平衡問題求解八法(保存)

三個重要概念1、物體的平衡狀態(tài)指物體保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)2、共點力作用下物體的平衡條件指處于平衡狀態(tài)的物體受力所滿足的條

件，即合力等于零。3、平衡問題

研究處于平衡狀態(tài)下的物體的受力問題物體的平衡問題的八種解法1.判斷物體是否處于平衡狀態(tài)的方法(1)從運動角度判斷當(dāng)物體的速度大小和方向不變時，物體處于平衡狀態(tài).物體的速度為零時，不一定處于平衡狀態(tài)，只有物體的加速度為零，物體才處于平衡狀態(tài).(2)從受力角度判斷共點力作用下物體的平衡條件是合外力為零，表達式：F合＝0或?qū)懗煞至啃问紽x＝0和Fy＝0.①二力平衡時，二力等大、反向、共線.②物體受三個非平行力的作用而平衡時，這三個力的作用線(或延長線)必交于一點，且三力必共面，這三個力構(gòu)成順向的閉合三角形.③物體在幾個共點力的作用下處于平衡狀態(tài)時，其中任意一個力必與其他力的合力等大、反向、共線.物體處于平衡狀態(tài)時的3個重要推論：2.分析平衡問題的基本步驟(1)選定研究對象：整體法和隔離法(2)確定物體是否處于平衡狀態(tài)：a＝0(3)進行受力分析：畫出準(zhǔn)確規(guī)范的受力示意圖(4)建立平衡方程：靈活運用平行四邊形定則、

正交分解法、三角形法則及數(shù)學(xué)方法等平衡問題求解八法二正交分解法一力的合成法三整體法與隔離法四三角形法五相似三角形法六正弦定理法七拉密原理法八對稱法一力的合成法物體在三個共點力的作用下處于平衡狀態(tài),則任意兩個力的合力一定與第三個力大小相等,方向相反,“力的合成法”是解決三力平衡問題的基本方法.【例1】如圖1所示,重物的質(zhì)量為m,

輕細繩AO和BO的A端、B端是固定的,平衡時AO水平,BO與水平面的夾角為θ,AO的拉力F1和BO的拉力

F2的大小是多少？

圖1解析根據(jù)三力平衡特點,任意兩力的合力與第三個力等大反向,可作出如圖矢量圖,由三角形知識可得F1=mgcotθ,所以正確選項為D.答案

D二正交分解法物體受到三個或三個以上力的作用時,常用正交分解法列平衡方程求解:Fx合=0,Fy合=0.為方便計算,建立坐標(biāo)系時以盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上為原則.【例2】如圖2所示，不計滑輪摩擦,A、B兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)加一水平力F作用在B上使B緩慢右移,試分析B所受力F的變化情況.

圖2解析

對物體B受力分析如圖,建立如圖直角坐標(biāo)系.在y軸上有Fy=N+FAsinθ-GB=0①在x軸上有Fx=F-f-FAcosθ=0②又f=μN③聯(lián)立①②③得F=μGB+FA(cosθ-μsinθ).可見,隨著θ不斷減小,水平力F將不斷增大.答案

隨著θ不斷減小,水平力F將不斷增大三整體法與隔離法整體法是把兩個或兩個以上物體組成的系統(tǒng)作為一個整體來研究的分析方法。

當(dāng)只涉及研究系統(tǒng)而不涉及系統(tǒng)內(nèi)部某些物體的受力和運動時,一般可采用整體法.

隔離法是將所確定的研究對象從連接體中隔離出來進行分析的方法,其目的是便于進一步對該物體進行受力分析，得出與之關(guān)聯(lián)的力.為了研究系統(tǒng)(連接體)內(nèi)某個物體的受力和運動情況時,通常可采用隔離法.整體法和隔離法是結(jié)合在一起使用的.【例3】有一直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙;OB豎直向下,表面光滑.AO上套有小環(huán)P,OB上套有小環(huán)Q,兩環(huán)質(zhì)量均為m.兩環(huán)間由一根質(zhì)量可忽略且不可伸長的細繩相連,

并在某一位置平衡,如圖.現(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離,兩環(huán)再次達到平衡,將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)比較，AO桿對P環(huán)的支持力N和細繩上的拉力T的變化情況是()A.N不變,T變大B.N不變,T變小

C.N變大,T變大D.N變大,T變小解析采取先“整體”后“隔離”的方法.以P、Q繩為整體研究對象,受重力、AO給的向上彈力、OB給的水平向左彈力.由整體處于平衡狀態(tài)知AO給P向右靜摩擦力與OB給的水平向左彈力大小相等;AO給的豎直向上彈力與整體重力大小相等.當(dāng)P環(huán)左移一段距離后,整體重力不變,AO給的豎直向上彈力也不變.再以Q環(huán)為隔離研究對象,受力如圖所示，Q環(huán)所受重力G、OB給Q的彈力F1,繩的拉力T處于平衡;P環(huán)向左移動一小段距離的同時T移至T′位置，仍能平衡，即T豎直分量與G大小相等,T應(yīng)變小,所以正確答案為B選項.答案

B

練習(xí)如圖所示，A、B兩木塊用細線相連放在水平面上，兩次細線方向不同但傾角一樣，兩木塊與水平面間的動摩擦因數(shù)相同.先后用水平力F1和F2拉著A、B一起勻速運動，則(

)A.F1>F2

B.F1＝F2C.FT1>FT2

D.FT1＝FT2解析：設(shè)A、B的質(zhì)量分別為mA、mB，取A、B為一個整體可得：F1＝F2＝μ(mA＋mB)g故A錯誤，B正確；設(shè)細線與水平方向的夾角為θ，單獨隔離A木塊，用平衡條件可得：FT1cosθ＝μ(mAg－FT1sinθ)，F(xiàn)T2cosθ＝μ(mAg＋FT2sinθ)，得出：故FT1<FT2，C、D均錯誤.答案：B對受三力作用而平衡的物體,將力矢量圖平移，使三力組成一個首尾依次相接的封閉力三角形,進而處理物體平衡問題的方法叫三角形法。力三角形法在處理

動態(tài)平衡問題時方便、直觀,容易判斷.【例4】如圖細繩AO、BO等長且共同懸一物,A點固定不動,在手持B點沿圓弧向C點緩慢移動過程中,

繩BO的張力將()A.不斷變大B.不斷變小C.先變大再變小D.先變小再變大

四動態(tài)問題分析法——三角形法，平行四邊形法解析

選O點為研究對象,受F、FA、FB三力作用而平衡.此三力構(gòu)成一封閉的動態(tài)三角形如圖.容易看出,當(dāng)FB

與FA垂直即α+β=90°時,FB取最小值,所以D選項正確.答案

D練習(xí)半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，MN是豎直放置的光滑擋板.在半圓柱體P和MN之間放有一個光滑均勻的小圓柱體Q，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示是這個裝置的截面圖.現(xiàn)使MN保持豎直并且緩慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止.則在此過程中，下列說法正確的是(

)A.MN對Q的彈力逐漸減小B.地面對P的支持力逐漸增大C.Q所受的合力逐漸增大D.地面對P的摩擦力逐漸增大

[思路點撥]在MN向右平移時，小圓柱體Q處于動態(tài)平衡狀態(tài)，對Q受力分析，作出力的平行四邊形，根據(jù)力的方向變化，分析邊長的變化，從而得出力的大小變化結(jié)果.

[解析]

圓柱體Q受重力G，P對Q的彈力F1和MN對Q的彈力F2，如圖1－4所示，在MN向右緩慢平移時，G不變，則F不變，F(xiàn)1與水平方向的夾角θ減小，而F2的方向不變，由圖可知F1、F2均變大，但Q所受的合力始終為零，故A、C均錯誤；再以P、Q為一整體受力分析如圖1－5所示，由平衡條件知，F(xiàn)NP＝GP＋GQ不變，F(xiàn)fP＝F2，F(xiàn)fP隨F2增大而增大，故B錯誤，D正確.[答案]

D練習(xí)如圖所示是給墻壁刷涂料用的涂料滾的示意圖，使用時，用撐竿推著粘有涂料的涂料滾沿墻壁上下緩緩滾動，把涂料均勻地粉刷到墻上.撐竿的重力和墻壁的摩擦均不計，且撐竿足夠長，粉刷工人站在離墻壁一定距離處緩緩上推涂料滾，設(shè)該過程中撐竿對涂料滾的推力為F1，涂料滾對墻壁的壓力為F2，則(

)A.F1增大，F(xiàn)2減小B.F1增大，F(xiàn)2增大C.F1減小，F(xiàn)2減小D.F1減小，F(xiàn)2增大解析：涂料滾緩慢沿墻上滾過程中，處于動態(tài)平衡狀態(tài)，合力為零，分析涂料滾受力如圖所示，涂料滾上滾過程中，θ變小，F(xiàn)1和F2均變小，故C正確.答案：C練習(xí)如圖,將球夾在豎直墻AC與木板BC之間,各接觸面均光滑,將球?qū)Φ膲毫τ肗1表示,球?qū)δ景宓膲毫τ肗2表示.現(xiàn)將木板以C端為軸緩慢地轉(zhuǎn)至水平位置的過程中,下列說法中正確的是（

）

答案BA.N1和N2都增大

B.N1和N2都減小C.N1增大,N2減小

D.N1減小,N2增大五相似三角形法

物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態(tài)，畫出其中任意兩個力的合力與第三個力等值反向的平行四邊形,其中可能有力三角形與題設(shè)圖中的幾何三角形相似,對應(yīng)成比例，根據(jù)比值便可計算出未知力的大小與方向.【例5】固定在水平面上的光滑半球半徑為R,球心O的正上方C處固定一個小定滑輪,細繩一端拴一小球置于半球面上的A點,另一端繞過定滑輪,如圖所示.現(xiàn)將小球緩慢地從A點拉向B點,則此過程中小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮、細繩的拉力大小T的變化情況是()

A.N不變,T不變B.N不變,T變大C.N不變,T變小D.N變大,T變小根據(jù)幾何關(guān)系知,力三角形FAN′與幾何三角形COA相似.設(shè)滑輪到半球頂點B的距離為h,線長AC為L,則有由于小球從A點移向B點的過程中,G、R、h均不變,L減小,故N′大小不變,T減小.所以正確答案為C選項.答案

C

解析

小球受力如圖所示,根據(jù)平衡條件知,小球所受支持力N′和細線拉力T的合力F跟重力是一對平衡力,即F=G.

練習(xí)如圖所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛重為G的物體，B端系一根輕繩繞過定滑輪A。開始時角BCA>90°，現(xiàn)在用力F拉繩，使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC，此過程中，桿BC所受的力(

)A．大小不變B．逐漸增大C．逐漸減小

D．先減小后增大[解析]

B點共受三個力作用而平衡：物體對作用點B的拉力與G大小相等、方向相同，桿BC的彈力FN，繩的拉力FT.由平衡條件及平行四邊形定則可知B點的受力如圖1－8所示，F(xiàn)＝G.由幾何知識可知：幾何三角形ABC與力三角形相似，即：[答案]

A

∴FN＝·G在桿被拉起的過程中，BC、AC、G不變，所以FN大小不變，故選項A正確．六正弦定理法正弦定理：在同一個三角形中,三角形的邊長與所對角的正弦比值相等。在圖中有同樣,在力的三角形中也滿足上述關(guān)系,即力的大小與所對角的正弦比值相等.【例6】不可伸長的輕細繩AO、BO

的結(jié)點為O,在O點懸吊電燈L,OA繩處于水平,電燈L靜止,如圖所示.保持O點位置不變,改變OA的長度使A

點逐漸上升至C點,在此過程中繩OA

的拉力大小如何變化？解析

取O點為研究對象，O點受燈的拉力F(大小等于電燈重力G)、OA繩的拉力T1、OB繩的拉力T2,如右圖所示.因為三力平衡,所以T1、T2的合力G′與G等大反向.由正弦定理得由圖知θ不變,α由小變大,所以據(jù)T1式知T1先變小后變大,當(dāng)α=90°時,T1有最小值.七拉密原理法拉密原理:如果在三個共點力作用下物體處于平衡狀態(tài),那么各力的大小分別與另外兩個力所夾角的正弦成正比.在圖8所示情況下,原理表達式為【例7】如圖所示裝置,兩根細繩拉住一個小球,保持兩繩之間夾角θ不變;

若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)動90°,

則在轉(zhuǎn)動過程中,CA繩拉力T1大小的變化情況是__________,CB繩拉力FT2大小的變化情況是________.解析

在整個裝置緩慢轉(zhuǎn)動的過程中，可以認為小球在每一位置都是平衡的,小球受到三個力的作用,如圖所示,根據(jù)拉密原理有由于θ不變、α由90°逐漸變?yōu)?80°,sinα?xí)饾u變小直到為零,所以T2逐漸變小直到為零;由于β由鈍角變?yōu)殇J角,sinβ先變大后變小，所以T1先變大后變小.答案

先變大后變小逐漸變小直到為零八對稱法研究對象所受力若具有對稱性,則求解時可把較復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算,或者將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為直觀而簡單的圖形.所以在分析問題時，首先應(yīng)明確物體受力是否具有對稱性.【例8】如圖10所示,重為G的均勻鏈條掛在等高的兩鉤上,鏈條懸掛處與水平方向成θ角,試求：(1)鏈條兩端的張力大?。?2)鏈條最低處的張力大小.

解析

(1)在求鏈條兩端的張力時,可把鏈條當(dāng)做一個質(zhì)點處理.兩邊受力具有對稱性使兩端點的張力F大小相等，受力分析如圖甲所示.取鏈條整體為質(zhì)點研究對象.由平衡條件得豎直方向2Fsinθ=G,所以端點張力為(2)在求鏈條最低點張力時,可將鏈條一分為二,取一半研究.受力分析如圖乙所示,由平衡條件得水平方向所受力為即為所求.答案

1.如圖11所示,質(zhì)量為m的質(zhì)點,與三根相同的螺旋形輕彈簧相連.靜止時,彈簧c沿豎直方向,相鄰兩彈簧間的夾角均為120°.已知彈簧a、b對質(zhì)點的作用力大小均為F,則彈簧c對質(zhì)點的作用力大小不可能為

()

圖11A.3FB.F+mgC.F-mgD.mg-F課堂練習(xí)解析質(zhì)點受四個力作用：重力mg，a、b、c的彈力Fa、Fb、Fc,四力合力為零,由于彈簧a、b對質(zhì)點的作用力方向未知,故本題有多解.當(dāng)彈簧a、b的彈力均斜向上或斜向下時,因為夾角等于120°,故a、b的彈力的合力大小為F，且豎直向上或豎直向下.當(dāng)a、b彈力的合力豎直向上,c的彈力也向上時,Fc=mg-F,則當(dāng)mg=2F時,Fc=F,故選項D正確.當(dāng)a、b彈力的合力豎直向上，c的彈力向下時，F(xiàn)c=F-mg,故選項C正確.當(dāng)a、b彈力的合力豎直向下，c的彈力向上時,Fc=F+mg,故選項B正確.答案

A2.假期里,一位同學(xué)在廚房協(xié)助媽媽做菜，對菜刀發(fā)生了興趣.他發(fā)現(xiàn)菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不圖12

一樣,刀刃前部的頂角小,后部的頂角大(如圖12所示),

他先后做出過幾個猜想,其中合理的是()A.刀刃前部和后部厚薄不勻,僅是為了打造方便,外形美觀,跟使用功能無關(guān)

B.在刀背上加上同樣的壓力時,分開其他物體的力跟刀刃厚薄無關(guān)

C.在刀背上加上同樣的壓力時,頂角越大,分開其他物體的力越大

D.在刀背上加上同樣的壓力時,頂角越小,分開其他物體的力越大解析把刀刃部分抽象后，可簡化成一個等腰三角劈,設(shè)頂角為2θ,背寬為d,側(cè)面長為l,如下圖甲所示.當(dāng)在劈背施加壓力F后產(chǎn)生垂直側(cè)面的兩個分力F1、F2,使用中依靠著這兩個分力分開被加工的其他物體.由對稱可知這兩個分力大小相等(F1=F2),因此畫出力分解的平行四邊形,實為菱形如圖乙所示.在這個力的平行四邊形中，取其四分之一考慮(圖中陰影部分).根據(jù)它跟半個劈的直角三角形的相似關(guān)系,有關(guān)系式由此可見,刀背上加上一定的壓力F時,側(cè)面分開其他物體的力跟頂角的大小有關(guān),頂角越小,sinθ的值越小,F1和F2越大.但是刀刃的頂角越小時,刀刃的強度會減小,碰到較硬的物體時刀刃會卷口甚至碎裂,實際制造過程中為了適應(yīng)加工不同物體的需要,所以做成前部較薄,后部較厚.使用時，用前部切一些軟的物品(如魚、肉、蔬菜、水果等),用后部斬劈堅硬的骨頭之類的物品,俗話說:“前切后劈”,指的就是這個意思,故選項D正確.答案

D3.圖13甲為雜技表演的安全網(wǎng)示意圖,網(wǎng)繩的結(jié)構(gòu)為正方格形,O、a、b、c、d……為網(wǎng)繩的結(jié)點，安全網(wǎng)水平張緊后,若質(zhì)量為m的運動員從高處落下,并恰好落在O點上,該處下凹至最低點時,網(wǎng)繩dOe,bOg

均成120°向上的張角,如圖乙所示,此時O點受到的向下的沖擊力大小為F,則這時O點周圍每根網(wǎng)繩承受的力的大小為()

圖13A.FB.C.F+mg