2022-2023學(xué)年安徽省池州市青陽(yáng)縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省池州市青陽(yáng)縣第一中學(xué)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線方程得直線斜率，再由斜率得傾斜角．【詳解】由已知直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：C．2．在四面體O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，則log3|xyz|等于（

）A．－3 B．－1C．1 D．3【答案】A【分析】連接AG，利用空間向量的加法和減法，用，，表示向量，再根據(jù)＝x＋y＋z，求得x，y，z即可.【詳解】如圖所示：連接AG，則，，所以，所以，故選：A3．若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，則.故選：A4．直線y＝kx－k＋1與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】先求得直線的恒過的點(diǎn)，求得該點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，可得選項(xiàng)．【詳解】直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(diǎn)(1，1)，又，所以點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵得出直線的恒過點(diǎn)，是比較巧的方法，屬于基礎(chǔ)題．5．已知兩點(diǎn)A(-2，4)，B(2，3)，過點(diǎn)P（1，0）的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】如圖所示：由圖象知：過點(diǎn)P（1，0）的直線為直線PA，PB之間任意一條直線，而，因?yàn)橹本€與線段AB有公共點(diǎn)，所以或，故選：D6．在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，，，，則，，設(shè)直線EF與的所成角為，則，∴.故選：B7．，，為直角三角形的三邊長(zhǎng)，且為斜邊，點(diǎn)在直線上，則最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的幾何意義和點(diǎn)到直線的距離公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閍、b、c為直角三角形的三邊長(zhǎng)，且c為斜邊，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以當(dāng)原點(diǎn)到點(diǎn)的線段與直線垂直時(shí)，最小，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以最小值為.故選：A.8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，由橢圓方程可得、的坐標(biāo)，求出，所在直線方程，可得與的坐標(biāo)，求得，再由動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，得，則的值可求.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，由橢圓方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則.故選：B.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．如果向量、與平面共面，且向量滿足，，那么就是平面的一個(gè)法向量【答案】ABC【分析】根據(jù)法向量的定義可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用空間中平面與平面的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由法向量的定義可知，平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，一個(gè)平面的所有法向量互相平行，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間中平面與平面的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系可知，如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，只有當(dāng)、不共線時(shí)，才能得出結(jié)論，依據(jù)是線面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查平面法向量定義的應(yīng)用，同時(shí)也考查了平面間的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10．下列說法正確的是（

）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線必過定點(diǎn)C．直線在y軸上的截距為－2D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)兩條直線垂直的判定條件求解參數(shù)即可；對(duì)于B選項(xiàng)，將直線整理為，即可求出直線所過定點(diǎn)；對(duì)于C選項(xiàng)，令即可求出直線在軸上的截距；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)已知條件求解直線方程即可判斷正誤.【詳解】對(duì)A：，解得或，A不正確；對(duì)B：直線可整理為，因此直線必過定點(diǎn)，即B正確；對(duì)C：直線在y軸上的截距，令，得，所以直線在y軸上的截距為－2，所以C正確．對(duì)D：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為，代入點(diǎn)求得，即直線方程為，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為，代入點(diǎn)求得，即直線方程為.所以D不正確.故選：BC11．已知圓與圓，則下列說法正確的是（

）A．若圓與軸相切，則B．若，則圓C1與圓C2相離C．若圓C1與圓C2有公共弦，則公共弦所在的直線方程為D．直線與圓C1始終有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【分析】對(duì)A，圓心到x軸的距離等于半徑判斷即可；對(duì)B，根據(jù)圓心間的距離與半徑之和的關(guān)系判斷即可；對(duì)C，根據(jù)兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程求解即可；對(duì)D，根據(jù)直線過定點(diǎn)以及在圓C1內(nèi)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，?duì)A，故若圓與x軸相切，則有，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，兩圓相離，故B正確；對(duì)C，由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，直線過定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BD12．已知橢圓：內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．直線的方程為D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓方程，求出、，即可判斷A、B，設(shè)，，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，即可得到直線方程，從而判斷C，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出，即可判斷D；【詳解】解：由橢圓方程，所以，，所以，故，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B正確；設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減可得，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，所以，所以，所以直線的方程為，即，故C正確；由，得，所以，，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題13．已知向量，，，若，則____________.【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，所以向量，因?yàn)椋?，即，解得故答案為?4．已知和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由線段的中點(diǎn)在直線上，，列方程組可求出點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：15．設(shè)P為方程表示的曲線上的點(diǎn)，M、N分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】9【解析】方程表示的曲線是橢圓，M、N所在圓的圓心是橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義和圓的性質(zhì)可求得最小值．【詳解】方程表示的曲線是橢圓，焦點(diǎn)為，圓半徑為，圓的半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)共線，共線，且在之間，在之間時(shí)等號(hào)成立．故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查點(diǎn)與圓的性質(zhì)．解題時(shí)掌握了橢圓的定義就可以對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．本題還考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力．16．直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______________________.【答案】【分析】首先確定直線和曲線的圖形特征，然后考查臨界值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：如圖所示，是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為半徑的半圓，是一個(gè)斜率為的直線，要使兩圖有兩個(gè)交點(diǎn)，連接和，直線必在以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個(gè)臨界位置直線的值，當(dāng)直線與重合時(shí)，；當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到的距離，即，解得：或（舍去）．所以的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．已知直線：和直線：，求分別滿足下列條件的，的值.(1)直線過點(diǎn)，且直線和垂直；(2)若直線和平行，且直線在軸上的截距為.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由兩條直線垂直得，再利用直線過點(diǎn)，列出方程求解a，b；（2）由兩條直線平行得a，b滿足，再利用縱截距為-3解出a，b.【詳解】（1）由于直線和垂直，故，又直線過點(diǎn)，故，聯(lián)立兩式，解得，.故有，.（2）由于直線和平行，故，直線在軸上的截距為，則，聯(lián)立解得，.故有，.18．如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因?yàn)?，所以，即，?）設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為：.【點(diǎn)睛】19．已知圓及直線：.（1）證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓C總相交；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的直線方程.【答案】（1）證明見解析；（2）；.【分析】（1）求出直線過定點(diǎn)（3，4），圓C的圓心為(1，2)，半徑為5.判斷出點(diǎn)(3，4)在圓內(nèi)，由此能證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線與圓C總相交；（2）設(shè)直線與圓交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線過定點(diǎn)M(3，4)且垂直于過點(diǎn)M的圓C的半徑時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)AB最短，即可求解.【詳解】（1）證明：把直線l的方程改寫成：，由方程組，解得：，所以直線l總過定點(diǎn)(3，4).圓C的方程可寫成，所以圓C的圓心為(1，2)，半徑為5.因?yàn)槎c(diǎn)(3，4)到圓心(1，2)的距離為，即點(diǎn)(3，4)在圓內(nèi)，所以過點(diǎn)(3，4)的直線l總與圓相交，即不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交（2）設(shè)直線l與圓交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線l過定點(diǎn)M(3，4)且垂直于過點(diǎn)M的圓C的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短.因?yàn)椋藭r(shí)，所以直線AB的方程為，即.故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為，此時(shí)直線l的方程為.20．橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓外一點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求方程；(2)斜率為的直線過點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)1【分析】（1）橢圓右焦點(diǎn)，由直線斜率得，由離心率得，再由求得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線方程方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得.又橢圓的離心率為，即，可得.故的方程為.（2）設(shè)，，因?yàn)榈?，所以，則21．如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.22．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方