金屬塑性加工技術(shù)4-金屬塑性變形力學(xué)解析方法課件

金屬塑性加工原理

PrincipleofPlasticDeformation

inMetalsProcessing第四篇金屬塑性變形力學(xué)解析方法解析對(duì)象

主要是求解變形力，此外可以求解變形量和變形速度等解析方法

工程法（slab法，主應(yīng)力法）滑移線法（slipline）

上限法（upperbound）（下限法）、上限單元法有限單元法（FEM,FiniteElementMethod）金屬塑性加工時(shí)，加工設(shè)備可動(dòng)工具使金屬產(chǎn)生塑性變形所需加的外力稱為變形力。變形力是確定設(shè)備能力、正確設(shè)計(jì)工模具、合理擬訂加工工藝規(guī)程和確定毛坯形狀尺寸的必要的基本力學(xué)參數(shù)。

第7章金屬塑性加工變形力的工程法解析§7.1工程法及其要點(diǎn)§7.2直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題解析§7.3圓柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問題§7.4極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題解析§7.5球坐標(biāo)軸對(duì)稱問題的解析求解要點(diǎn)工程法是一種近似解析法，通過對(duì)物體應(yīng)力狀態(tài)作一些簡(jiǎn)化假設(shè)，建立以主應(yīng)力表示的簡(jiǎn)化平衡微分方程和塑性條件。這些簡(jiǎn)化和假設(shè)如下：

1．把實(shí)際變形過程視具體情況的不同看作是平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題。如平板壓縮、寬板軋制、圓柱體鐓粗、棒材擠壓和拉拔等。

2．假設(shè)變形體內(nèi)的應(yīng)力分布是均勻的，僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這樣就可獲得近似的應(yīng)力平衡微分方程，或直接在變形區(qū)內(nèi)截取單元體切面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力且均勻分布，由此建立該單元體的應(yīng)力平衡微分方程為常微分方程。3.采用近似的塑性條件。工程法把接觸面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力，于是對(duì)于平面應(yīng)變問題，塑性條件

可簡(jiǎn)化為或?qū)τ谳S對(duì)稱問題，塑性條件可簡(jiǎn)化為4．簡(jiǎn)化接觸面上的摩擦。采用以下二種近似關(guān)系庫侖摩擦定律：（滑動(dòng)摩擦）常摩擦定律：（粘著摩擦）式中：——摩擦應(yīng)力k——屈服切應(yīng)力（）——正應(yīng)力f——摩擦系數(shù)5．其它。如不考慮工模具彈性變形的影響，材料變形為均質(zhì)和各向同性等。單元體x方向的力平衡方程為：整理后得：由近似塑性條件或，得：將滑動(dòng)摩擦?xí)r的庫侖摩擦定律代入上式得：上式積分得：在接觸邊緣處，即時(shí)，，由近似塑性條件得于是因此接觸面上正應(yīng)力分布規(guī)律最后求得板坯單位長度（Z向單位長度）上的變形力P可求得為：

下面討論混合摩擦條件下，平錘均勻鐓粗圓柱體時(shí)變形力計(jì)算。圓柱體鐓粗時(shí)，如果鍛件的性能和接觸表面狀態(tài)沒有方向性，則內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)對(duì)稱于圓柱體軸線（z軸），即

在同一水平截面上，各點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)無關(guān)，僅與r坐標(biāo)有關(guān)。因此是一個(gè)典型的圓柱體坐標(biāo)軸對(duì)稱問題。

§7.3

圓柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問題由于很小d，，忽略高階微分，整理得：對(duì)于均勻變形，，上式即為：將近似的塑性條件代入上式得：接觸面上正應(yīng)力的分布規(guī)律1．滑動(dòng)區(qū)上式積分得：當(dāng)r=R時(shí)，，將近似塑性條件代入上式，得積分常數(shù)C1因此：2．粘著區(qū)將代入平衡方程得：上式積分得：設(shè)滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)分界點(diǎn)為rb。由，得此處利用這一邊界條件，得積分常數(shù)因此得：

4．滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)的分界位置滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)的分界位置可由滑動(dòng)區(qū)在此點(diǎn)的與粘著區(qū)在此點(diǎn)的相等這一條件確定，因此在rb點(diǎn)上有：

因此得：5．平均單位壓力圓柱體平錘壓縮時(shí)的平均單位壓力

式中視接觸面上的分區(qū)狀況而異?！?.4

極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題解析

不變薄拉深（極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題）。不變薄拉深時(shí)，由于板厚不變化，變形區(qū)主要是在凸緣部分，發(fā)生周向的壓縮及徑向延伸的變形，因而凸緣部分的變形是一種適用于極坐標(biāo)描述的平面應(yīng)變問題。由于變形的對(duì)稱性，、均為主應(yīng)力。

單孔模正擠壓圓棒

（球坐標(biāo)軸對(duì)稱問題）分四個(gè)區(qū)進(jìn)行求解。圖7-7圓棒正擠壓受力情況§7.5球坐標(biāo)軸對(duì)稱問題的解析第8章滑移線理論及應(yīng)用§8.1平面應(yīng)變問題和滑移線場(chǎng)§8.2漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程——滑移線的沿線力學(xué)方程§8.3滑移線的幾何性質(zhì)§8.4應(yīng)力邊界條件和滑移線場(chǎng)的繪制§8.5三角形均勻場(chǎng)與簡(jiǎn)單扇形場(chǎng)組合問題及實(shí)例§8.6雙心扇形場(chǎng)問題及實(shí)例§8.1

平面應(yīng)變問題和滑移線場(chǎng)（a）塑性流動(dòng)平面（物理平面），（b）正交曲線坐標(biāo)系的應(yīng)力特點(diǎn)，（c）應(yīng)力莫爾圓

圖8-1平面應(yīng)變問題應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示平面應(yīng)變問題

對(duì)于平面塑性流動(dòng)問題，由于某一方向上的位移分量為零（設(shè)duZ=0），故只有三個(gè)應(yīng)變分量（、、），也稱平面應(yīng)變問題。根據(jù)塑性流動(dòng)法則，可知式中，為平均應(yīng)力；p稱為靜水壓力。根據(jù)塑性變形增量理論，平面塑性流動(dòng)問題獨(dú)立的應(yīng)力分量也只有三個(gè)（、、），于是平面應(yīng)變問題的最大切應(yīng)力為：

對(duì)于理想剛塑材料，材料的屈服切應(yīng)力k為常數(shù)。因此塑性變形區(qū)內(nèi)各點(diǎn)莫爾圓半徑（即最大切應(yīng)力）等于材料常數(shù)k。如圖8-2所示，在x-y坐標(biāo)平面上任取一點(diǎn)P1，其的，即方向?yàn)?，沿方向上取一點(diǎn)P2，其方向?yàn)?，依此取點(diǎn)a2，其線方向?yàn)?，依次連續(xù)取下去，直至塑性變形區(qū)的邊界為止……，最后獲得一條折線P1-P2-P3-P4……，稱為線。按正、負(fù)兩最大切應(yīng)力相互正交的性質(zhì)，由P點(diǎn)沿與的垂直方向上，即在P點(diǎn)的的，即方向上取點(diǎn)，也可得到一條折線……，稱為線。

繪制滑移線§8.2

漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程——滑移線的沿線力學(xué)方程推導(dǎo)：有平面應(yīng)變問題的微分平衡方程將式（8-3）代入上式，得

整理得表達(dá)成對(duì)線取“+”號(hào)對(duì)線取“-”號(hào)

式中，上式表明，沿滑移線的靜水壓力差（）與滑移線上相應(yīng)的傾角差（）成正比。故式表明了滑移線的沿線性質(zhì)。漢蓋應(yīng)力方程不僅體現(xiàn)了微分平衡方程，同時(shí)也滿足了塑性條件方程?！?.3滑移線的幾何性質(zhì)

一、漢蓋第一定理同族的兩條滑移線與加族任意一條滑移線相交兩點(diǎn)的傾角差和靜水壓力變化量均保持不變。二、漢蓋第二定理一動(dòng)點(diǎn)沿某族任意一條滑移線移動(dòng)時(shí)，過該動(dòng)點(diǎn)起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量等于該點(diǎn)所移動(dòng)的路程§8.4應(yīng)力邊界條件和滑

移線場(chǎng)的繪制應(yīng)力邊界條件1）自由表面2）光滑（無摩擦）接觸表面4）滑動(dòng)摩擦接觸表面3）粘著摩擦接觸表面滑移線場(chǎng)繪制的

數(shù)值計(jì)算方法1）特征線問題

這是給定兩條相交的滑移線為初始線，求作整個(gè)滑移線網(wǎng)的邊值問題，即所謂黎曼（Riemann）問題。

2）特征值問題

這是已知一條不為滑移線的邊界AB上任一點(diǎn)的應(yīng)力分量（、、）的初始值，求作滑移線場(chǎng)的問題，即所謂柯西（Cauchy）問題。

3）混合問題

這是給定一條α線OA，和與之相交的另一條不是滑移線的某曲線OB（可能是接觸邊界線或變形區(qū)中的對(duì)稱軸線）上傾角值第9章功平衡法和上限

法及其應(yīng)用§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用§9.1

功平衡法功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計(jì)算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即WP=Wd+Wf對(duì)于變形過程的某一瞬時(shí)，上式可寫成功增量形式dWP=dWd+dWf

極值原理包括上限定理和下限定理，它們都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題的出發(fā)點(diǎn)不同。上限定理是按運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高估的近似值，故稱上限解；下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場(chǎng)（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高低的近似解，故稱下限解?！?.2

極值原理及上限法

穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可，實(shí)際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時(shí)，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功，其表達(dá)式為：

實(shí)際應(yīng)用常用功率形式表達(dá)

虛功原理虛功原理式中，左邊為外力所作虛功或虛功率，右邊第一項(xiàng)為虛應(yīng)變功耗或虛應(yīng)變功率消耗，第二項(xiàng)為接觸摩擦與剛性界面上剪切功耗或功率消耗等。（為所在界面上的相對(duì)滑動(dòng)速度）。第三項(xiàng)為裂紋形成等的功耗或功率消耗。虛功原理對(duì)于彈性變形、彈塑性變形或塑性變形力學(xué)問題都是適用的。

到目前為止，上限法中虛擬的運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)模式大體有三種模式：（1）Johnson模式，通常稱為簡(jiǎn)化滑移線場(chǎng)的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應(yīng)變問題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場(chǎng)的上限模式，它既可適用平面應(yīng)變問題、軸對(duì)稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術(shù)（UBET），目前比較實(shí)用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對(duì)稱問題，以及某些非對(duì)稱軸的三維問題。具體實(shí)例在碩士階段將詳細(xì)分析。

虛擬的運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)模式§9.3速度間斷面及其速度特性(1)(2)Av2v1xxABCDφH圖9-4速度間斷面上的速度間斷a）物理平面b）速度圖

§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用

基本思路是設(shè)想塑性變形區(qū)由若干個(gè)剛性三角形構(gòu)成，塑性變形時(shí)完全依靠三角形場(chǎng)間的相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生，變形過程中每一個(gè)剛性塊是一個(gè)均勻速度場(chǎng)，塊內(nèi)不發(fā)生塑性變形，于是塊內(nèi)的應(yīng)變速度。因此，式（9-6）的能量基本方程中，若不計(jì)附加外力及其他功率消耗的話，其塑性變形功率消耗部分也為零，則上限功率表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

Johnson上限模式求解的基本步驟根據(jù)變形的具體情況，或參照該問題的滑移線場(chǎng)，確定變形區(qū)的幾何位置與形狀，再根據(jù)金屬流動(dòng)的大體趨勢(shì)，將變形區(qū)劃分為若干個(gè)剛性三角形塊；根據(jù)變形區(qū)劃分剛性三角形塊情況，以及速度邊界條件，繪制速端圖；Johnson上限模式求解的基本步驟3.根據(jù)所作幾何圖形，計(jì)算各剛性三角形邊長及速端圖計(jì)算各剛性塊之間的速度間斷量，然后計(jì)算其剪切功率消耗；4.求問題的最佳上限解，一般劃分的剛性三角形塊時(shí)，幾何形狀上包含若干個(gè)待定幾何參數(shù)，所以須對(duì)待定參數(shù)求其極值，確定待定參數(shù)的具體數(shù)值以及最佳的上限解。§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

基本思路：B.Avitzur上限模式為連續(xù)速度場(chǎng)模式，其基本思路是把整個(gè)變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)用一個(gè)連續(xù)速度場(chǎng)vi=fi(x,y,z)來描述。同時(shí)考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響。因此Avit－zur上限模式的基本能量方程與式（9-4）是一致的，常簡(jiǎn)化為N=Nd+Nt+Nf+Nq式中，