《微積分二》定積分的概念及性質(zhì)

第六章定積分§62定積分的定義§6.1引出定積分概念的例題§6.3定積分的基本性質(zhì)§6.4微積分基本定理§6.5定積分的換元積分法§6.6定積分的分部積分法§6.7定積分的應(yīng)用§6.8廣義積分與函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算不定積分定積分區(qū)別聯(lián)系不定積分的概念定義§6.1-6.2定積分的概念曲邊梯形的面積?

請問你會算哪些圖形的面積？

正方形、矩形、三角形、梯形、圓等。規(guī)則圖形矩形曲邊梯形曲邊三角形曲邊梯形的面積?曲邊梯形是由連續(xù)曲線

與三條直線

所圍成的平面圖形．曲邊梯形的面積xyoabxyoab用矩形面積近似替代曲邊梯形面積曲邊梯形的面積xyoab四個小矩形xyoab九個小矩形小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．解決步驟：用分點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間(1)分割第i個小區(qū)間的長度記為

,即過每個分點(diǎn)作垂直于軸的直線段把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.曲邊梯形的面積解決步驟：曲邊梯形的面積在第i個小區(qū)間上任取一點(diǎn)

用以為寬，為高的小矩形的面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積,即

(2)近似替代(4)取極限(3)求和令,則曲邊梯形的面積?V(t)t=at=b引例2：變速直線運(yùn)動的路程解決步驟：用分點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間(1)分割第i個小區(qū)間的長度記為

,即引例2：變速直線運(yùn)動的路程(3)求和(2)近似替代(4)取極限令,則引例2：變速直線運(yùn)動的路程2.變速直線運(yùn)動的路程1.曲邊梯形的面積兩個引例的共同點(diǎn)

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在中插入個分點(diǎn)，把區(qū)間分成個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度依次為

定義6.1定積分的定義

在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積，并作和式（稱為積分和）則稱這個極限值為函數(shù)在上的定積分，記作，即存在，時(shí)，和式的極限怎樣取法，只要當(dāng)上點(diǎn)也不論小區(qū)間怎樣分割，，如果不論對記定積分的定義積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間],[ba定積分的定義幾點(diǎn)說明1.

2.定積分兩要素：被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有定積分的定義3.規(guī)定：定積分的定義4.定積分存在的必要條件：5.定積分存在的充分條件：有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積；定積分的定義有限區(qū)間上只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)可積.定積分是個整體的（宏觀的）概念，個別點(diǎn)的不良性態(tài)（間斷），不影響定積分的存在性.就像一塊布，抽去幾根線，仍是一塊布，面積沒有減少。但不能抽去無數(shù)根線，否則可能就不是布了。舉個不可積的例子：無圖形，處處無極限，處處不連續(xù)，處處不可導(dǎo)2.變速直線運(yùn)動的路程1.曲邊梯形的面積兩個引例的積分表達(dá)式例1.(1)分割:

(2)近似代替:

(4)取極限:

(3)求和:解：例2.定積分的值等于曲邊梯形面積；定積分的值等于曲邊梯形面積的負(fù)值；(2)(1)定積分的幾何意義時(shí)正時(shí)負(fù)，(3)定積分的值等于所圍圖形面積的代數(shù)和.定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分（答案：）例2.利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分練習(xí)解：C例3.微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性質(zhì)：一點(diǎn)處的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性；實(shí)例：一點(diǎn)處的切線，瞬時(shí)速度積分學(xué)研究的是函數(shù)的整體性質(zhì)：實(shí)例：面積、體積、一段時(shí)間內(nèi)的路程微分學(xué)是微觀（或局部）的學(xué)問積分學(xué)是宏觀（或整體）的學(xué)問分割

1.定積分的概念：近似替代求和取極限物質(zhì)求和的情形，可以考慮用積分模型.2.定積分的幾何意義：所圍圖形面積的代數(shù)和前情回顧微量累積無限非均勻§6.3定積分的基本性質(zhì)

性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號前即

性質(zhì)2

代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和即

性質(zhì)1

常數(shù)因子可以提到積分號前即

性質(zhì)3(積分區(qū)間的可加性)

如果積分區(qū)間[a,b]被點(diǎn)c分成兩個小區(qū)間[a,c]與[c,b]

則注

不論a

b

c的相對位置如何上式總成立

性質(zhì)4(保序性)

在區(qū)間[a,b]上如果總有f(x)g(x)

則（答案：）

性質(zhì)5

如果在區(qū)間[a,b]上f(x)1

則

性質(zhì)6(估值定理)

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別為M與m

則

性質(zhì)7(積分中值定理)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)則在區(qū)間[a

b]上至少存在一個點(diǎn)

使下式成立

這是因?yàn)?由性質(zhì)6由介值定理,至少存在一點(diǎn)x[a,b]