(shù)。例2.2麥克斯韋爾-波爾茲曼點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題:有m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)等可能地落入N個(gè)格子里（每個(gè)格子可容納的質(zhì)點(diǎn)數(shù)不限），試求P(A),P(B).1)A=“m個(gè)質(zhì)點(diǎn)落入同一個(gè)格子里”；2)B=“m個(gè)質(zhì)點(diǎn)落入不同的m個(gè)格子里”

例2.3.口袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外其它方面無(wú)差別，現(xiàn)把球隨機(jī)地一只只摸出來(lái)，求第k次摸出一只球是黑球的概率例2.4將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問(wèn)1）每個(gè)班級(jí)各分配到一個(gè)優(yōu)秀生的概率是多少？2）3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？例2.5某接待站在某一周接待過(guò)12次來(lái)訪，已知所有這些接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

四、概率定義及性質(zhì)1定義2.3：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)滿足下列條件（1）非負(fù)性：對(duì)于任一事件A，有（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S)=1（3）可列可加性：設(shè)為兩兩不相容(互斥)事件，則有

2、概率的一些重要性質(zhì)1）2）有限可加性：設(shè)為n個(gè)兩兩不相容事件，則有

3）減法公式：若，則P(B-A)=P(B)-P(A),推論1.若，則推論2.對(duì)任一事件A，4）逆事件的概率:對(duì)于任一事件A，有

5）加法公式：對(duì)于任兩個(gè)事件A,B，則推廣：對(duì)任意n個(gè)事件,有

例2.6：設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，，求例2.9：某城市共發(fā)行A,B,C三種報(bào)紙，調(diào)查表明居民家庭中訂購(gòu)C報(bào)的占30%，同時(shí)訂購(gòu)A,B兩報(bào)的占10%,同時(shí)訂購(gòu)A,C及B,C兩報(bào)的各占8%，5%，三報(bào)都訂的占3%.今在該城中任找一戶，問(wèn)該戶(1)只訂A、B兩報(bào)；(2)只訂C報(bào)的概率各為多少？第三節(jié)條件概率一.條件概率(conditionalprobability)的定義定義.3.1設(shè)A,B為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。

例3.1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設(shè)事件A為“至少有一次為正面”，事件B為“兩次擲出同一面”。求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

定理3.1設(shè)A為一給定的事件，且P(A)>0，則關(guān)于條件概率成立（1）非負(fù)性：對(duì)任意的事件B，；（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：若是一列兩兩互不相容的事件，有

定理3.2若P(A)>0，對(duì)于事件A發(fā)生下的條件概率成立(1)(2)若兩兩互不相容,則(3)對(duì)任意事件B，成立(4)若，則P(B-C|A)=P(B|A)-P(C|A)

(5).對(duì)任意事件B、C，成立一般地，對(duì)任意有限個(gè)事件，成立

例3.2.一個(gè)盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣。設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P(B|A).

二.乘法公式定理3.3對(duì)于任意的事件A,B,若P(A)>0，則

P(AB)=P(A)P(B|A)上式稱為事件概率的乘法公式。推論：設(shè)是n個(gè)事件，，且，則有例3.4.袋中有r個(gè)紅球，t個(gè)白球，每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回，并再加入同顏色、同型號(hào)的小球a個(gè)。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、第二次取到紅球、第三次、第四次取到白球的概率.

三.全概率公式定義3.2設(shè)S為某隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，

為E中一組事件，若滿足：(1)互不相容性：(2)完全性：則稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，或是一個(gè)完備事件組。

定理3.4設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件，為E的一個(gè)劃分，且，則有(全概率公式）

例3.5：某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)元件制造廠次品率提供元件的分額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志，在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率。

四.貝葉斯公式定理3.5：設(shè)構(gòu)成樣本空間S的一個(gè)劃分，且,A是任一事件,且P(A)>0,則有(貝葉斯公式）例3.6在例3.5中，在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取出一元件，若已知取到的是次品，為分析該次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生廠的概率分別是多少，試求這些概率選擇。

例3.7對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，其合格率為55%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？

第四節(jié)事件的獨(dú)立性一.兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義4.1：設(shè)A,B為同一樣本空間中的兩事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B互相獨(dú)立。例4.1：一口袋中裝有a只黑球，b只白球，采用有放回摸球，求：1）在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率；2）第二次摸出黑球的概率。定理4.1：若P(A)>0,則事件A,B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B|A)=P(B)注：1）零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的；2）A,B相互獨(dú)立，必有B,A相互獨(dú)立。定理4.2：設(shè)兩事件A,B互相獨(dú)立，則

A與，與B，與各對(duì)事件也分別互相獨(dú)立。

例4.3：甲乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，求每人射擊一次后，目標(biāo)被擊中的概率。

二.多個(gè)事件的獨(dú)立性定義4.2：設(shè)是n個(gè)事件，如果對(duì)其中任意兩個(gè)