2022-2023學(xué)年廣東省江門市臺(tái)山市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省江門市臺(tái)山市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線方程是，整理得.故選：A2．已知空間向量，，，若，則（

）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】，得到，解得答案.【詳解】，則，即，解得，，，.故選：C3．已知橢圓的離心率為，直線過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，則橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直線過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),則橢圓的左頂點(diǎn)為,所以橢圓中，由離心率為，則，可求出橢圓的，從而可得橢圓的方程.【詳解】直線與軸的交點(diǎn)為,直線過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，即橢圓的左頂點(diǎn)為.所以橢圓中，由橢圓的離心率為，則.則，所以橢圓的方程為：.故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，根據(jù)離心率求，屬于基礎(chǔ)題.4．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以可得，故選：A5．設(shè)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知圓心為，半徑為，再求方程即可.【詳解】解：由題知線段中點(diǎn)為，，所以，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，其方程為故選：B6．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是雙曲線上一點(diǎn)，且．若的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積公式可求，結(jié)合余弦定理得，由離心率可求出，同理結(jié)合代入余弦定理可求，進(jìn)而得解.【詳解】由題可知，，求得，對(duì)由余弦定理可得，即，即，因?yàn)?，解得，又，即，解得，，所以的周長(zhǎng)為.故選：A7．如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】由向量得：，展開化簡(jiǎn)，再利用向量的數(shù)量積，便可得出答案.【詳解】解：，，∵，，，，.，即的長(zhǎng)為.

故選：B.8．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線性質(zhì)可得，由勾股定理表示出，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，由切線性質(zhì)可知，，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線距離，，要使最小，需使，故.故選：C二、多選題9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若為上一點(diǎn)，且，則（

）A．的虛軸長(zhǎng)為2 B．的值可能為5C．的離心率為3 D．的值可能為9【答案】BCD【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)式確定，可判斷A，C是否正確，由雙曲線第一定義可判斷B，D正確性.【詳解】由的標(biāo)準(zhǔn)式可確定：，故C正確，A錯(cuò)誤；由雙曲線第一定義可知，，解得或9，，，所以BD正確.故選：BCD10．如圖，為正方體，下面結(jié)論正確的是（

）A．平面B．與平面所成的角的正弦值為C．平面D．異面直線與所成的角為【答案】ACD【分析】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可逐個(gè)證明.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，為正方體，設(shè)邊長(zhǎng)為1，則，，，，，，，，對(duì)A，，，又∵平面，∵平面，∴平面，A對(duì)；對(duì)B，，，，由得為平面的法向量，，故與平面所成的角的正弦值為，B錯(cuò)；對(duì)C，由B得，同理可證為平面的法向量，故平面，C對(duì)；對(duì)D，，，∴異面直線與所成的角的余弦值為，故所成角為，D對(duì).故選：ACD11．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（

）A．為定值 B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】AB【分析】對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，得出為鈍角三角形判斷C；求出坐標(biāo)，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的對(duì)稱性得，所以為定值，A正確；的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以的范圍是，所以的周長(zhǎng)的范圍是，B正確；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，，又因?yàn)?，所以，，即為鈍角，所以為鈍角三角形，C錯(cuò)誤；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】12．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，，，交于點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使平面B．三棱錐體積的最大值為C．點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之和為定值2D．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，利用向量法判斷CD，根據(jù)底面積不變，高最大時(shí)，錐體體積最大，判斷B選項(xiàng).根據(jù)線面平行的判定定理判斷A.【詳解】解：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,由是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，,其中為到平面的距離，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，?又底面底面所以,又,平面，所以底面,所以當(dāng)與D重合時(shí)，三棱錐體積的最大且為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離,所以，故C正確.,,若存在點(diǎn)，使直線與所成的角為則，化簡(jiǎn)得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足直線與所成角為，故D正確；故選：ACD三、填空題13．若，，則___________．【答案】【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及模運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】，故.故答案為：14．已知正方形的中心為直線，的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線方程為，則它鄰邊所在的直線方程為___________．【答案】【分析】先求出中心坐標(biāo)為，再根據(jù)鄰邊所在直線與垂直設(shè)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到這兩條直線距離相等且為即可求解.【詳解】解：，解得，∴中心坐標(biāo)為，點(diǎn)M到直線的距離設(shè)與垂直兩線分別為，則點(diǎn)到這兩條直線距離相等且為，設(shè)方程為∴，解得或，∴它鄰邊所在的直線方程為．故答案為：15．已知圓，直線，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則___________．【答案】4【分析】由圓心到直線距離可確定，進(jìn)而得解.【詳解】圓的圓心為，由題可知圓心到直線距離，則.故答案為：416．正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，．，，．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）計(jì)算，的中點(diǎn)為，邊的垂直平分線的斜率，得到直線方程.（2）計(jì)算，到直線的距離為，得到面積.【詳解】（1），故邊的垂直平分線的斜率，的中點(diǎn)為，故垂直平分線為，即.（2），所在的方程為，即，到直線的距離為，.18．求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以直線為漸近線，焦點(diǎn)是，的雙曲線；(2)離心率為，短軸長(zhǎng)為6的橢圓．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為(，)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程求出，即可；（2）分橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)和軸時(shí)討論求解即可.【詳解】（1）解：由題意設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，雙曲線的漸近線方程為，可得，又，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；所以，所求橢圓方程為或.19．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）要證平面，可證，結(jié)合正方體性質(zhì)即可求證；（2）以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，由向量的夾角公式求出與平面所成角的正弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）連接，因?yàn)閹缀误w為正方體，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，平面，平面，所以平面；?）以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，設(shè)直線與平面所成角為，則，即，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20．已知圓的方程為．(1)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）斜率不存在時(shí)顯然相切，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進(jìn)而得解；（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，由幾何關(guān)系得圓心到直線距離為，進(jìn)而得解.【詳解】（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然與相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)，由幾何關(guān)系可得，解得，故，即，故過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為或；（2）設(shè)，可設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.21．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)、分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且．(1)求證與平面平行；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）采用建系法，表示出坐標(biāo)，要證與平面平行，即證平面的法向量；（2）分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，，所以平面，顯然三垂直，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以，，設(shè)，，，由，得，，，由得，，可設(shè)平面的法向量為，，所以與平面平行；（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可設(shè)，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的余弦值為.22．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，