三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第3課時三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．周期函數(shù)及最小正周期對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有

，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為它的一個周期．若在所有周期中，有一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)[思考探究]所有的周期函數(shù)都有最小正周期嗎？提示：

不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，周期函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))就沒有最小正周期．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域{x|x∈R}{x|x∈R}{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域

單調(diào)性在

上遞增；在

上遞減在

上遞增；在

上遞減在

上遞增最值x＝

時，ymax＝1x＝

時，ymin＝－1x＝

時，ymax＝1；x＝

時，ymin＝－1無最值[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性

對稱性對稱中心

對稱軸

無對稱軸最小正周期

奇偶奇(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z

2π2ππ答案：D解析：

∵f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．答案：

B答案：C求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的單調(diào)區(qū)間時，只需把ωx＋φ看作一個整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意先把ω化為正數(shù)．求y＝Acos(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間類似．求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；(3)換元法：把sinx、cosx看作一個整體，可化為二次函數(shù)．解析：(1)∵cosx∈[－1，1]，∴當(dāng)a＝0時，y＝b，無最值；當(dāng)a>0時，函數(shù)的最大值為a＋b，最小值為－a＋b.當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時取得最大值．當(dāng)x＝2kπ＋π，k∈Z時取得最小值．當(dāng)a<0時，函數(shù)最大值為－a＋b，最小值為a＋b.當(dāng)x＝2kπ＋π，k∈Z時取得最大值，當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時取得最小值．答案：A4.(1)y＝|sinx|的最小正周期為________．(2)y＝2cosx，x∈[0，2π]與y＝2圍成封閉圖形的面積為________．解析：(1)作出y＝|sinx|的圖象如下：∴函數(shù)y＝|sinx|的最小正周期為π.答案：(1)π(2)4π2．三角函數(shù)值的大小比較利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小時，往往是利用奇偶性、周期性或誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值，再用單調(diào)性比較．3．三角函數(shù)的值域或最值的求法求三角函數(shù)的值域或最值時，通常是把函數(shù)式恒等變形為一個角的一種三角函數(shù)的形式，如y＝Asin(ωx＋φ)，或者利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，但都應(yīng)特別注意x的取值范圍對三角函數(shù)值的限制，不能機(jī)械地套用三角函數(shù)的有界性.

從近兩年的高考試題來看，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空