第2章剛體力學(xué)

質(zhì)元之間的距離保持不變。mimj(理想模型)有質(zhì)量沒有大小和形狀的點(diǎn)---質(zhì)點(diǎn)在任何情況下大小和形狀都不發(fā)生變化的物體---剛體(理想模型)第二章剛體力學(xué)1平動(dòng)：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式平動(dòng)---剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表整個(gè)剛體的平動(dòng)一、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)22.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).這條直線叫轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。OO’轉(zhuǎn)軸3剛體的一般運(yùn)動(dòng)既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)4轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的位移、線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量方便。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述5r角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反方向單位：rad/s26質(zhì)元的線量與角量的關(guān)系：7轉(zhuǎn)動(dòng)的物體具有動(dòng)能，其值等于各個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能的總和J是衡量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Mr2-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量8質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量國(guó)際單位制中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為千克·米2（kg·m2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與什么因素有關(guān)：剛體的質(zhì)量質(zhì)量的分布轉(zhuǎn)軸的位置9注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布10例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細(xì)圓環(huán)RJ是可加的，所以若為薄圓筒,結(jié)果相同。11例2求質(zhì)量為m、半徑為R、高為l

的均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸為圓柱體軸線。解：取半徑為r高為l厚為dr的圓筒,可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。12例3.求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrdZZ13YXZORrdZZ14例4、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如圖坐標(biāo)dm=dx15平行軸定理前例中JC表示相對(duì)通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。16例5.求右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、球半徑為R）171、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)任意方向的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)方向如圖單位：?！っ祝∟·m）18

將切向分量式兩邊同乘以

,2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律19剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。地位相當(dāng)20轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例例1一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mg21mg解：22ABF解：水平恒力F對(duì)過A端的豎直軸的力矩為23例2質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的水平勻質(zhì)細(xì)桿AB能自由地繞通過其A端的豎直軸旋轉(zhuǎn)。從某一時(shí)刻起,在B端作用一個(gè)水平恒力F，該力在所有的時(shí)間內(nèi)總是垂直于桿靜止時(shí)的初始位置。求桿的角速度和它從初始位置轉(zhuǎn)過的角的函數(shù)關(guān)系。對(duì)上式求積分ABF由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有24例3、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)在要制動(dòng)飛輪(勻質(zhì)圓環(huán))，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.2。求:(1)從制動(dòng)開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)這段時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)?(2)閘瓦對(duì)飛輪的壓力N為多少？F025解(1)從制動(dòng)開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng),飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)

0Nfr26飛輪轉(zhuǎn)了41.67轉(zhuǎn)．(2)閘瓦對(duì)飛輪的壓力N0Nfr27根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律已知:m＝69kg,R＝0.25m，μ=0.2,=-20.9rad/s2力矩做功是力做功的角量表達(dá)式.力矩的瞬時(shí)功率對(duì)比：四、力矩的功28

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。對(duì)比：當(dāng)θ=θ1時(shí)，ω=ω1；

θ=θ2時(shí)，ω=ω2所以：五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理29剛體的重力勢(shì)能是組成它的各個(gè)質(zhì)元的重力勢(shì)能之和.1、剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能等于其重力與質(zhì)心高度之積.六、包括剛體的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律30若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,則機(jī)械能守恒.機(jī)械能守恒定律2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理即如果合外力不做功，非保守內(nèi)力也不做功，或二者的功的代數(shù)和為零，機(jī)械能守恒.31例1已知：均勻直桿m,長(zhǎng)為l,初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角時(shí)，角速度w=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功,∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJk2212=w,

EmglP24=-sinq得：

wq=267glsin32例2、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：外力矩為重力對(duì)O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,

該質(zhì)元的重力對(duì)軸的元力矩為Ogdmdm33整個(gè)棒的重力矩為Ogdmdm根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律34Ogdmdm35例3彈簧、定滑輪和物體的連接如圖所示,彈簧的勁度系數(shù)為2.0N·m-1,定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg·m2,半徑為0.30m,問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí),它的速率為多大?假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長(zhǎng)．解:以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，下落的過程中，機(jī)械能守恒.36以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn).故有37O質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的矢徑與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢積定義為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量，用表示。質(zhì)點(diǎn)1、角動(dòng)量2-3剛體角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律一、剛體的角動(dòng)量定理38質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量：如果質(zhì)點(diǎn)系繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)點(diǎn)有相同的，392、角動(dòng)量定理外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動(dòng)量的增量。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得：40作用在物體上的外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則物體對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。例：回轉(zhuǎn)儀二、角動(dòng)量守恒定律41FF2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。42實(shí)際中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合Ⅰ、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作43Ⅱ體操、跳水、運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)地。44ω花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變轉(zhuǎn)速.ω45例1質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)邊緣奔跑一周，求對(duì)地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？已知：求：解：以M、m為研究對(duì)象故角動(dòng)量守恒+MXm46人和臺(tái)原來角動(dòng)量為0（1）式×dt積分：若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為+MXm47MXm48例2一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R并以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪(勻質(zhì)圓盤),在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，如圖．假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．解:(1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度令v=0，得上升最大高度H為49(2)碎片與破盤的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即式中ω'為破盤的角速度．于是(角速度不變)50圓盤余下部分的角動(dòng)量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為51例3空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),如圖所示,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0,環(huán)半徑為R,初始角速度為ω0.質(zhì)量為m的小球,原來靜置于A點(diǎn),由于微小的干擾,小球向下滑動(dòng).設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的,問小球滑到B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，小球相對(duì)于環(huán)的速率各為多少?解:(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至B點(diǎn)時(shí)，有該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為vB，以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有52聯(lián)立①、②兩式，得(2)當(dāng)小球滑至C點(diǎn)時(shí)，故由機(jī)械能守恒，有53例4一質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓盤,放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為μ)，圓盤可繞通過其中心O的光滑豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí),圓盤靜止,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上,求:（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度。（2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。(忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩)54解：（1）子彈擊中圓盤邊緣并嵌在一起，這段時(shí)間很短，子彈和圓盤所組的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。有解上式得：（2）勻質(zhì)圓盤可看成一系列半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成，在離轉(zhuǎn)軸r處取一半徑為r,寬度dr的細(xì)圓環(huán)，其質(zhì)量為55OR

dr摩擦力矩為由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有OR

dr56圓盤在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為57例5、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M.解:以f表示棒對(duì)子彈的阻力,對(duì)子彈有:子彈對(duì)棒的反作用力f'

,

對(duì)棒有：v0vmM由兩式得58v0vmM請(qǐng)問:1.子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎?為什么?2.總角動(dòng)量守恒嗎?若守恒,其方程應(yīng)如何寫?59oθla例6、一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m，速率為v的子彈射入并嵌在距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角度為θ=300，子彈的初速率為多少？解：可分兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程來分析。沖擊過程：桿維持豎直M合外=0系統(tǒng)角動(dòng)量守恒60擺動(dòng)過程：M合外≠0系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒只有重力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒oθla61解:碰撞前單擺擺錘的速度v0例7、如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘質(zhì)量相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺,于豎直位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后擺錘達(dá)到的高度h'和直桿下端達(dá)到的高度h。amlhol62chch′hb令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v′。由角動(dòng)量守恒，有在彈性碰撞過程中動(dòng)能也守恒:63按機(jī)械能守恒碰撞后擺錘達(dá)到的高度h'而桿的質(zhì)心上升的高度hc滿足chch′hb64

例8如圖示已知：M=2m，h，q=60°求(1)碰撞后瞬間圓盤的w0=？(2)P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)圓盤的w=?=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)65碰撞t極小，對(duì)m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：qwomvRJcos=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqogh