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文檔簡介
第六章定積分§62定積分的定義§6.1引出定積分概念的例題§6.3定積分的基本性質(zhì)§6.4微積分基本定理§6.5定積分的換元積分法§6.6定積分的分部積分法§6.7定積分的應(yīng)用§6.8廣義積分與函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算不定積分定積分區(qū)別聯(lián)系不定積分的概念定義§6.1-6.2定積分的概念曲邊梯形的面積?
請問你會算哪些圖形的面積?
正方形、矩形、三角形、梯形、圓等。規(guī)則圖形矩形曲邊梯形曲邊三角形曲邊梯形的面積?曲邊梯形是由連續(xù)曲線
與三條直線
所圍成的平面圖形.曲邊梯形的面積xyoabxyoab用矩形面積近似替代曲邊梯形面積曲邊梯形的面積xyoab四個小矩形xyoab九個小矩形小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積.解決步驟:用分點(diǎn)
把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間(1)分割第i個小區(qū)間的長度記為
,即過每個分點(diǎn)作垂直于軸的直線段把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.曲邊梯形的面積解決步驟:曲邊梯形的面積在第i個小區(qū)間上任取一點(diǎn)
用以為寬,為高的小矩形的面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積,即
(2)近似替代(4)取極限(3)求和令,則曲邊梯形的面積?V(t)t=at=b引例2:變速直線運(yùn)動的路程解決步驟:用分點(diǎn)
把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間(1)分割第i個小區(qū)間的長度記為
,即引例2:變速直線運(yùn)動的路程(3)求和(2)近似替代(4)取極限令,則引例2:變速直線運(yùn)動的路程2.變速直線運(yùn)動的路程1.曲邊梯形的面積兩個引例的共同點(diǎn)
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,在中插入個分點(diǎn),把區(qū)間分成個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度依次為
定義6.1定積分的定義
在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn),作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積,并作和式(稱為積分和)則稱這個極限值為函數(shù)在上的定積分,記作,即存在,時(shí),和式的極限怎樣取法,只要當(dāng)上點(diǎn)也不論小區(qū)間怎樣分割,,如果不論對記定積分的定義積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間],[ba定積分的定義幾點(diǎn)說明1.
2.定積分兩要素:被積函數(shù)和積分區(qū)間,而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即有定積分的定義3.規(guī)定:定積分的定義4.定積分存在的必要條件:5.定積分存在的充分條件:有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積;定積分的定義有限區(qū)間上只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)可積.定積分是個整體的(宏觀的)概念,個別點(diǎn)的不良性態(tài)(間斷),不影響定積分的存在性.就像一塊布,抽去幾根線,仍是一塊布,面積沒有減少。但不能抽去無數(shù)根線,否則可能就不是布了。舉個不可積的例子:無圖形,處處無極限,處處不連續(xù),處處不可導(dǎo)2.變速直線運(yùn)動的路程1.曲邊梯形的面積兩個引例的積分表達(dá)式例1.(1)分割:
(2)近似代替:
(4)取極限:
(3)求和:解:例2.定積分的值等于曲邊梯形面積;定積分的值等于曲邊梯形面積的負(fù)值;(2)(1)定積分的幾何意義時(shí)正時(shí)負(fù),(3)定積分的值等于所圍圖形面積的代數(shù)和.定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分(答案:)例2.利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分練習(xí)解:C例3.微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性質(zhì):一點(diǎn)處的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性;實(shí)例:一點(diǎn)處的切線,瞬時(shí)速度積分學(xué)研究的是函數(shù)的整體性質(zhì):實(shí)例:面積、體積、一段時(shí)間內(nèi)的路程微分學(xué)是微觀(或局部)的學(xué)問積分學(xué)是宏觀(或整體)的學(xué)問分割
1.定積分的概念:近似替代求和取極限物質(zhì)求和的情形,可以考慮用積分模型.2.定積分的幾何意義:所圍圖形面積的代數(shù)和前情回顧微量累積無限非均勻§6.3定積分的基本性質(zhì)
性質(zhì)1
常數(shù)因子可以提到積分號前即
性質(zhì)2
代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和即
性質(zhì)1
常數(shù)因子可以提到積分號前即
性質(zhì)3(積分區(qū)間的可加性)
如果積分區(qū)間[a,b]被點(diǎn)c分成兩個小區(qū)間[a,c]與[c,b]
則注
不論a
b
c的相對位置如何上式總成立
性質(zhì)4(保序性)
在區(qū)間[a,b]上如果總有f(x)g(x)
則(答案:)
性質(zhì)5
如果在區(qū)間[a,b]上f(x)1
則
性質(zhì)6(估值定理)
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別為M與m
則
性質(zhì)7(積分中值定理)
如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a
b]上連續(xù)則在區(qū)間[a
b]上至少存在一個點(diǎn)
使下式成立
這是因?yàn)?由性質(zhì)6由介值定理,至少存在一點(diǎn)x[a,b]
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