第2章(下)靜電場20140923

電磁場理論

——第2章（下）：靜電場耿軍平副教授電信學院，電子系，現代天線研究中心電院樓群1－522Email:gengjunp@Tel:342046632014.09.262靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力靜電場基本方程在電荷的周圍存在電場相對于觀察者靜止的、且其電量分布不隨時間變化的電荷所引起的電場，稱為靜電場4靜電場基本方程（2）說明：

靜電場是無旋場，滿足能量守恒定律，電力線不閉合靜電場是無旋場，場源是靜止電荷

5靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力6

如果設電位的參考點在無限遠處，那么真空中一個點電荷在離它r遠處的電位為：單位正電荷從無窮遠處移到該位置時，外力克服電場力所做的功。電位或7電位－電壓8無旋性點電荷Q多個點電荷電位（續(xù)）9體電荷面電荷線電荷電位（續(xù)）10電位方程Poisson方程是一個二階偏微分方程，它適用于二階導數存在的空間上的每一點▽2稱為拉普拉斯算符，它代表“梯度的散度”從基本方程推出Poisson方程，不一定可逆Poisson方程11電位方程（續(xù)）Laplace方程：沒有自由電荷的區(qū)域Laplace方程12例2.122說明：線電荷的電場高斯定理：l無限長，上下底面電場有進有出，每個面上抵消，只剩側面需要考慮

14解法一：任選P0點為電位參考點1516解法二：高斯定理：l無限長，上下底面電場有進有出，每個面上抵消，只剩側面需要考慮

171819例3.2已知：兩塊無限大導體平板位于x＝0、a處，電位分別0和V0，導體板間體電荷密度分布

ρ＝ρ0x/a求：導體板間電位和電場分布2021例3.2—特例已知：兩塊無限大導體平板位于x＝0、d處，電位分別0和V0，求：導體板間電位和電場分布

例3.2—特例23靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力24電偶極子的電位、電場強度電偶極子:相距一小段距離的一對等值異號的電荷，稱為電偶極子P點的電位等于兩個點電荷電位的疊加2526對于一個電偶極子，通常用電偶極矩p來表征，簡稱電矩p=qd,d的方向，由負電荷指向正電荷

aR是電偶極子指向場點的單位矢量27球坐標系下E在

φ方向是等值同心圓，所以對φ的導數為02829電偶極子電場分布特點：電場強度隨R3減小，即當R增大時，電偶極子的電場比點電荷減小得更快。因為在遠處正負電荷的電場接近互相抵消具有軸對稱性。30電介質中的電場理想的電介質不包含自由電荷，但在電場中放入電介質會使電場變化 因為電介質的分子在電場作用下發(fā)生極化現象，介質中出現了電偶極子，電偶極子的電場疊加于原來的電場之上，使得電場發(fā)生變化。31電介質中的電場（續(xù)）電介質的分子可以分成兩類，非極性分子和極性分子非極性分子，如H2，分子內所有正電荷的作用中心和負電荷的作用中心是重合的極性分子，如H2O，分子內正負電荷中心不重合，每個分子都具有電偶極子的性質，只是由于分子熱運動，使合成電偶極矩為零，對外宏觀電效應相互抵消而不呈現帶電現象。32電介質中的電場（續(xù)）不同電偶極子的電偶極矩方向是任意的不規(guī)則的無外電場作用，電介質所有分子的合成電偶極矩為零，對外不呈現帶電現象。外電場作用下， 非極性分子的正負電荷的作用中心發(fā)生相對位移， 極性分子的電矩發(fā)生轉向，這時它們的合成電偶極矩矢量和便不再為零。這種境況，稱為電介質的極化， 前者稱為位移極化， 后者稱為取向極化。331)位移極化，非極性分子的正負電荷的作用中心發(fā)生相對位移

2)取向極化極性分子的電矩發(fā)生轉向

3)總之，在外電場的作用下，非極性分子還是極性分子都將形成電偶極子電場而對外呈現帶電現象，影響原來的電場分布。34電介質中的電場（續(xù)）極化強度矢量35電介質中的電場（續(xù)）注：極化強度矢量P是電偶極矩的體密度，它反映了電介質單位體積內分子電偶極矩的矢量和。對線性，各向同性媒質，極化強度正比于電場強度為無量綱的量，稱為電介質的極化率

36電介質中的電場（續(xù)）注：若電介質是均勻的，則與空間坐標無關,可得通量的密度37電介質中的電場（續(xù)）注：實際上，只有在晶體結構高度對稱的物質中，P才取外加電場的方向。一般物質中是一個并矢，對應的介電常數也是一個并矢。

38εr是個無量綱的常數，稱為媒質的相對電容率或相對介電常數。它反映了電介質的極化對電場的影響。ε為媒質的絕對介電常數，其單位為法拉每米εr可以是空間坐標的函數。若εr與位置無關，則媒質為均勻媒質。線性、均勻、各向同性媒質稱為簡單媒質。簡單媒質的相對介電常數εr是一個常數。39電介質中的電場（續(xù)）介質極化的宏觀效應除了可以用電介質的介電常數來表示外，還可以用等效電偶極子來代替。用等效電偶極子定量分析電介質極化對外加電場的影響，關鍵在于計算出由極化產生的等效電偶極子的電場。40電介質中的電場（續(xù)）體積元dv‘電偶極矩為，它產生的電位注：帶撇的坐標表示源點的位置，用不帶撇的坐標表示場點的位置41電介質中的電場（續(xù)）在電介質的體積v‘內進行積分，就可以得到極化電介質產生的電位注：帶撇的坐標表示源點的位置，用不帶撇的坐標表示場點的位置

其中R是從體積元到固定場點的距離，在笛卡爾坐標中 42由矢量分析恒等式和散度定理電介質中的電場（續(xù)）其中a’n為電介質表面面積元ds’的外法線單位矢量43an和▽的撇號已略去

(3-37)

從式(3-37)可以看出，在計算電場時，極化電介質對外電場的影響也可以從和來等效。和有時也稱為束縛電荷密度，以表示與自由電荷的區(qū)別。電介質中的電場（續(xù)）等效極化面電荷密度等效極化體電荷密度44從高斯定理理解

介質中電荷：自由電荷＋束縛電荷束縛電荷以電偶極子形式出現，在閉合區(qū)域內電偶極子正負電荷電量等值反號，使得該區(qū)域內電偶極子的總電量為0所以D的散度為自由電荷密度（加0）但在外加電場作用下，電偶極子的電矩對外依然顯示極化強度，這種作用可用等效的束縛電荷來表征自由電荷＋束縛電荷共同產生介質中的總電場45從高斯定理理解

——介質中電荷：自由電荷＋束縛電荷共同產生介質中的總電場461）簡單媒質中，是常數2）各向異性媒質中，是并矢3）的含義——介質極化3）E很大，使電子脫離分子時，介質被擊穿說明47靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力48靜電場的邊界條件——D、E靜電場的邊界條件對于兩種理想介質之間的分界面，介質電導率為0切向分量法向分量49靜電場的邊界條件——D、E理想介質(1)和理想導體(2)的分界面，

E2＝0，D2＝0求解D的一個途徑靜電場的邊界條件——V兩媒質界面處電位處處連續(xù)表明：若交界面上存在自由電荷，電位導數不連續(xù)5152理想媒質分界面53靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力靜電導體系統(tǒng)中的電容——導體大量自由電荷導體內電場存在，使自由電荷宏觀運動導體處于靜電平衡狀態(tài)時，內部電場為0；內部電位相同（內部為等位體，導體面為等位面）；電荷只分布在導體表面靜電感應，感應電荷55靜電導體系統(tǒng)中的電容——電容孤立導體電容器決定于孤立導體的形狀56例3.3已知：同軸線，內外半徑a、b，內外導體間填充介質，內外導體間電壓U0，外導體接地求：1）內外導體間電位分布；

2）內導體表面上的面電荷密度；

3）單位長度的電容57Laplace方程5859也可以參照第二章的例題問題模型61E的分布62導體電位63介質電位64D的分布65能量密度66靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力67靜電場邊值問題的解法第一類邊值（Dirichlet）問題：已知全部邊界上電位分布，如導體表面上的電位分布；第二類邊值問題（Neumann）問題：已知邊界上電位的法向分布，如導體表面上的電荷分布；第三類邊值問題，又稱混合邊值（Robbin）問題：已知部分邊界上的電位分布及另一部分邊界上電位的法向導數。說明：對上述任一邊值問題，滿足邊界條件的電位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的68靜電場邊值問題的解法（續(xù)）分離變量法

直角坐標系 圓柱坐標系鏡像法

接地平面附近的點電荷 線電荷 導體球與點電荷復變函數法有限差分法69直角坐標系中分離變量法Laplace方程

設70直角坐標系中分離變量法若所有x，y，z均滿足71直角坐標系中分離變量法（續(xù)）分離常數/本征值72直角坐標系中分離變量法（續(xù)）常微分方程求解kx＝0,通解73直角坐標系中分離變量法（續(xù)）k2x>0,kx＝k實數，通解無限區(qū)域有限區(qū)域本征函數本征函數74直角坐標系中分離變量法（續(xù)）k2x<0,kx純虛數，

k2x=-k2,

k>0無限區(qū)域有限區(qū)域75直角坐標系中分離變量法（續(xù)）二維情形：k2x>0,k2y<0,|kx|=|ky|=k>076直角坐標系中分離變量法（續(xù)）級數形式kn為不同的本征值，正實數77直角坐標系中分離變量法（續(xù)）凡是分離常數為實數時，對應解為三角函數形式；凡是分離常數為虛數時，對應解為雙曲函數形式；78例3.4已知：橫截面為矩形的長金屬盒，四條棱線處均有無窮小的縫隙，使四個邊壁相互絕緣，邊壁上的電位分布如圖。求：金屬盒內電位分布。798081一實，一虛只有ky取正實數才能滿足邊界條件，y方向解為正弦或余弦函數ky取正實數？82838485圓柱坐標系中分離變量法Laplace方程與z有關，與Φ、r無關86圓柱坐標系中分離變量法（續(xù)）k2z＝0時k2z＝k2>0,k>0時k2z＝(jk)2<0,k>0時87圓柱坐標系中分離變量法（續(xù)）k2z＝(jk)2<0,k>0時Laplace方程分離常數分離常數p,實數88圓柱坐標系中分離變量法（續(xù)）實數p＝0時實數p≠0時解與前面的方程類似實際問題中，位函數V在場域空間是單值函數，是方位角坐標的周期函數，p應為正實數89圓柱坐標系中分離變量法（續(xù)）p＝m時k=0,m=0時，一維方程，通解k=0時，拉氏方程變?yōu)闅W拉（Euler）方程：通解：帶參數k的貝塞爾（Bessel）方程90圓柱坐標系中分離變量法（續(xù)）k≠0時，方程通解圓柱坐標系下，電位V的Laplace方程的通解：（kz=jk，p=m）第一類m階貝塞爾函數第二類m階貝塞爾函數紐曼（Niumann）函數919293例3.5已知：半徑a，高h的中空金屬圓罐；罐底與圓柱面罐壁相連，電位為0；罐蓋與罐壁間有很小的縫隙使兩者絕緣；罐蓋電位V0。求：罐內電位及電場分布。9495969798鏡象法

電荷置于導體交界面附近地面或導體的影響——感應電荷感應電荷分布復雜鏡像法的條件：原電荷為點電荷、線電荷等簡單分布導體（或介質）交界面形狀較為簡單99鏡象法（續(xù)）

間接求解邊值問題方法保持邊界條件不變的情況下，將邊界移去，在待求場域外部的適當位置上放置一些鏡像（等效）電荷100鏡象法（續(xù)）

將求解有邊界的邊值問題轉換為求解無邊界問題唯一性定理要求：原電荷和邊界上感應面電荷在待求區(qū)域內某點的電位，可由原電荷和鏡像電荷在該點產生的電位的疊加代替適用于：靜電場、靜磁場、部分天線問題；導體邊界、介質邊界101鏡象法(續(xù))——平面導體的鏡像102邊值問題：鏡象法(續(xù))——平面導體的鏡像（除q所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S為包圍

q的閉合面）103鏡象法(續(xù))——平面導體的鏡像104上半場域邊值問題：鏡象法(續(xù))——平面導體的鏡像（除q所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S為包圍

q的閉合面）105

用虛設的電荷分布等效替代媒質分界面上復雜電荷分布,虛設電荷的個數、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。

鏡像電荷的分布不唯一!!!鏡象法(續(xù))——平面導體的鏡像106例3-6

求空氣中一個點電荷q在地面引起的感應電荷分布情況點電荷q在地面引起的感應電荷的分布pD107108π/2角形區(qū)域的鏡像電荷的分布109π/3角形區(qū)域的鏡像電荷的分布110說明：無限大平面相交構成π/n區(qū)域，n為正整數，鏡像電荷總數（2n－1）個所有鏡像電荷位于同一個圓上，圓心在角形邊界頂點n不為正整數時，鏡像無限多個，鏡像法不適用，可用復變函數求解對于線電荷，可看成由無限個連續(xù)分布的點電荷組成，再用點電荷鏡像的方法處理111鏡象法(續(xù))——兩種不同介質中的點電荷和線電荷問題點電荷對無限大介質分界面的鏡像第一媒質第二媒質112邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)和113說明揭示了鏡像法的核心：“等效”一種介質中的電荷必然在另一介質中引起感應電荷對原始電荷如此，對鏡像電荷也如此所有電荷遵循場的唯一性原理，邊界條件不變所有電荷遵循基本原理鏡像法的本質就是滿足原有條件的等效鏡像電荷就是等效的假想集中電荷分布電荷等效為集中電荷鏡像電荷等效于第二媒質及其域內和界面上的感應電荷114鏡像法（續(xù)）線電荷的鏡像(類比）圖：存在兩種介質時線電荷的鏡像第一媒質第二媒質115鏡像法（續(xù)）討論點電荷對金屬球面的鏡像問題圖金屬球面的鏡像問題116鏡像法（續(xù)）金屬球接地時的鏡像法設金屬球的球心離點電荷所在處為d，則原來的電場中的電位函數應滿足的條件是：除點電荷所在處外，到處都有，以及在金屬球面上V=0。117118鏡像法（續(xù)）119等位面既然是球面，則電位必與θ無關，即與cosθ無關，因而上式左邊兩項必須分別為零

120

這說明，如果兩個點電荷的電量和位置滿足式所表達的關系，則在電場中就有一個半徑為的球面是零電位的等位面。121由疊加原理，接地導體球外任一點P的電位與電場分別為點電荷位于接地導體球附近的場圖鏡像電荷等于負的感應電荷122如果金屬球不接地，原先又不帶電，則必須同時考慮正負兩部分感應電荷的作用。這時球外任意點的場，可以根據下圖所示三個點電荷來計算。

鏡像法（續(xù)）圖金屬球不接地時的鏡像法說明：加入＋q“前，球面已是等位面，加入后，為保持球面為等位面，＋q“須放置在球心123例3.7

試計算不接地金屬球附近放置一點電荷q時的電場分布

圖點電荷對不接地金屬球的鏡像說明：加入＋q‘前，球面已是等位面，加入后，為保持球面為等位面，＋q’須放置在球心124125126例3－8（p.72,例3.6)無限大接地導體平面上有一半徑為a的半球形導體凸塊，附近有一點電荷Q，求其鏡像電荷127128129鏡像法——導體球腔與金屬球接地時類似則原來的電場中的電位函數應滿足的條件是：除點電荷所在處外，到處都有，以及在金屬球面上V=0。130例3－9一偏心電纜線，內導體半徑為a，外導體半徑為b，兩幾何軸線間距離為D，求兩等效電軸的位置。131132133鏡像法——導體圓柱（接地）與平行線電荷（例3－10）134問題轉化為求兩個平行的等值異號線電荷的電位和電場135136由正弦定理：137138利用類似球形邊界的分析方法，不難求出鏡像線電荷鏡像線電荷與圓柱軸線的偏心距離為鏡像線電荷取代了圓柱形導電體，把問題簡化為求兩條平行的等值異號線電荷的電位和電場139推論：兩個無限長平行帶電圓柱導體，可以由兩個平行的線電荷代替140鏡像法（續(xù)）鏡像電荷或電流的解是否是唯一的？鏡像法求解過程是否可逆？141鏡像法引申——等效原理研究有限空間區(qū)域：

感興趣區(qū)域不感興趣區(qū)域等效等效源感興趣區(qū)域142等效時，確保全部邊界條件得到滿足；等效源可在感興趣區(qū)域之外或邊界上；等效源的構成方法不唯一；如果兩種不同性質的源能在所研究區(qū)域內給出同樣的解（在這個區(qū)域之外可能會給出不同的解），則稱它們等效。說明143靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質中的電場靜電場的邊界條件靜電場導體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力144靜電場的能量、能量密度湯姆遜定理：導電物體上建立電場E的電荷，須分布得使能量函數We為最小。最小位能原理145靜電場的能量、能量密度（續(xù)）區(qū)域Ω無電場3個點電荷Q1、Q2、Q3在無窮遠處首先考慮離散點電荷系統(tǒng)146把Q1從無窮遠處緩慢地移進Ω內p1點，克服電場力做功We1＝0Q1在Ω內建立電位分布Q2從無窮遠處緩慢地移進Ω內p2點，克服電場力做功We2＝Q2Φ21外力做的總功為

We＝We1＋We2＝0＋Q2Φ21Φ

21為p1處電荷在p2處產生的電位電位參考點在無窮遠處147把3個點電荷從無窮遠處緩慢地移到p1，p2，p3處外力做功

We＝We1＋We2＋We3

＝0＋Q2Φ21＋Q3Φ31＋Q3Φ32

＝Q2Φ21＋Q3（Φ31＋Φ32）148逆序重新移3個電荷Q3，Q2，Q1到p3，p2，p1，外力做功為

We＝W3＋W2＋W1

＝0＋Q2Φ23＋Q1（Φ13＋Φ12）

兩次外力做功相等149兩次做功疊加：

2We＝Q1（Φ12＋Φ13）＋

Q2（Φ21＋Φ23）＋Q3（Φ31＋Φ32）令：

Φ1＝Φ12＋Φ13：p2、p3處的Q2、Q3在p1處產生的電位

Φ2＝Φ21＋Φ23：p1、p3處的Q1、Q3在p2處產生的電位

Φ3＝Φ31＋Φ32：p1、p2處的Q1、Q2在p3處產生的電位

歸納法離散點電荷系統(tǒng)：區(qū)域Ω包含n個點電荷150區(qū)域Ω包含連續(xù)分布體電荷和面電荷(2.221)(2.222)151R→∞

，無窮遠處電位為0，R→∞，包含了源作用的所有能量

為以面電荷分布的第i個帶電導體表面上的電荷量；