2023年山東省自學(xué)考試線性代數(shù)經(jīng)管類

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題一（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)D==M≠0，則D1==(B)．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.設(shè)A、B、C為同階方陣，若由AB=AC必能推出B=C，則A應(yīng)滿足(D)．A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠03.設(shè)A，B均為n階方陣，則(A)．A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.當(dāng)AB=O時(shí)，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A|=1，則A-1=(B)．A.B.C.D.5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說(shuō)法對(duì)的的是(B)．A.若兩向量組等價(jià)，則s=t.B.若兩向量組等價(jià)，則r()=r()C.若s=t，則兩向量組等價(jià).D.若r()=r()，則兩向量組等價(jià).6.向量組線性相關(guān)的充足必要條件是(C)．A.中至少有一個(gè)零向量B.中至少有兩個(gè)向量相應(yīng)分量成比例C.中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表達(dá)D.可由線性表達(dá)7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組與，則下列成立的是(C)．A.r與s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+s>m8.對(duì)方程組Ax=b與其導(dǎo)出組Ax=o，下列命題對(duì)的的是(D)．A.Ax=o有解時(shí)，Ax=b必有解.B.Ax=o有無(wú)窮多解時(shí)，Ax=b有無(wú)窮多解.C.Ax=b無(wú)解時(shí)，Ax=o也無(wú)解.D.Ax=b有惟一解時(shí)，Ax=o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k=(D)．A.2B.3C.-1D.110.n階對(duì)稱矩陣A正定的充足必要條件是(D)．A.|A|>0B.存在n階方陣C使A=CTCC.負(fù)慣性指標(biāo)為零D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.四階行列式D中第3列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D=-15．12.若方陣A滿足A2=A，且A≠E，則|A|=0.13.若A為3階方陣，且，則|2A|=4．14.設(shè)矩陣的秩為2，則t=-3．15.設(shè)向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，則(,)=0．16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax=o，r(A)=r<n，則基礎(chǔ)解系具有解向量的個(gè)數(shù)為n-r個(gè).17.設(shè)＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為(1,1,2).18.設(shè)A為三階方陣，其特性值為1，-1，2，則A2的特性值為1,1,4.19.二次型的矩陣A=.20.若矩陣A與B=相似，則A的特性值為1,2,3.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.解：=.22.解矩陣方程：.解：令B=.由于.由23.求向量組=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表達(dá).所以，a取何值時(shí)，方程組有解？并求其通解（規(guī)定用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表達(dá)）.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：，令，得原方程組的一個(gè)特解：與導(dǎo)出組同解的方程組為：令得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的所有解為：25.已知,求A的特性值及特性向量，并判斷A能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣P，使P–1AP=Λ（對(duì)角形矩陣）．解：矩陣A的特性多項(xiàng)式為：,所以，A的特性值為：對(duì)于，求齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系:,從而矩陣A的相應(yīng)于特性值的所有特性向量為:對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,得基礎(chǔ)解系:,從而矩陣A的相應(yīng)于特性值的所有特性向量為:由于三階矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特性向量所以，A相似于對(duì)角矩陣，且26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：解：===令得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個(gè)基.證：由于所以所以向量組線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.若三階行列式=0,則k=(C).A．1B．0C．-1D．-22.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是(D).A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣,A*是A的隨著矩陣,則(A).A．B．C．D．4.矩陣的秩為2，則λ=(B).A．2B．1C．0D．5.設(shè)3×4矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為(D).A．B．C．D．6.向量線性相關(guān),則(C).A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=37.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解,若是其導(dǎo)出組Ax=o的解,則有(B).A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=2c28.設(shè)A為n(n≥2)階方陣，且A2=E，則必有(B).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩陣等于E D．A的特性值均為19.設(shè)三階矩陣A的特性值為2,1,1，則A-1的特性值為(D).A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,110.二次型是(A).A．正定的B．半正定的C．負(fù)定的D．不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.=____5______．12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=___32_______．13.設(shè)A=,B=,則ATB=__________．14.設(shè)A=,則A-1=__________．15.向量表達(dá)為向量組的線性組合式為__________．16.假如方程組有非零解,則k=___-1_______．17.設(shè)向量與正交，則a=__2________．18.已知實(shí)對(duì)稱矩陣A=,寫出矩陣A相應(yīng)的二次型_．19.已知矩陣A與對(duì)角矩陣Λ=相似，則A2=__E______．20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為__________．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式的值.原式==22.設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣A-1B.所以，23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對(duì)矩陣A施行初等變換：當(dāng)時(shí)，矩陣的秩當(dāng)當(dāng)24.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表達(dá).解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)行初等行變換：所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：且有求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表達(dá)其通解.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:令方程組的通解為：已知矩陣，求正交矩陣P和對(duì)角矩陣Λ，使P-1AP=Λ.解：矩陣A的特性多項(xiàng)式為：得矩陣A的所有特性值為：對(duì)于求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為將此線性無(wú)關(guān)的特性向量正交化，得：.由于將其單位化，得：則P是正交矩陣，且四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組也線性無(wú)關(guān).證：令整理得：由于線性無(wú)關(guān)，所以故.線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.當(dāng)(D)成立時(shí)，階行列式的值為零.A.行列式主對(duì)角線上的元素全為零B.行列式中有個(gè)元素等于零C.行列式至少有一個(gè)階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是(B).A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是(D).A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBTD.4.下列矩陣不是初等矩陣的是(B).A.B.C.D.5.設(shè)是4維向量組，則(D).A.線性無(wú)關(guān)B.至少有兩個(gè)向量成比例C.只有一個(gè)向量能由其余向量線性表達(dá)D.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線性表達(dá)6.設(shè)A為m×n矩陣，且m<n，則齊次線性方程組Ax=o必(C).A.無(wú)解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能擬定7.已知4元線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，又是Ax=b的兩個(gè)解,則Ax=b的通解是(D).A.B.C.D.8.假如矩陣A與B滿足(D)，則矩陣A與B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特性多項(xiàng)式C.有相同的秩D.有相同的特性值,且這些特性值各不相同9.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是(D).A.|A|>0B.A的每一個(gè)元素都大于零C.D.A的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)A，B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則(C).A.A與B相似B.A與B協(xié)議C.A與B等價(jià)D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式24.12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|=6.13.已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=，則X=.14.已知向量組的秩為2，則k=-2.15.向量的長(zhǎng)度=.16.向量在基下的坐標(biāo)為(3,-4,3).17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)=1.18.設(shè)是三階矩陣A的特性值，則a=1.19.若是正定二次型，則滿足.20.設(shè)三階矩陣A的特性值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|=360.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1）（2）由于22.已知向量組求：(1)向量組的秩；向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表達(dá).解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)行初等行變換：所以，向量組的秩（2）向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.討論a為什么值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)行初等行變換：若方程組有解，則，從而當(dāng)時(shí)，原方程組的通解方程組為：令.導(dǎo)出組的同解方程組為：令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：所以，方程組的通解為：已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.解：由于25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特性值與特性向量；(2)判斷A可否與對(duì)角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣Λ.解：矩陣A的特性多項(xiàng)式為：,所以，A的特性值為：對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，,從而矩陣A的相應(yīng)于特性值對(duì)于，求齊次線性方程組由于三階矩陣A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特性向量，所以，A不能相似于對(duì)角矩陣.26.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).解：(1)運(yùn)用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：令得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：（2）四、證明題（本大題共6分）已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由從而所以A可逆,且線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題四（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.三階行列式，則a=().A.2B.3C.D.-32.設(shè)A，B均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)對(duì)的的是().A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)-1=B-1A-1C.若AB=O,則A=O或B=OD.|AB|=|A||B|3.設(shè)A，B，AB-BA=().A.B.C.D.4.設(shè)矩陣的秩為2，則().A.B.t=-4C.t是任意實(shí)數(shù)D.以上都不對(duì)5.設(shè)向量，則().A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)6.向量組線性相關(guān),則().A.k=-4B.k=4C.k=3D.k=27.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax=b的解，則().A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c28.設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n-3(n>3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為().A.B.C.D.9.設(shè)三階矩陣A的特性值為1，1，2，則2A+E的特性值為().A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，510.n階對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充足必要條件是().A.B.存在n階矩陣P，使得A=PTPC.負(fù)慣性指數(shù)為D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11..12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=2，A*是其隨著矩陣，則|2A*|=.13.設(shè)矩陣A，則=.14.設(shè)，則內(nèi)積=.15.若向量不能由線性表達(dá)，且r()=2，則r(,)=.16.設(shè)線性方程組有解，則t=.17.方程組的基礎(chǔ)解系具有解向量的個(gè)數(shù)是.18.設(shè)二階矩陣A與B相似，A的特性值為-1，2，則|B|=.19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型.20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣A的最小特性值為.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗(yàn)證是R3的一個(gè)基，并求向量在此基下的坐標(biāo).24.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，令，試擬定向量組的線性相關(guān)性.25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并表達(dá)其通解.26.求矩陣的特性值和所有特性向量.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)是三維向量組，證明：線性無(wú)關(guān)的充足必要條件是任一三維向量都可由它線性表達(dá).線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.行列式,則k=().A.1B.4C.-1或4D.-12.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)對(duì)的的是().A.若AB=AC，則B=CB.(A-C)2=A2-2AC+C2C.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B||C|3.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充足必要條件是().A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA4.若，則初等矩陣P=().A.B.C.D.5.設(shè)向量,則().A.(-1,3,8,9)B.(1,3,8,9)C.(-1,0,8,6)D.(-1,3,9,8)6.下列結(jié)論對(duì)的的是().A.若存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得成立，則向量組線性相關(guān).B.當(dāng)k1=k2=…=km=0時(shí)，，則向量組線性無(wú)關(guān).C.若向量線性相關(guān)，則線性相關(guān).D.若向量線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān).7.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2是其導(dǎo)出組Ax=o的解，則().A.c1+c2=0B.c1=c2C.c1=2c2D.c1+c2=1