高等數(shù)學(xué)2-521131課件

一、微分的定義二、微分的幾何意義四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第五節(jié)函數(shù)的微分三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算返回一、微分的定義問(wèn)題的提出一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到（如圖），問(wèn)此薄片的面積改變了多少？一般地,如果函數(shù)y=f(x)滿足一定條件,則函數(shù)的增量可表示為其中A是不依賴(lài)于的常數(shù),因此是的線性函數(shù),且它與之差是比高階的無(wú)窮小,所以,當(dāng),且很小時(shí),我們就可以近似地用來(lái)代替由定義知:定理：y=f(x)在可微的充分必要條件是f(x)在處可導(dǎo)，且當(dāng)f(x)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是(1)必要性證明(2)充分性返回MNT）P幾何意義:(如圖)二、微分的幾何意義返回三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則函數(shù)的微分的表達(dá)式求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式3.復(fù)合函數(shù)的微分法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下:設(shè)及都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的微分為上式說(shuō)明無(wú)論是u自變量還是中間變量其微分形式不變,這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性.例3解例4解例5解應(yīng)用積的微分法則,得例6在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.解(1)我們知道可見(jiàn)即一般地,有(C為任意常數(shù))四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1函數(shù)的近似計(jì)算這個(gè)式子也可以寫(xiě)為或(4)(5)(6)例7有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm.估計(jì)一下每只球需用銅多少(銅的密度是)?解先求出鍍層的體積,再乘上密度就得到每只球需用銅的質(zhì)量.由(4)得于是鍍每只球需用的銅約為例8解證明:其它幾個(gè)近似公式可用類(lèi)似方法證明,這里從略了例9

解這里x=0.05,其值較小,利用近似公式,便得:如果直接開(kāi)方,可得將兩個(gè)結(jié)果比較一下,可以看出,用1.025作為的近似值,其誤差不超過(guò)0.001,這樣的誤差在一般應(yīng)用上已經(jīng)夠精確了.2.誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差，我們把它叫做間接測(cè)量誤差.定義：?jiǎn)栴}:在實(shí)際工作中,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無(wú)法求得?辦法:將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi).函數(shù)A的對(duì)應(yīng)增量當(dāng)很小時(shí),可以利用微分dA近似地代替增量即而因此得出A的絕對(duì)誤差限約為A的相對(duì)誤差限約為一般地,根據(jù)直接測(cè)量的x值按公式y(tǒng)=f(x)計(jì)算y值時(shí),如果已知測(cè)量x的絕對(duì)