定積分的概念與性質(zhì)-公開課資料講解

5.1定積分(jīfēn)的概念與性質(zhì)

第五章第一頁，共26頁。新課引入?

我們以前學(xué)過一些圖形面積的計(jì)算，請大家回想一下，你學(xué)過哪些圖形的面積公式？正方形、矩形(jǔxíng)、三角形、梯形、圓、扇形等。規(guī)則(guīzé)圖形第二頁，共26頁。?不規(guī)則圖形(túxíng)的面積你會求嗎？如山東省的面積、濟(jì)南市的面積、大明湖的面積……下圖的面積(miànjī)你會求嗎？同學(xué)們聽說過曹沖稱象的故事嗎？古代沒有那么大的秤，曹沖是怎樣秤出大象(dàxiànɡ)的體重的？

我們可不可以把這個不規(guī)則的圖形分割以后一塊一塊地求？第三頁，共26頁。用兩組互相(hùxiāng)垂直的平行線分割這個圖形：中間這些矩形的面積容易(róngyì)求出，邊界處的圖形中有一條邊為曲邊，所以面積不容易(róngyì)求.我們(wǒmen)把邊界處的圖形叫作曲邊梯形.第四頁，共26頁。由連續(xù)(liánxù)曲線所圍的平面圖形(túxíng)稱為曲邊梯形。與三條(sāntiáo)直線如何求曲邊梯形的面積？用矩形面積近似取代曲邊梯形面積基本思路:第五頁，共26頁。如何(rúhé)才能使這種近似代取更精確？當(dāng)曲邊梯形(tīxíng)的底邊趨近于零時,矩形面積無限(wúxiàn)地趨近于曲邊梯形的面積求曲邊梯形的具體方法:1.將曲邊梯形分成無窮多個小的曲邊梯形2.在每個小曲邊梯形的底邊上作一個矩形近似代取小的曲邊梯形第六頁，共26頁。1.曲邊梯形(tīxíng)的面積(1)分割(fēngē)在區(qū)間(qūjiān)[a,b]內(nèi),任意插入

n–1個分點(diǎn)(2)近似把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間化整為零以直代曲第七頁，共26頁。(3)求和(qiúhé)(4)取極限(jíxiàn)令則2.變速(biànsù)直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在[T1,T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.已知速度(1)分割將它分成在每個小段上物體經(jīng)n

個小段過的路程為積零為整精確化第八頁，共26頁。(2)近似(jìnsì)(3)求和(qiúhé)(4)取極限(jíxiàn)上述兩個問題的共性:1解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”2所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:

乘積和式的極限令

拋去幾何意義和物理意義，我們把具有這兩個共性的問題，用定積分來表示：第九頁，共26頁。5.1.2定積分(jīfēn)的定義任意(rènyì)插入n個把區(qū)間(qūjiān)[a,b]分成n個小總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)記怎樣分法,f(x)在[a,b]記作分點(diǎn)區(qū)間令1定義作乘積并作和也不論怎樣取法,如果不論[a,b]上的定積分,即設(shè)函數(shù)第十頁，共26頁。其中(qízhōng)—積分(jīfēn)號;—被積函數(shù)(hánshù);—

被積表達(dá)式;—

積分變量;—

積分限.注(1)叫做f(x)的積分和.的定積分存在,若f(x)在[a,b]上的稱f(x)在[a,b]上可積.(2)定積分的值與積分變量的記號無關(guān),僅與f(x)和[a,b]有關(guān).即(3)(4)是數(shù)值.是函數(shù),a=

b

時,第十一頁，共26頁。12函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(qūjiān)[a,b]上的定積分存在,則稱f(x)在區(qū)間(qūjiān)[a,b]上可積.定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(liánxù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點(diǎn),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.可積的充分條件(chōnɡfēntiáojiàn)第十二頁，共26頁。13例用定積分表示(biǎoshì)極限解定積分(jīfēn)的定義第十三頁，共26頁。14

這是因?yàn)榍吿菪?tīxíng)面積曲邊梯形(tīxíng)面積的負(fù)值定積分的幾何(jǐhé)意義第十四頁，共26頁。15各部分(bùfen)面積的代數(shù)和定積分(jīfēn)的幾何意義曲邊梯形(tīxíng)面積曲邊梯形面積的負(fù)值第十五頁，共26頁。16例2解oxy例1利用定積分(jīfēn)的幾何意義，計(jì)算解第十六頁，共26頁。17三、定積分(jīfēn)的性質(zhì)性質(zhì)(xìngzhì)1性質(zhì)(xìngzhì)2性質(zhì)3注：值得注意的是不論abc的相對位置如何上式總成立第十七頁，共26頁。18利用定積分的幾何意義，可分別求出解例3第十八頁，共26頁。19三、定積分(jīfēn)的性質(zhì)性質(zhì)(xìngzhì)1性質(zhì)(xìngzhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4第十九頁，共26頁。20如果(rúguǒ)在區(qū)間[ab]上f(x)0則性質(zhì)(xìngzhì)5性質(zhì)(xìngzhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值則推論如果在區(qū)間[a

b]上f(x)g(x)則第二十頁，共26頁。21如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)則在積分(jīfēn)區(qū)間[ab]上至少存在一個點(diǎn)x使下式成立這是因?yàn)?由性質(zhì)(xìngzhì)6性質(zhì)7(定積分(jīfēn)中值定理)——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點(diǎn)x[a,b],使兩端乘以ba即得積分中值公式.第二十一頁，共26頁。22注:無論從幾何上,還是(háishi)從物理上,都容易(róngyì)理解平均值公式(gōngshì)求連續(xù)變量的平均值要用到.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個點(diǎn)x

使下式成立

性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

第二十二頁，共26頁。23例3

計(jì)算(jìsuàn)從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度(s