專(zhuān)題六 距離空間基本概念(tou)

泛函分析基本內(nèi)容

一、引言“實(shí)數(shù)的極限理論”是“數(shù)學(xué)分析”（即有限維分析）的基礎(chǔ),用“極限思想”研究函數(shù)是實(shí)分析的主要特點(diǎn)。包括:

1）實(shí)數(shù)序列的極限概念：xnx(n)2）函數(shù)序列的各種收斂問(wèn)題:fn(x)f(x)(n)(一致收斂、處處收斂、幾乎處處收斂、近一致收斂、依測(cè)度收斂等)3）函數(shù)的極限：f(x)A（xx0或x）這些“極限”概念的一個(gè)共性----“距離”概念的滲透(僅限于實(shí)直線上兩點(diǎn)之間的距離)：

|xn-x|0是指xn與x之間的“距離”無(wú)限地減??；|fn(x)-f(x)|0是指在x點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)值fn(x)與f(x)之間的“距離”無(wú)限地減小。

|f(x)-A|0是指函數(shù)值f(x)與數(shù)A之間的“距離”無(wú)限地減小。二、泛函分析的基本內(nèi)容在泛函分析中,將定義一種更具有一般意義的抽象的“距離”概念，它將實(shí)直線上的“數(shù)列的收斂”、“函數(shù)列的收斂”及“函數(shù)的極限”等概念都包括在“按距離收斂”、“距離函數(shù)的極限”等概念之中，并建立起“距離空間及其極限理論---按距離收斂、距離函數(shù)的極限等”，使我們更容易認(rèn)識(shí)那些“初看起來(lái)似乎毫無(wú)關(guān)系的某些極限過(guò)程”之間的本質(zhì)聯(lián)系?！胺汉治觥币浴熬嚯x空間及其極限理論”為基礎(chǔ)，綜合運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的觀點(diǎn)和方法，研究了“函數(shù)的函數(shù)”、“函數(shù)空間”及“各種函數(shù)空間之間的關(guān)系”等內(nèi)容,歸屬于“無(wú)窮維分析”。泛函分析的主要內(nèi)容包括:三大空間及其線性算子理論,三大基本定理，不動(dòng)點(diǎn)理論，最佳逼近理論及線性算子譜論初步，抽象空間的微積分。三大空間：距離空間線性賦泛空間(巴拿赫空間)內(nèi)積空間(希爾伯特空間)2)三大空間上的線性算子理論：距離空間上的連續(xù)映射(算子)巴拿赫空間上的線性算子與線性泛函、共軛算子希爾伯特空間上的線性泛函與自共軛算子3)三大基本定理：漢恩-巴拿赫基本定理，一致有界定理，逆算子定理與閉圖象定理4）不動(dòng)點(diǎn)理論與最佳逼近理論5）線性算子譜論初步：線性算子的譜自共軛算子譜6）抽象空間的微積分：抽象函數(shù)的導(dǎo)算子及微分理論抽象函數(shù)的極值抽象函數(shù)的積分距離與距離空間的定義專(zhuān)題六距離空間的基本概念距離空間的極限理論距離空間中的開(kāi)集、閉集與有界集距離空間上的連續(xù)映射定義2(子空間）如果AX，且A按照X中距離(x,y)

也是一個(gè)距離空間，則稱(chēng)A為X的子空間.定義1

（距離與距離空間）設(shè)X是任一集合，x,yX,若能定義實(shí)函數(shù)(x,y)，滿足距離公理：1)非負(fù)性：(x,y)0，2)對(duì)稱(chēng)性：(x,y)=(y,x)，

3)三角不等式：(x,y)(x,z)+(z,y)(zX)

則稱(chēng)X是距離空間，

(x,y)是距離空間X中點(diǎn)x與y的距離

一、距離與距離空間的定義1.距離、距離空間及子空間的定義注:1）要證集合X是距離空間,只要證明定義在X上的函數(shù)滿足距離公理?xiàng)l件。2）距離空間即定義了距離的集合.（距離空間=集合+距離）3）要證A是X的子空間,只要證X上的距離對(duì)A中任兩點(diǎn)都適合1）直線R,按距離(x,y)=x-y----一維空間4）全體n元有序數(shù)組集合:2.常見(jiàn)的幾個(gè)距離空間2）平面R2,按距離----二維空間3）空間R3,按距離--三維空間按距離也構(gòu)成距離空間按距離也構(gòu)成距離空間證：z=(z1,z2,…zn}Rn(或Cn)，i(x,y)0,i(x,y)=i(y,x)(Minkowski不等式(k=2))按距離----n維歐氏空間----連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]按距離5）閉區(qū)間[a,b]上的全體連續(xù)函數(shù)的集合C[a,b]：也構(gòu)成另一距離空間按距離證：z=z(t)C[a,b]，非負(fù)性與對(duì)稱(chēng)性顯然按距離也構(gòu)成另一距離空間6）有界數(shù)列全體構(gòu)成的集合m（cm

c是m的子空間）按距離函數(shù)----有界數(shù)列空間m7）收斂數(shù)列全體構(gòu)成的集合按距離函數(shù)----收斂數(shù)列空間c8）有界函數(shù)集合構(gòu)成距離空間----有界函數(shù)空間B(A)按函數(shù)9)任一非空集合X按函數(shù)構(gòu)成距離空間--離散距離空間注:在任一非空集合上都可以定義距離函數(shù)，使之成為距離空間。

在同一集合中,可以構(gòu)據(jù)需要定義不同的距離函數(shù)使之成為不同的距離空間。證：級(jí)數(shù)顯然收斂，故(x,y)有意義，且(x,y)0，(x,y)=(y,x)，10）全體序列集合----序列空間S

按函數(shù)構(gòu)成距離空間11）可測(cè)函數(shù)集合按函數(shù)構(gòu)成距離空間----可測(cè)函數(shù)空間m(X)這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一函數(shù)證：12）可測(cè)集ER上的p冪可積函數(shù)f(x)的全體構(gòu)成的集合

按函數(shù)構(gòu)成距離空間----p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一函數(shù)證：故(x,y)有意義。z=z(t)Lp(E)(Minkowski不等式)(Minkowski不等式)13）p冪可和序列的全體構(gòu)成的集合按函數(shù)構(gòu)成距離空間----p冪可和序列空間lp證：故(x,y)有意義。z=(1,2,…,n)lp(Minkowski不等式)附注：空間的重要性質(zhì)（lp也有同樣性質(zhì)）2)對(duì)于線性運(yùn)算是封閉的，即3)滿足Holder不等式和Minkowski不等式定理1（極限的性質(zhì)）

設(shè)（X,d)是距離空間，{xn}X.1){xn}收斂其極限唯一

2){xn}收斂{xn}一定是有界的

二、距離中的極限理論1.極限定義與性質(zhì)定義3(極限)設(shè)(X,d)是一個(gè)距離空間,{xn}X,

xX,如果(xn,x)0(n),則稱(chēng)點(diǎn)列{xn}按距離收斂于x,也稱(chēng){xn}為距離空間(X,d)中的一個(gè)極限為x的收斂點(diǎn)列,注：在距離空間中，記作:證：2.常見(jiàn)距離空間中點(diǎn)列收斂的意義(1)歐氏距離空間Rn,n維向量序列{xk}即按坐標(biāo)收斂于x

(2)連續(xù)函數(shù)空間C[a,b],函數(shù)列{xk(t)}在[a,b]上一致收斂于x(t)(3)有界數(shù)列空間m,點(diǎn)列{xk}即按坐標(biāo)收斂x,且對(duì)i是一致)(4)序列空間S,(5)可測(cè)函數(shù)空間m(X)，(7)p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)(p1),(6)p冪可和序列空間lp(p1),定義4(開(kāi)球(或點(diǎn)的鄰域)與閉球)設(shè)(X,d)是距離空間,

x0X,r>0

2)稱(chēng)集合

是以x0為中心，r為半徑的閉球注：對(duì)于不同的距離空間X，x0及的意義不同，從而開(kāi)球S(x0,r)或閉球的意義也不同.例如：1.距離空間中的開(kāi)球（點(diǎn)的鄰域）、閉球

三、距離空間的開(kāi)集、閉集及有界集1）稱(chēng)集合S(x0,r)={x(x,x0)<r,xX}是以x0為中心，r為半徑的開(kāi)球，或x0的一個(gè)r鄰域1)直線R按距離開(kāi)球?yàn)?---直線開(kāi)區(qū)間2)平面按距離，開(kāi)球?yàn)?-----平面上不含邊界的圓域

4）平面R2按距離------平面上不含邊界的正方形域開(kāi)球?yàn)?）平面R2按距離------平面上不含邊界的正方形域開(kāi)球?yàn)?）離散距離空間X按距離開(kāi)球?yàn)槭聦?shí)上，r1時(shí)，r>1時(shí)，2.距離空間中的有界集、開(kāi)集與閉集直線上點(diǎn)集有關(guān)概念推廣距離空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念定理2(開(kāi)集的性質(zhì))設(shè)X距離空間.(1)空集與全空間X是開(kāi)集。(2)X中任意多個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集。(3)X中有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集。定義5(有界集)設(shè)AX,若存在一個(gè)開(kāi)球S(x0,r)A，則稱(chēng)A是X中的有界集.定義6(內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集)設(shè)X是距離空間,GX,x0X.(1)若存在x0的鄰域(開(kāi)球)S(x0,r)G,則稱(chēng)x0為G的內(nèi)點(diǎn)。(2)如果G的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)則稱(chēng)G為開(kāi)集例1任一開(kāi)球S(x0,r)都是開(kāi)集。

證:xS(x0,r)(x,x0)<r,取0<r-(x,x0),yS(x,)(x,y)<r-(x,x0)(y,x0)(y,x)+(x,x0)<r(三角不等式)yS(x0,)S(x,)S(x0,r)S(x0,r)是開(kāi)集.

定義7(閉集)設(shè)X是距離空間,FX.如果FC=X-F是開(kāi)集,則稱(chēng)F是X中的閉集。定義8(極限點(diǎn)、導(dǎo)集與閉包、孤立點(diǎn)）設(shè)X是距離空間，

AX,x0X.(1)如果>0,x0的鄰域S(x0,)內(nèi)總含有A中異于x0的點(diǎn)，則稱(chēng)x0為A的極限點(diǎn)(或聚點(diǎn))。(2)

A‘={x|x是A的聚點(diǎn)}稱(chēng)為A的導(dǎo)集(3)集合A=AA‘稱(chēng)為A的閉包。(4)如果>0,使S(x0,)內(nèi)除x0之外,不含A中任何其他點(diǎn)，則稱(chēng)x0為A的孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)的全體所成集合稱(chēng)為孤立點(diǎn)集.(x是A的孤立點(diǎn)xA，xA‘)定理3(閉集的性質(zhì))設(shè)X距離空間.(1)空集與全空間X都是閉集。(2)X中有限個(gè)閉集的并是閉集。(3)X中任意多個(gè)閉集的交是閉集。定理4(閉集的充要條件)設(shè)X是距離空間，AX,則A是閉集A‘AA=A對(duì){xn}A，xnx,有xA證:(1)“”(反證法)設(shè)x0A’但x0Ax0A’且x0AC,

A閉AC開(kāi)S(x0,)ACS(x0,)A=x0不是A的極限點(diǎn)x0A’,矛盾.“”設(shè)A‘AAC(A’)C,xACx(A’)CxA’x不是A的極限點(diǎn)

S(x,),使S(x,)A=S(x,),使S(x,)ACx是AC的內(nèi)點(diǎn)AC開(kāi)A閉(2)“”A閉A‘AA=AA’=A“”A=A,A‘AA’=AA‘AA閉

(3)“”A閉A‘AA的所有極限點(diǎn)都屬于Ax=limxnA“”{xn}A,xnx,xAA’A定理5設(shè)X是距離空間,

AX,

則A'與A都是閉集。(同上)證:要證明A’及A都是閉集,只要證明(A’)’A’,(A)’A.注：在直線R上,只有空集與R既是開(kāi)集又是閉集;而在距離空間中除了空集和全空間X既是開(kāi)集又是閉集外,還可能存在其他既開(kāi)又閉的集合.

例如,離散距離空間X中,任何子集A都既開(kāi)又閉.事實(shí)上,設(shè)xX,則S(x,1/2)={x}是開(kāi)集,從而A={x}是開(kāi)集;而ACX是開(kāi)集,故A={x}又是閉集例2任一閉球S(x0,r)都是閉集；證:是閉集.

三、距離空間上的連續(xù)映射定義9(映射連續(xù),一致連續(xù))設(shè)(X,1)與(Y,2)是兩個(gè)距離空間,定義映射T:XY,x0X.(1)如果對(duì)>0,>0,使得當(dāng)(x,x0)<時(shí),有1(Tx,Tx0)<,則稱(chēng)映射T在x0點(diǎn)連續(xù).(2)若映射T在X上處處連續(xù)(即T在X中每一點(diǎn)都連續(xù)),則稱(chēng)映射T在X上處處連續(xù),也稱(chēng)映射T為距離空間X上的連續(xù)映射.(3)如果對(duì)>0,>0,x1,x2X,當(dāng)(x1,x2)<時(shí),有1(Tx1,Tx2)<,則稱(chēng)映射T在X上一致連續(xù).特別地,如果Y=R,則稱(chēng)映射T為距離空間X上的連續(xù)泛函數(shù),此時(shí)T記作f,而x的象記作f(x)1連續(xù)映射定義例1設(shè)(X,)是距離空間,x0X,則f(x)=(x,x0)是連續(xù)函數(shù).證:>0,x,yX,1(f(x),f(y))=|(x,x0)-(y,x0)|(x,y)取=>0,當(dāng)(x,y)<時(shí),就有1(f(x),f(y))<,f(x)連續(xù)2映射連續(xù)的充要條件定理6設(shè)X，Y是兩個(gè)距離空間，T：XY，x0X,則T在x0連續(xù)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,){xn}X:xnx0,有TxnTx0.證:(1)(2)

T在x0

連續(xù)>0,>0,使得當(dāng)(x,x0)<時(shí),有1(Tx,Tx0)<S(Tx0,),S(x0,),當(dāng)xS(x0,)時(shí),有TxS(Tx0,)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,){xn}X:xnx0,對(duì)上述>0,N,n>N時(shí),(xn,x0)<,從而1(Txn,Tx0)<TxnTx0>0,>0,使得當(dāng)(x,x0)<時(shí),有1(Tx,Tx0)<S(Tx0,),S(x0,),當(dāng)xS(x0,)時(shí),有TxS(Tx0,)(2)(3)S(Tx0,),S(x0,),使得T(S(x0,)S(Tx0,)(3)(1)設(shè){xn}X:xnx0,有TxnTx0.若T在x0不連續(xù),則0>0,對(duì)n>0,xn:(xn,x0)<,但1(Txn,Tx0)0,矛盾.定理6設(shè)(X,)和(Y,1)都是距離空間,T：XY.則

T是X上的連續(xù)映射對(duì)于任意開(kāi)集GY,G的原象T-1(G)={x|TxG,xX}X是開(kāi)集對(duì)于任意閉集FY,F的原象T-1(F)X是閉集證:(1)必要性:設(shè)T是X上的連續(xù)映射，GY是任一開(kāi)集,若T-1(G)=,則顯然T-1(G)X,且是開(kāi)集.若T-1(G),x0T-1(G)y0=Tx0GG開(kāi)集y0是內(nèi)點(diǎn)S(y0,)GS(x0,),使得T(S(x0,)S(y0,)GS(x0,)T-1(G)x0是內(nèi)點(diǎn),T-1(G)是開(kāi)集充分性:任取x0X,>0,構(gòu)造Y中開(kāi)集G=S(Tx0,)

Tx0Gx0T-1(G)

由假設(shè),G開(kāi)集,有T-1(G)是開(kāi)集x0是T-1(G)的內(nèi)點(diǎn)S(x0,)T-1(G)T(S(x0,)G=S(Tx0,)T在x0連續(xù)T在X內(nèi)連續(xù)

(2)F閉FC